從2021年一道高考題談圓錐曲線上四點(diǎn)共圓問(wèn)題

李婧　盧榮亮

本文從2021年一道高考題談起，用從特殊到一般的方法探究圓中的相交弦定理、割線定理以及切割線定理在圓錐曲線中的表現(xiàn)形式，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)更為一般的充要條件［3］［4］.

圓中的切割線定理可以進(jìn)一步推廣到圓錐曲線中嗎？

4.再推廣

推廣5 已知點(diǎn)T在圓錐曲線C外，過(guò)點(diǎn)T的直線l與圓錐曲線交于C，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T的直線m與圓錐曲線切于點(diǎn)D，若這兩條直線的斜率都存在，分別設(shè)為k1和k2，則k1+k2=0的充要條件是|TA|·|TB|=|TD|2.

推廣6 已知點(diǎn)T在圓錐曲線C外，過(guò)點(diǎn)T的直線l與圓錐曲線C切于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)T的直線m與圓錐曲線C切于點(diǎn)B，若這兩條直線的斜率都存在，分別設(shè)為k1和k2，則k1+k2=0的充要條件是|TA|=|TB|.

以上推廣1-4，實(shí)際上我們可以用一個(gè)定理表述，即

定理 若四個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D在圓錐曲線（標(biāo)準(zhǔn)方程）上，則四點(diǎn)共圓的充要條件是存在兩條分別經(jīng)過(guò)其中兩點(diǎn)的相交直線的傾斜角互補(bǔ).

注：因?yàn)閺膱A錐曲線（標(biāo)準(zhǔn)方程）上四個(gè)不同的點(diǎn)中任意選取兩點(diǎn)，一共可以構(gòu)成六條不同的直線，則必存在兩條斜率都存在的相交直線，所以此定理的證明由本文中的“推廣1-4”易得.

點(diǎn)評(píng)：該定理是文獻(xiàn)［3］中定理更為一般的形式，它有一個(gè)妙處：我們可以基于此，把四點(diǎn)共圓這一條件隱藏起來(lái)，即用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言去表達(dá)它，編制不同的試題讓學(xué)生解決；除了本文中的相交弦定理的逆定理和割線定理的逆定理可以刻畫(huà)四點(diǎn)共圓，還可以用西姆松線定理的逆定理［2］與托勒密定理的逆定理［2］等來(lái)刻畫(huà)四點(diǎn)共圓.

問(wèn)題：我們知道圓的切割線定理以及它們的逆定理都是用純幾何法證明，那本文中圓錐曲線的切割線定理能否用純幾何法證明呢？

筆者至今沒(méi)有解決這個(gè)問(wèn)題，希望讀者朋友能給予指導(dǎo).

結(jié)語(yǔ)：經(jīng)筆者查閱文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)本文中的定理與文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］類似，有些遺憾，但是筆者的想法和他們又有些不同；因此，筆者把從發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題、分析這個(gè)問(wèn)題到解決這個(gè)問(wèn)題，進(jìn)而提出新問(wèn)題的心路歷程完整地展現(xiàn)給大家，供相互學(xué)習(xí)、共同進(jìn)步.

參考文獻(xiàn)

［1］坐標(biāo)系與參數(shù)方程（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修4-4，A版）［M］.北京：人民教育出版社，2020：38.

［2］張希營(yíng)，李建華. 托勒密定理與西姆松線定理的等價(jià)性及折射定律的一個(gè)初等證明［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012，51（10）：49-50.

［3］孔繁文.圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)充要條件［J］.數(shù)學(xué)通訊，2016（10）：42-43.

［4］張乃貴.圓錐曲線上四點(diǎn)共圓充要條件的研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（07）：8-10.

［5］羅碎海.2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷第21題賞析與圓錐曲線的切割線定理［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師大），2021（13）：11-13.