圓錐曲線的性質(zhì)及推廣運(yùn)用

翁其明

(福建省平潭嵐華中學(xué),福建 福州 350400)

解析幾何的重要內(nèi)容就是圓錐曲線,并用代數(shù)的方法解決此類問題,也是高考數(shù)學(xué)考查的重難點(diǎn),本文將從三個(gè)方面來闡述圓錐曲線的性質(zhì)并做到舉一反三.

1 圓錐曲線的性質(zhì)

1.1 橢圓

(1)概念:平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M到兩個(gè)固定的點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,有|MF1|+|MF2|=2a.

1.2 雙曲線

(1)概念:平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P到兩個(gè)固定的點(diǎn)F1,F2的距離之差等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,有||PF1|-|PF2||=2a,其中由分子x2,y2對(duì)應(yīng)的分母的正負(fù)確定焦點(diǎn)的位置.

1.3 拋物線

(1)概念:平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l(不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,其中焦點(diǎn)的位置由一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的變量決定.

(2)標(biāo)準(zhǔn)方程:y2=2px(p>0)(焦點(diǎn)在x軸正半軸),y2=-2px(p>0)(焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸),x2=2py(p>0)(焦點(diǎn)在y軸正半軸),x2=-2py(p>0)(焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸).

2 圓錐曲線的性質(zhì)應(yīng)用

2.1 求解三角形面積問題

圖1 例1圖

解析設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,

①

②

①2-②,得2r1r2(1+cosα)=4(a2-c2).

解析依據(jù)定義有|PF1|-|PF2|=2a=2.

由|PF1|∶|PF2|=3∶2,

得|PF1|=6,|PF2|=4.

又|F1F2|2=(2c)2=4×13=52,

所以cos∠F1PF2=0.即PF1⊥PF2.

2.2 求解離心率問題

例3如圖2,橢圓上的點(diǎn)P和左焦點(diǎn)F1,右頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)B,當(dāng)PF1⊥AF1,PO∥AB時(shí),求橢圓的離心率.

圖2 例3圖

因?yàn)镻O∥AB,所以kPO=kAB.

圖3 例4圖

解析由題知A(a,0),B(0,b),F(-c,0),

因?yàn)锳B⊥BF,所以kAB·kBF=-1.

利用b2=a2-c2,代入消掉b2,得

c2+ac-a2=0.

2.3 求解圓錐曲線的最值問題

例5如圖4,已知拋物線方程y2=4x,焦點(diǎn)為F,定點(diǎn)A(5,3),若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng),則|AP|+|PF|的最小值為____.

圖4 例5圖

解析點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D,由已知得|PF|=|PD|.

所以|AP|+|PF|=|AP|+|PD|.

即當(dāng)D,P,A共線時(shí),|AP|+|PF|取得最小值.

拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,

所以|AP|+|PD|=|AD|=5-(-1)=6.

所以(|AP|+|PF|)min=6.

解析設(shè)A(x1,y1),則由橢圓的對(duì)稱性得B(-x1,-y1).

則S△ABF=S△AOF+SBOF

=|OF|·|y1|.

因?yàn)閨y1|≤b,所以S△ABF≤bc.

所以(S△FAB)max=bc.

2.4 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用

圖5 例7圖

(1)求證:|F1P|·|F2P|為定值

(2)求P1,P2的軌跡方程

解析(1)設(shè)Q為切點(diǎn),由橢圓光學(xué)性質(zhì)得∠F1QP1=∠F2QP2,設(shè)為α,則

|F1P1|=|F1Q|sinα,|F2P2|=|F2Q|sinα,

所以|F1P1|·|F2P2|=|F1Q|·|F2Q|sin2α.

又∠F1QF2=180°-2α,則在ΔF1QF2中,|F1F2|2=|F1Q|2+|F2Q|2-2|F1Q|·|F2Q|cos(180°-2α)=(|F1Q|+|F2Q|)2-2|F1Q|·|F2Q|(1-cos2α)=(2a)2-2|F1Q|·|F2Q|[1-(1-2sin2α)]=4a2-4|F1Q|·|F2Q|sin2α=4a2-4|F1P1|·|F2P2|.

則4|F1P1|·|F2P2|=4a2-|F1F2|2=4a2-4c2=4b2.

所以|F1P|·|F2P1|=b2為常數(shù),即為定值[2].

(2)設(shè)點(diǎn)O在CD上的射影為點(diǎn)M,則OM是直角梯形F1F2P2P1的中位線,于是有

在Rt△OP1M中,|OP1|2=|MP1|2+|OM|2

同理|OP|2=a2.

所以F1,F2的軌跡是以O(shè)為圓心,a為半徑的圓,方程為x2+y2=a2.

綜上,本文共闡述了四大類解決圓錐曲線的相關(guān)問題,此類解題方法幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí),并能更加有效地幫助學(xué)生打開解決此類問題的思路.