以長(zhǎng)方體為模型的多面體外接球問(wèn)題探究

魏東升

(福建省廈門(mén)雙十中學(xué)漳州校區(qū),福建 漳州 363107)

引例長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為_(kāi)___.

該例實(shí)為2017年全國(guó)Ⅱ卷文科第15題,其實(shí)像這樣直接考查長(zhǎng)方體(或正方體)外接球的問(wèn)題在高考中非常常見(jiàn),解題的思路也并不復(fù)雜,主要是通過(guò)長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為其外接球的直徑這一關(guān)系.可見(jiàn)借助長(zhǎng)方體這一模型,對(duì)解決相關(guān)多面體外接球問(wèn)題能帶來(lái)很大的便利.究竟有哪些多面體可以補(bǔ)形成長(zhǎng)方體呢?帶著這個(gè)疑問(wèn)筆者進(jìn)行了以下探究:

(4)耕地、未利用地的變化與人口密度密切相關(guān)，林地受人均GDP影響最大，與建設(shè)用地最相關(guān)的因素是第三產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值。人口的增長(zhǎng)必然會(huì)帶來(lái)土地承載力的增加，經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展促使區(qū)域產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，第二、第三產(chǎn)業(yè)的發(fā)展加大了建設(shè)用地的需求。所以要進(jìn)一步有效控制人口增長(zhǎng)，完善對(duì)區(qū)域土地利用規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)土地利用結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，使山東省的土地利用空間布局朝著合理、科學(xué)、有序的方向發(fā)展。

1 三棱錐

如果是從長(zhǎng)方體8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)頂點(diǎn),則可構(gòu)成的幾何體是以下幾種特殊的三棱錐:

1.1 側(cè)棱垂直直角底面

如圖1,如果三棱錐的一條側(cè)棱垂直底面,并且底面是一個(gè)直角三角形,則其可以通過(guò)補(bǔ)形成長(zhǎng)方體來(lái)求解外接球問(wèn)題.特別地,如圖2,當(dāng)垂足為底面直角頂點(diǎn)時(shí),該三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直.

圖1 側(cè)棱垂直直角底面圖 圖2 垂足為底面直角頂點(diǎn)圖

例1 (2019年全國(guó)Ⅰ卷理12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為( ).

圖3 2019年全國(guó)Ⅰ卷理12圖 圖4 兩直角三角形共斜邊圖

所以EF⊥平面PAC.

氟桂利嗪是臨床中較為常用的一種雙苯酰胺類(lèi)鈣離子拮抗劑，其對(duì)腦血管具有較高的選擇性，在進(jìn)入機(jī)體后，能夠通過(guò)調(diào)節(jié)機(jī)體細(xì)胞內(nèi)的鈣水平降低患者的細(xì)胞鈣失衡所帶來(lái)的影響，同時(shí)其對(duì)于鈣通道也具有較好的拮抗作用[2-3]。

從而PB⊥平面PAC.

速凍。保證冷凍食品食物感覺(jué)處于良好狀態(tài)極為重要，為實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)，在冷凍食品時(shí)主要可以應(yīng)用兩種方法：一種為快速凍結(jié)，另一種為深度凍結(jié)。同時(shí)嚴(yán)格控制凍結(jié)溫度，使其位于-35℃-45℃。設(shè)定一定時(shí)間限制，通常為30秒，使中心溫度上升到-18℃。

通過(guò)對(duì)項(xiàng)目的“打包”和“抓包”，地方政府既能將多項(xiàng)常規(guī)工作納入到運(yùn)動(dòng)式治理的項(xiàng)目框架內(nèi)，完成上級(jí)政府的指令和要求，又能夠從上級(jí)部門(mén)獲得各種資金支持。地方政府可以將這些項(xiàng)目和資金投到對(duì)自己的政績(jī)和形象提升幫助最大的村莊，在投放(實(shí)際上是轉(zhuǎn)發(fā))過(guò)程中，能夠通過(guò)對(duì)投放對(duì)象的取舍達(dá)成對(duì)村莊的控制。

故選D.

1.2 兩直角三角形共斜邊

綜上所述，通過(guò)種子貯藏技術(shù)的概念可以認(rèn)識(shí)到種子貯藏技術(shù)是需要將多種因素相結(jié)合，然后針對(duì)不同農(nóng)作物種子貯藏性能的不同進(jìn)行相應(yīng)的貯藏管理措施。當(dāng)然最重要的還是要結(jié)合當(dāng)?shù)貧夂蛏鷳B(tài)環(huán)境的不同，采取更加合理的種子貯藏技術(shù)。當(dāng)然這還需要相關(guān)的人員進(jìn)行深入的探究才能更好的實(shí)現(xiàn)對(duì)種子良好的貯藏。

圖5 2017年北京卷文6改編圖

解析如圖3,依題意P-ABC為正三棱錐,PB⊥AC,又E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EF∥PB,EF⊥AC.

1.3 對(duì)棱相等

如圖6,如果三棱錐的每組對(duì)棱的長(zhǎng)度都相等,則其可以通過(guò)補(bǔ)形成長(zhǎng)方體來(lái)求解外接球問(wèn)題.

圖6 對(duì)棱相等圖 圖7 2006年山東卷理12圖

例3 (2006年山東卷理12)如圖7,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點(diǎn),將ΔADE與ΔBEC分別沿ED,EC向上折起,使A,B重合于點(diǎn)P,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為( ).

對(duì)心臟彩超求得的TGI指數(shù)為:≥51歲TGI=288,男性TGI=138,已婚T(mén)GI=108?？芍挲g最大的一組對(duì)心臟彩超的偏好性最強(qiáng),且遠(yuǎn)超其它年齡段,男性比女性對(duì)心臟彩超的偏好性強(qiáng)。

如圖4,如果三棱錐的兩個(gè)直角側(cè)面有公共斜邊,并且底面是一個(gè)直角三角形,則其可以通過(guò)補(bǔ)形成長(zhǎng)方體來(lái)求解外接球問(wèn)題[1].

關(guān)于翻譯的研究，從“信、達(dá)、雅”到后來(lái)的“三美”理論，都有他們的必要性。但是總的來(lái)說(shuō)，不論是什么作品的翻譯，都不僅僅需要傳達(dá)字面的意思，還應(yīng)該根據(jù)不同國(guó)家的文化背景做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。對(duì)于英文電影字幕翻譯，有它自己的特色。字幕是為了讓觀影者了解電影情節(jié)，有文化交際的功能。與此同時(shí)，字幕翻譯的語(yǔ)言一般比較大眾化，在邏輯性與藝術(shù)性等方面有著特殊的要求。

2 四棱錐

如果是從長(zhǎng)方體8個(gè)頂點(diǎn)中選5個(gè)頂點(diǎn),則可構(gòu)成的幾何體是以下兩種特殊的四棱錐.

2.1 側(cè)棱垂直長(zhǎng)方形底面

如圖8,如果四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面,并且底面是一個(gè)長(zhǎng)方形,則其可以通過(guò)補(bǔ)形成長(zhǎng)方體來(lái)求解外接球問(wèn)題[2].

圖8 側(cè)棱垂直長(zhǎng)方形 圖9 直角三角形側(cè)面垂直 底面圖 長(zhǎng)方形底面圖

又因?yàn)镋F⊥CE,CE∩AC=C,

對(duì)于音標(biāo)教學(xué)，現(xiàn)如今人教版英語(yǔ)教材的編排是十分科學(xué)合理的，但是作為一名一線教師特別是農(nóng)村英語(yǔ)教師卻在教學(xué)實(shí)踐中遇到如何把控音標(biāo)教學(xué)“度”的困惑。

例2 (2017年北京卷文6改編)某三棱錐的三視圖如圖5所示,則該三棱錐外接球的表面積為( ).

2.2 直角三角形側(cè)面垂直長(zhǎng)方形底面

如圖9,如果四棱錐有一個(gè)直角三角形側(cè)面垂直底面,并且底面是一個(gè)長(zhǎng)方形,則其可以通過(guò)補(bǔ)形成長(zhǎng)方體來(lái)求解外接球問(wèn)題.

例5 (2018年天津卷文11改編)如圖10,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐A1-BB1D1D外接球的表面積為_(kāi)___.

加快儲(chǔ)氣能力相關(guān)政策的落地。從目前來(lái)看，完成2020年“供氣企業(yè)10%、城鎮(zhèn)燃?xì)馄髽I(yè)5%、地方日均3天”的儲(chǔ)氣能力目標(biāo)的難度較大，部分城鎮(zhèn)燃?xì)馄髽I(yè)對(duì)政策理解不到位，仍處于觀望狀態(tài)。建議進(jìn)一步出臺(tái)更為具體的配套支持措施和考核辦法，例如提供儲(chǔ)氣能力建設(shè)補(bǔ)貼資金；同時(shí)盡快理順價(jià)格機(jī)制，加快促進(jìn)調(diào)峰市場(chǎng)化運(yùn)作，逐步建立儲(chǔ)氣庫(kù)調(diào)峰服務(wù)市場(chǎng)。

圖10 2018年天津卷文11改編圖

3 三棱柱

如果是從長(zhǎng)方體8個(gè)頂點(diǎn)中選6個(gè)頂點(diǎn),則可構(gòu)成的三棱柱只有一種.如圖11,如果三棱錐是一個(gè)直三棱錐,并且底面是一個(gè)直角三角形,則其可以通過(guò)補(bǔ)形成長(zhǎng)方體來(lái)求解外接球問(wèn)題.

圖11 三棱柱圖

例6 (2013年遼寧卷文10理10)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為( ).

4 其他

以上幾種類(lèi)型是大家比較熟悉的多面體,在高考中出現(xiàn)的頻率也比較高.借助分類(lèi)思想,我們發(fā)現(xiàn)從長(zhǎng)方體8個(gè)頂點(diǎn)中選5個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體其實(shí)還有圖12,選6個(gè)頂點(diǎn)還有圖13、圖14兩種,如果選7個(gè)頂點(diǎn)則還有圖15這種.其實(shí),這些類(lèi)型除了常見(jiàn)于外接球問(wèn)題中,還常出現(xiàn)在三視圖問(wèn)題中,甚至是成為大題的考查背景.

圖12 選5個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體圖 圖13 選6個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體圖

圖14 選6個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體圖 圖15 選7個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體圖