圓錐曲線的定義在解題中的運用

方志平

定義是揭示事物本質(zhì)屬性的思想形式，面對一個數(shù)學(xué)對象，回顧它的定義，常常是解決問題的銳利武器. 圓錐曲線的定義是分析、研究、解決圓錐曲線問題的重要依據(jù)與手段，是圓錐曲線幾何性質(zhì)、定理的“ 起源”. 圓錐曲線的很多問題都與定義緊密相連，圓錐曲線的定義滲透在圓錐曲線的各個方面.因此合理應(yīng)用定義是尋求解題捷徑的一種重要方法.本文將借用圓錐曲線的定義巧解一些數(shù)學(xué)試題，希望能給大家一點啟發(fā).

1.巧用橢圓的定義求解

評注：由于AB是過焦點的弦，且弦長已知，此弦長可拆分為兩個焦半徑AF，BF的和，于是聯(lián)想到拋物線的定義，從而求得AA′+BB′=AF+BF=AB=3p，至此，問題的瓶頸得到了突破.

綜上，圓錐曲線的第一定義體現(xiàn)了“質(zhì)”的區(qū)別，而第二定義則體現(xiàn)了“形”的統(tǒng)一，第一定義和第二定義的靈活轉(zhuǎn)換常常是打開解析幾何思路的鑰匙，在題目中挖掘這些隱含信息將有助于競賽試題的解決.另外，運用圓錐曲線的定義解題，通過數(shù)形結(jié)合，不僅能抓住問題的本質(zhì)，還能避開復(fù)雜的運算，使問題巧妙獲解.