楊潔

新修訂的普通高中課程方案明確指出：“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進學(xué)科核心素養(yǎng)的落實.”［1］可見，大概念的提出為有效的課堂教學(xué)組織提供了路徑.最近，筆者再次回顧了兩節(jié)主題為“點到直線的距離公式”市級公開課，上課采用的是“同課異構(gòu)”形式，兩節(jié)課最大的差異就體現(xiàn)在公式推導(dǎo)方法的處理上.到底哪種做法更加自然、更加符合學(xué)生的認知水平？

1 教學(xué)過程簡介與分析

“兩點之間距離最短”是歐式幾何的本質(zhì)所在，把兩點所確定的線段長度定義為這兩點間的距離.利用空間元素的垂直關(guān)系，解決各種各樣的距離問題，這是幾何中解決距離問題的基本思路.點到直線的距離公式是知識的一個交匯點，是一個內(nèi)涵豐富的內(nèi)容，故對公式的推導(dǎo)不能蜻蜓點水，需要讓學(xué)生在過程中體會.公開課中，兩位老師都采用了多種方法來推導(dǎo)點到直線的距離公式，充分地展示了思維的多樣性，通過他們的問題鏈設(shè)計來進行對比分析.

兩位老師都用到了“向量法”和“定義法”，但教學(xué)順序發(fā)生了大顛倒.筆者特意就此請教過兩位教師，得到反饋后總結(jié)如下.

考慮到向量的工具性作用在上一節(jié)“兩點間距離公式”的推導(dǎo)中優(yōu)勢微弱，甚至可能沒有提到，教師甲的問題設(shè)置尊重知識習(xí)得的最近發(fā)展區(qū)理念，逐步將學(xué)生引導(dǎo)到可以借用向量工具來推導(dǎo)公式，既避開了分類討論，又體現(xiàn)了平面向量的威力，有事半功倍的效果.但又考慮到學(xué)生有用定義法推導(dǎo)的想法，故設(shè)計了第二個問題.希望對比兩種方法，讓學(xué)生更好體會向量法的優(yōu)勢.

教師乙尊重學(xué)生的自然思路，用定義法直入，讓學(xué)生在課堂上經(jīng)歷了繁瑣的化簡，并投屏肯定了優(yōu)秀學(xué)生熟練的代數(shù)變化技能.后又筆鋒一轉(zhuǎn)，為了避免多數(shù)同學(xué)由于代數(shù)運算復(fù)雜而產(chǎn)生的錯誤，將方法指向利用直角三角形推導(dǎo)點到直線的距離公式.

兩位教師看似理由都很充分，但仔細分析還是有點站不住腳.兩位教師的理由其實都是基于“這個公式怎么推導(dǎo)”的立場，呈現(xiàn)出來的是“知識點教學(xué)”的課時主義教學(xué)觀，而根本沒有考慮到“點到直線的距離公式”中的學(xué)科系統(tǒng)上的大概念.

我們知道在以核心素養(yǎng)為目標導(dǎo)向今天，“課時主義”的“就課論課”“只見樹木不見樹林”的教學(xué)觀已經(jīng)無法承擔起發(fā)展核心素養(yǎng)的重任，單元教學(xué)才是根本出路.決定單元教學(xué)成敗的關(guān)鍵是能否將散布在教材中“具有關(guān)聯(lián)性”知識點按照一定的“邏輯”進行串聯(lián)、整合、重構(gòu)，并形成相對完整的教學(xué)單元，從而實現(xiàn)單元教學(xué)“上接下聯(lián)”、貫通上位學(xué)科核心素養(yǎng)與下位課時教學(xué)目標之間承上啟下的作用［2］.那么組成單元的“邏輯”到底是什么？如何確定“邏輯”呢？這就需要“怎樣培養(yǎng)人”的“大概念”教學(xué)中樞.也就是說，“大概念”引領(lǐng)“單元教學(xué)”的組織邏輯，它是一個比“單元教學(xué)”更加上位的概念.

2 “大概念”的內(nèi)涵與特征

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價值，是“居于學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念整合相關(guān)知識、原理、技能、活動等課程內(nèi)容要素，形成有關(guān)聯(lián)的課程內(nèi)容組塊”；而大概念教學(xué)則是以大概念為錨點組織教學(xué)的一種方式，具體說，就是以大概念確定教學(xué)的邏輯，圍繞大概念搭建核心觀點框架，依托大概念提升學(xué)生的能力和素養(yǎng).對于數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)，從大概念的本質(zhì)特征、作用機理和教學(xué)功能上可以提煉出以下三點：

2.1 從本質(zhì)特征上看，大概念是“原子核”

大概念就像一個原子核，隱藏于單元所有知識、原理的最深處，位于一般概念的高位，能夠統(tǒng)攝單元內(nèi)所有下位的概念，具有普遍性解釋能力.如“函數(shù)是刻畫事物變化規(guī)律的重要模型”，“立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系”，“統(tǒng)計的研究對象是數(shù)據(jù)，核心是數(shù)據(jù)分析”等.

2.2 從作用機理來看，大概念是“吸鐵石”

大概念如同一塊神奇的“吸鐵石”，魔術(shù)般吸附起各類相關(guān)概念，使它們系統(tǒng)、有序地緊密附著在“吸鐵石”上，并形成一個連貫“活”整體.如“數(shù)形結(jié)合是代數(shù)方法和幾何方法溝通的紐帶”，“數(shù)列求和的技巧要基于對數(shù)列性質(zhì)的理解”，“各種各樣的函數(shù)都是通過基本初等函數(shù)的加、減、乘、除等運算或復(fù)合得到的”等.

2.3 從教學(xué)功能來看，大概念是“文件夾”

大概念類似于具有收納、整理功能的文件夾，它是一個蘊含豐富內(nèi)涵的意義模式，為學(xué)生認識事物、構(gòu)建知識提供了一個優(yōu)質(zhì)的認知框架和結(jié)構(gòu)體系.“文件夾”在屬性上有顯性文件夾和隱性文件夾之分，如“三角函數(shù)學(xué)習(xí)線索：背景、任意角和弧度制—概念—基本性質(zhì)—圖像和性質(zhì)—三角恒等變換—函數(shù)y=Asin（ωx+φ）—應(yīng)用”（顯性文件夾），“三角函數(shù)是圓函數(shù)”（隱性文件夾）.

3 大概念引領(lǐng)下的的教學(xué)改進

克里斯提那·查莫斯從學(xué)科教育角度將“大概念”分了兩類：內(nèi)容大概念和過程大概念.內(nèi)容大概念主要指原理、理論或模型；過程大概念指獲取和使用知識時涉及的技能.分析內(nèi)容和過程，結(jié)合上面對大概念的提煉，“點到直線的距離公式”這一課中的大概念應(yīng)該如何把握？

3.1 立足學(xué)科系統(tǒng)提取“大概念”

大概念教學(xué)的第一步就是站在學(xué)科系統(tǒng)的高度從不同的層級提取大概念.內(nèi)容大概念的提取不是簡單地從知識點中找出知識內(nèi)容的重難點，而是需要站在學(xué)科系統(tǒng)高度，從具體內(nèi)容出發(fā)，分析和挖掘內(nèi)容背后的核心觀點.

“點到直線的距離公式”的關(guān)鍵字眼是“距離”，什么是距離？如果說把距離簡單理解成特殊的“兩點間距離”，那么用定義法推導(dǎo)“點到直線的距離公式”思路自然，方法大眾化，不涉及什么策略性知識，可以程序化.但怎么想到向量法？只是由于運算的復(fù)雜，我們才用向量投影引導(dǎo)學(xué)生從“繁”中解放出來嗎？教師甲問題1的前兩問看似尊重學(xué)生的已有認知，通過先讓學(xué)生回答“與已知直線垂直的直線的方向向量”問題再引向向量法解決問題，但是為什么最初要提到“方向向量”？教師乙在兩種方法推導(dǎo)公式后，以“你還能想到其他方法嗎？向量法可以嗎？”引出向量法.兩位老師都為了“講向量法”而勞心費力，設(shè)計了不同的引導(dǎo)方式.事實上，使用向量法技巧的動機問題始終沒有得到有效解決.問題還得回到“距離”的概念，距離的本質(zhì)是什么？“距離是高維空間到低維空間的度量”這是一個超越歐氏空間的從“映射”角度對“距離”本質(zhì)的回答.在這個大概念下，距離本身就是一個作投影的過程，于是向量法呼之欲出，借助向量正是充分利用了反應(yīng)距離本質(zhì)的垂直概念.

仔細讀“距離是高維空間到低維空間的度量”這個大概念，“度量”的大小可以放到“不等式”、“函數(shù)”、“幾何與代數(shù)”等課程框架內(nèi)容中去解釋，會引出了均值不等式、柯西不等式、二次函數(shù)、三角函數(shù)、極限與導(dǎo)數(shù)、直線方程、向量方法、直角三角形等內(nèi)容.基于這些知識的推導(dǎo)方法在課外材料中比比皆是，可以設(shè)置成一個小的“數(shù)學(xué)探究活動”.可見，大概念引領(lǐng)下的“距離”，就像“原子核”一樣，輻射出各板塊的知識，擁有駭然能量.

3.2 借助大概念建立知識間的關(guān)聯(lián)性

溫·哈倫指出“如果教學(xué)法并與不大概念的需要進行銜接，只是建議教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該專注于大概念是沒有用的.”［3］上位概念如何銜接起下位概念，同層概念之間又該如何銜接？大概念本身就是一種“聯(lián)結(jié)”，大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)就是學(xué)科內(nèi)的概念相互聯(lián)結(jié)、融會貫通的過程.聯(lián)結(jié)越多樣，認知結(jié)構(gòu)層次之間就越容易融通.要建立概念之間的關(guān)聯(lián)性，就把看似孤立的知識點，按照一定的邏輯進行關(guān)聯(lián)，在揭示概念之間緊密聯(lián)系的同時也使學(xué)生的學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出一種連續(xù)不斷的過程.當然，關(guān)聯(lián)不是教師直接告訴學(xué)生，而是在過程中不斷反思形成的.

反思“點到直線的距離公式”中定義法推出公式的過程，運算量較大是學(xué)生產(chǎn)生反感情緒的主要原因.但若望而卻步，回避代數(shù)化簡的過程，會將舊方法與新方法產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的“結(jié)”斷裂開來.實際上，方法的“繁”與“簡”可以相互轉(zhuǎn)化，“簡”是從“繁”中演化出來.

在這里，數(shù)形結(jié)合地考慮，要實現(xiàn)“化繁為簡”，主要利用平行于坐標軸的線段來表示點到直線的距離，通過特殊與一般之間的關(guān)聯(lián)實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，而在轉(zhuǎn)化過程中又要利用三家函數(shù)有關(guān)知識，使距離的表示更加簡單.

如圖，借助大概念建立知識間的關(guān)聯(lián)，好比“吸鐵石”吸硬幣的過程，對一個硬幣的磁化需要時間，然后別的硬幣靠近這枚硬幣時又會被持續(xù)吸引，最后形成一個“活”的連貫體.

3.3 學(xué)生在反思遷移中理解大概念

大概念類似“文件夾”，在具有收納整理功能的結(jié)構(gòu)框架之內(nèi)，學(xué)生能夠有效把握各經(jīng)驗、事物、概念之間的聯(lián)系，并在相互關(guān)聯(lián)的有機整體中理解它們，獲得對知識的深度理解、持久記憶和廣泛遷移，在此基礎(chǔ)上形成學(xué)科思維，最終將大概念建構(gòu)在個體的認知結(jié)構(gòu)中，從而獲得知識、技能、習(xí)慣和品格等具體素養(yǎng)成分交互整合成的核心素養(yǎng).

如果沒有大概念教學(xué)視角，我們看到的課堂小結(jié)是這樣的：請同學(xué)們自主回憶本節(jié)課我們解決了什么問題？用到了哪些方法？你體會到了哪些思想方法？然后師生共同總結(jié)出本節(jié)課我們解決了點到直線的距離問題，建立了點到直線的距離公式，值得注意的是，在這個過程中，用到了兩種經(jīng)典方法.方法一是將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為點到點的距離問題，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的思想；方法二是用借助向量投影，輕松地得到了點到直線的距離公式，體現(xiàn)了“降維”的數(shù)學(xué)思想，感受向量工具的強大作用，以后可能還會用到.

在大概念視角下，知識的框架傾向于設(shè)計以下問題：什么是距離？距離的本質(zhì)是什么？我們?yōu)槭裁磿氲较蛄糠ǎ磕阍诙x法直接代入兩點間距離公式來推導(dǎo)點到直線距離公式遇到的最大困難是什么？從哪些角度可以克服這些困難？這些問題的設(shè)計要基于教師對大概念的理解，合理融入到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，搭建起完整的結(jié)構(gòu)體系.

總之，大概念統(tǒng)攝下的教學(xué)關(guān)鍵環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)變是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)樣態(tài)的創(chuàng)新改革，也是對學(xué)科核心素養(yǎng)落地路徑的積極嘗試和有效探索.深刻理解、科學(xué)提取大概念，依據(jù)大概念進行教學(xué)設(shè)計、實施的過程，有助于教學(xué)從零散走向系統(tǒng)，從“被動灌輸”走向“自然內(nèi)化”，從狹隘走向廣闊，同時可以幫助學(xué)生構(gòu)建優(yōu)質(zhì)的學(xué)科知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生遷移運用知識解決復(fù)雜問題的能力，進而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，真正實現(xiàn)學(xué)科育人.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部制定.普通高中課程方案（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：4.

［2］張肇豐.基于核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計-第十屆有效教學(xué)理論與實踐研討會綜述［J］.上海教育科研，2016（2）：18-21.

［3］溫·哈倫.以大概念理念進行科學(xué)教育［M］.北京：科學(xué)普及出版社，2016.

［4］呂增鋒.數(shù)學(xué)大概念教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)的區(qū)別［J］.中小學(xué)教師培訓(xùn)，2022（03）：35-37.