摘? 要：函數(shù)作為現(xiàn)實(shí)世界中變量間依賴(lài)關(guān)系的模型，無(wú)論是在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)都占有十分重要的地位。但是，如果初、高等數(shù)學(xué)教學(xué)銜接不到位，則會(huì)發(fā)生學(xué)習(xí)脫節(jié)的問(wèn)題，使學(xué)生難以緊隨教師的教學(xué)進(jìn)度，全面掌握高等數(shù)學(xué)知識(shí)。通過(guò)探尋解決初、高等教學(xué)銜接問(wèn)題的對(duì)策，能夠提高教學(xué)的循序漸進(jìn)性，便于學(xué)生的理解，達(dá)成知識(shí)與思維方式的順利過(guò)渡。因此，文章整合國(guó)內(nèi)外有關(guān)初、高等數(shù)學(xué)銜接問(wèn)題的研究文獻(xiàn)，梳理其他學(xué)者在該方面的教學(xué)心得，并由此總結(jié)出銜接不利的原因，以三角、反三角函數(shù)為例，提出解決銜接問(wèn)題的建議，以確保學(xué)生可以從初等數(shù)學(xué)順利過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)，降低學(xué)習(xí)的難度，提高教師教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：初高等數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；反三角函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1673-7164（2023）20-0058-04

雖然我國(guó)高等教育為了滿(mǎn)足大學(xué)生在信息時(shí)代高速發(fā)展下所提出的要求實(shí)施了多次變革，但與初等教育之間的銜接問(wèn)題仍然較為突出，尤其是各個(gè)階段的數(shù)學(xué)教育缺乏完整性與系統(tǒng)性，導(dǎo)致學(xué)生在跨階段學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，感到吃力、迷茫?；跁r(shí)代教育背景，要想幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)各個(gè)階段的無(wú)縫銜接，就要對(duì)初、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的銜接問(wèn)題開(kāi)展深入探究。

一、教育銜接問(wèn)題研究現(xiàn)狀

（一）國(guó)外研究現(xiàn)狀

英國(guó)ICMI會(huì)議早在1997年就將初、高等教育間的過(guò)渡問(wèn)題作為專(zhuān)題進(jìn)行探究［1］。新加坡于1998年召開(kāi)的國(guó)際討論會(huì)上，也對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法和初、高等數(shù)學(xué)之間的過(guò)渡問(wèn)題進(jìn)行了探討。袁本濤與文輔相對(duì)國(guó)外高中級(jí)大學(xué)的銜接問(wèn)題進(jìn)行了總結(jié)分析，發(fā)現(xiàn)銜接工作主要依賴(lài)于大一階段的課程安排，根據(jù)學(xué)生的思維方式與基礎(chǔ)水平調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)內(nèi)容難度，采取靈活的教學(xué)方法，除了課堂傳授外，可定期開(kāi)展閱讀交流會(huì)與測(cè)驗(yàn)來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣，完善學(xué)生知識(shí)架構(gòu)。美國(guó)所實(shí)施的大學(xué)先修課程也能夠促進(jìn)兩個(gè)階段的課程銜接。日本則主要通過(guò)升學(xué)指導(dǎo)課程與第一學(xué)年的教育課程來(lái)實(shí)現(xiàn)高中與大學(xué)課程教學(xué)之間的銜接。

（二）國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀

隨著我國(guó)新課改的逐漸深入，我國(guó)教育領(lǐng)域的專(zhuān)家學(xué)者對(duì)于初、高等數(shù)學(xué)之間的鏈接問(wèn)題也進(jìn)行了深入研究。我國(guó)相關(guān)專(zhuān)家學(xué)者在2008年所舉辦的全國(guó)高師院校數(shù)學(xué)教育研究會(huì)上，就對(duì)學(xué)生中學(xué)階段向下一階段的過(guò)渡問(wèn)題進(jìn)行了思考，并提出了知識(shí)內(nèi)容以及教學(xué)方式的措施［2］。在2012年全國(guó)數(shù)學(xué)教育研究會(huì)上，進(jìn)一步提出了入學(xué)教育承上啟下、緩慢過(guò)渡、相容教學(xué)與學(xué)生至上4條建議［3］。2014年，教育界提出了“加快數(shù)學(xué)教育改革，完善我國(guó)數(shù)學(xué)教育，立足我國(guó)本土教育繼承并發(fā)揚(yáng)基礎(chǔ)教育優(yōu)勢(shì)”等建議。整體來(lái)說(shuō)，我國(guó)學(xué)者對(duì)于初、高等數(shù)學(xué)銜接問(wèn)題的研究集中于教學(xué)方式、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法以及新生入學(xué)適應(yīng)性等幾個(gè)方面。如任傳賢對(duì)各個(gè)階段學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)進(jìn)行了深入分析，并以此為基礎(chǔ)，結(jié)合教材編排，對(duì)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)針對(duì)性地提出了教學(xué)建議。馬俊梅針對(duì)學(xué)習(xí)方法轉(zhuǎn)變途徑提出了有效措施。國(guó)內(nèi)對(duì)于新生入學(xué)適應(yīng)性的研究主要集中于心理、學(xué)習(xí)態(tài)度、人際交往等方面，研究結(jié)果表明，新生入學(xué)前期存在學(xué)習(xí)態(tài)度消極、專(zhuān)業(yè)興趣度不高、對(duì)大學(xué)課程安排與學(xué)習(xí)方法不適應(yīng)等問(wèn)題。

二、三角及反三角函數(shù)銜接問(wèn)題原因分析

（一）三角及反三角函數(shù)銜接問(wèn)題

高中階段學(xué)生為初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)劃下了句號(hào)，也為接受高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備。高考作為篩選人才的一項(xiàng)重要措施，對(duì)于高中數(shù)學(xué)的教學(xué)也會(huì)起到一定的指導(dǎo)作用。高中數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)也會(huì)對(duì)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)起到一定導(dǎo)向作用。為了降低高中生在學(xué)習(xí)中感受的壓力，課程標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)刪減了部分知識(shí)，這雖然能有效降低學(xué)生學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)的壓力，減少初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)量，但從另一角度來(lái)說(shuō)，這也意味著高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)壓力的增加，會(huì)對(duì)學(xué)生今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)埋下隱患［4］。

例如2017年高中課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于積化和差、和差化積、半角公式等方面的要求調(diào)整為推導(dǎo)出即可。這就導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于這三組公式的掌握并不熟練，在求解積分的過(guò)程中十分困難。

（二）三角及反三角函數(shù)銜接問(wèn)題成因分析

教學(xué)并不僅僅是教師向?qū)W生傳授知識(shí)的過(guò)程，更是學(xué)習(xí)者在吸收知識(shí)時(shí)對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)轉(zhuǎn)換、改造、重組、綜合的過(guò)程，是學(xué)習(xí)者對(duì)接觸的新事物、新問(wèn)題進(jìn)行解釋并得出答案的過(guò)程［6］。這一過(guò)程中，學(xué)習(xí)者的知識(shí)技能、思維習(xí)慣、能力水平將直接影響其學(xué)習(xí)的質(zhì)量。在初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)期間，因課程標(biāo)準(zhǔn)刪減了部分反三角函數(shù)的內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生步入大學(xué)后，對(duì)于反三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)僅僅是“原本的三角函數(shù)前加arc”，甚至有部分學(xué)生對(duì)反三角函數(shù)板塊的知識(shí)全無(wú)了解。這就導(dǎo)致學(xué)生在大學(xué)期間接觸反三角函數(shù)知識(shí)時(shí)滿(mǎn)是疑惑，影響學(xué)生理解效率。

三、初、高等數(shù)學(xué)中三角及反三角函數(shù)銜接建議

（一）針對(duì)教師的銜接建議

重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想方法是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一項(xiàng)重要內(nèi)容，在高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中，有諸多思想方法支撐著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維建構(gòu)與數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)。上述數(shù)學(xué)思想方法不僅能提升學(xué)生解題能力，還能延伸學(xué)生知識(shí)涉獵面的維度，為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。三角知識(shí)作為一種函數(shù)模型，其蘊(yùn)含著等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等諸多思想方法［7］。因此，教師在教學(xué)三角函數(shù)知識(shí)時(shí)，就要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，滲透思想方法。在三角函數(shù)教學(xué)中，教師要以教材為出發(fā)點(diǎn)，幫助學(xué)生理解知識(shí)發(fā)生與發(fā)展的過(guò)程。在深入理解教材知識(shí)的基礎(chǔ)上，還要在設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程時(shí)融入思想方法，將知識(shí)發(fā)生與形成的過(guò)程展示給學(xué)生。例如在講解如下例題時(shí)，就有兩種解決方式：

對(duì)于（1）的解析有兩種方式：等號(hào)左邊為異名三角函數(shù)相乘，右邊為兩個(gè)同名函數(shù)相加，通過(guò)和與差正弦公式的展開(kāi)與合并就可得出；等號(hào)左邊根據(jù)兩角和與差正弦公式得到異名三角函數(shù)，右邊存在兩角和、差公式，運(yùn)用函數(shù)與方程思想方法即可列出方程組進(jìn)行證明。

注重學(xué)生核心素養(yǎng)提升。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)就是指對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)思維進(jìn)行培育，核心在于培養(yǎng)學(xué)生自主解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。新課改基于核心素養(yǎng)提出以下要求：創(chuàng)設(shè)相應(yīng)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生思考，帶領(lǐng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)［8］。因此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中必須采取情景教學(xué)等教學(xué)手段，有目的地培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識(shí)。比如在利用正余弦定理解三角形問(wèn)題中，融入爬山、與同伴相約某地等生活情境，可使原本抽象的知識(shí)點(diǎn)具備生活化、具象化特征，簡(jiǎn)化知識(shí)難點(diǎn)，確保學(xué)生能夠感知到數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活之間的聯(lián)系，激發(fā)其學(xué)習(xí)的積極性，并使學(xué)生基于情境問(wèn)題，在腦海中自動(dòng)串聯(lián)新舊知識(shí)，重新整合知識(shí)架構(gòu)，自主解答問(wèn)題，從而在探索、思考與分析的過(guò)程中，提高自身的自主學(xué)習(xí)能力、邏輯思維能力、知識(shí)應(yīng)用能力、問(wèn)題分析與解決能力等核心素養(yǎng)。

樹(shù)立終身學(xué)習(xí)理念。在我國(guó)信息技術(shù)高速發(fā)展的時(shí)代背景下，教師作為學(xué)校與社會(huì)之間的橋梁，必須樹(shù)立終身學(xué)習(xí)的理念。一方面，教師要樹(shù)立終身事業(yè)理念，并為之付諸實(shí)際行動(dòng)，通過(guò)提升自身專(zhuān)業(yè)素質(zhì)，將抽象數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，深?yuàn)W知識(shí)簡(jiǎn)單化。另一方面，教師必須樹(shù)立全局性、發(fā)展性的眼光，明確教育主體為學(xué)生，自身在教育中的主要任務(wù)就是為了幫助學(xué)生掌握必備的知識(shí)技能，使學(xué)生順利步入下一階段的學(xué)習(xí)。

對(duì)于高中階段的數(shù)學(xué)教師而言，終身學(xué)習(xí)的含義是掌握知識(shí)的來(lái)龍去脈，明確數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。三角知識(shí)作為連接初、高等數(shù)學(xué)的知識(shí)橋梁之一，是三角函數(shù)的主要研究對(duì)象。站在學(xué)校角度分析，初中學(xué)習(xí)直角三角形中銳角三角函數(shù)是為了高中學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)作鋪墊，而高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)與反三角函數(shù)又是為了大學(xué)階段學(xué)習(xí)極限、微積分與級(jí)數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)打下基礎(chǔ)。因?yàn)楦鱾€(gè)階段的知識(shí)都是逐步遞進(jìn)的，所以教師必須明確學(xué)生的知識(shí)水平，促進(jìn)各個(gè)階段知識(shí)的有效銜接，幫助學(xué)生深入理解知識(shí)。大學(xué)教師也必須了解高中階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材內(nèi)容，以便于實(shí)施教學(xué)，避免抽象知識(shí)影響學(xué)生理解程度和學(xué)習(xí)效率的提升。

（二）針對(duì)學(xué)生的銜接建議

養(yǎng)成自主思考習(xí)慣。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，養(yǎng)成獨(dú)立自主的學(xué)習(xí)習(xí)慣與思考習(xí)慣對(duì)于學(xué)習(xí)效率的提升來(lái)說(shuō)尤為重要，這不僅能夠形成學(xué)習(xí)主動(dòng)性，還能促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，逐漸形成自主學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新創(chuàng)造精神。學(xué)生獨(dú)立思考與自主學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成，可從以下三個(gè)方面著手：首先，應(yīng)保持對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的好奇心，在好奇心的驅(qū)使作用下，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中的公式、定理和定義進(jìn)行深入探究，避免因死記硬背而無(wú)法理解其推導(dǎo)過(guò)程。這不僅能夠幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更為透徹，還能夠幫助其養(yǎng)成思考問(wèn)題的習(xí)慣。其次，教師必須善于歸納總結(jié)，站在整體高度對(duì)各個(gè)板塊的數(shù)學(xué)知識(shí)予以把握。數(shù)學(xué)教材中各部分的內(nèi)容教學(xué)順序與知識(shí)點(diǎn)分布都是精心安排的，其邏輯性非常強(qiáng)。因此，學(xué)生自主分析并歸納總結(jié)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，通過(guò)思維導(dǎo)圖將知識(shí)系統(tǒng)化，能夠幫助學(xué)生理清各個(gè)知識(shí)之間的聯(lián)系性與層次性。最后，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)不應(yīng)局限于課本，更應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步延伸并加強(qiáng)思考。數(shù)學(xué)知識(shí)并非獨(dú)立存在的，在現(xiàn)實(shí)生活中明確數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，并建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，站在多個(gè)角度進(jìn)行立體性思考，通過(guò)演繹推理的方式，深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)是尤為重要的。

發(fā)揮理性思辨精神。實(shí)踐研究表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)將理性思辨精神充分發(fā)揮出來(lái)，能夠通過(guò)邏輯思考、分析判斷、抽象推理等方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的內(nèi)化，并將其逐漸演變成為適合自己的解題思路，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活應(yīng)用。對(duì)于數(shù)學(xué)公式的記憶與學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，理性思辨精神的發(fā)揮就是在學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)推導(dǎo)公式，深度理解并熟悉公式。但是，這一推導(dǎo)過(guò)程是從已知推向未知的，因此并不適用于數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生。只有根據(jù)自身的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與思維習(xí)慣探索合適自身的解題方法，才能提升學(xué)習(xí)效率。

（三）針對(duì)課程改革與課程設(shè)置的銜接建議

設(shè)置開(kāi)放課程，強(qiáng)化各學(xué)段交流。我國(guó)基礎(chǔ)教育課程經(jīng)歷了多次改革，而基于初、高等數(shù)學(xué)銜接所設(shè)置開(kāi)放課程，主要從以下兩個(gè)方面出發(fā)：一方面是在設(shè)置初等教育課程時(shí)，邀請(qǐng)諸多高等數(shù)學(xué)教師參與其中，分析高中數(shù)學(xué)知識(shí)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與銜接是否合理。而高等數(shù)學(xué)課程在設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)對(duì)大一新生的知識(shí)水平與思維結(jié)構(gòu)具有深入了解，在設(shè)計(jì)前期課程時(shí)，避免因復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)造成學(xué)生學(xué)習(xí)壓力；另一方面，為了讓學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值，教師可以以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為基礎(chǔ)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)興趣課堂或建模課堂等課程，全面激發(fā)學(xué)生興趣，拓展學(xué)生眼界，并為其后續(xù)步入高等數(shù)學(xué)課堂做足準(zhǔn)備。

研發(fā)預(yù)修課程，降低高等教育壓力。大學(xué)優(yōu)秀課程的建設(shè)主要是為了初、高等數(shù)學(xué)之間的銜接，而這部分課程需在大一新生開(kāi)學(xué)前自學(xué)完成。對(duì)于大學(xué)必修課程的開(kāi)設(shè)有以下建議：（1）預(yù)修教材。高校教師需結(jié)合自身教育經(jīng)驗(yàn)，考慮高等數(shù)學(xué)知識(shí)難度以及學(xué)生理解能力，選取合適的書(shū)籍作為預(yù)修教材。（2）學(xué)習(xí)方式?；跀?shù)學(xué)書(shū)本知識(shí)的學(xué)習(xí)尤為枯燥，且學(xué)生學(xué)習(xí)能力無(wú)法自主完成學(xué)習(xí)未知知識(shí)，因此高校教師可提前錄制課程或開(kāi)設(shè)直播間，為學(xué)生答疑解惑。（3）考核方式。雖預(yù)修課程不屬于正常課時(shí)的課程，但是預(yù)修課程是高等數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，采取合理的考核方式是為了讓學(xué)生對(duì)其加強(qiáng)重視，充分發(fā)揮教學(xué)效果。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，導(dǎo)致初、高等數(shù)學(xué)教育銜接問(wèn)題的重要因素在于各個(gè)階段數(shù)學(xué)教育目的與教育理念的不一致、知識(shí)邏輯與結(jié)構(gòu)的不完整性、學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)以及教師終身學(xué)習(xí)理念的缺失等。因此，教師必須樹(shù)立終身學(xué)習(xí)理念，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及核心素養(yǎng)的培育，并幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)建立開(kāi)放性的各學(xué)段交流渠道，開(kāi)設(shè)大學(xué)預(yù)修課程，解決初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的銜接問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)的系統(tǒng)性與完整性，降低高等數(shù)學(xué)教育的壓力，促進(jìn)我國(guó)教育事業(yè)發(fā)展。

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［4］ 秦孝艷，劉春勝. 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接問(wèn)題的思考［J］. 棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，37（02）：125-128.

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［6］ 孫俠，殷志祥，徐輝，等. 論以“有的放矢、平穩(wěn)過(guò)渡、培養(yǎng)創(chuàng)新”為核心的三位一體的教學(xué)改革新模式——對(duì)高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)的脫節(jié)與銜接問(wèn)題的思考［J］. 教育教學(xué)論壇，2016（02）：5-6.

［7］ 孫俠，殷志祥，許峰，等. 高等數(shù)學(xué)和新課標(biāo)下中學(xué)數(shù)學(xué)的脫節(jié)與銜接問(wèn)題的研究與探索［J］. 教育教學(xué)論壇，2013（52）：214-215.

［8］ 曹欣杰. 淺析高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接問(wèn)題［J］. 科學(xué)咨詢(xún)（科技·管理），2013（12）：132.

（薦稿人：許敬輝，玉林師范學(xué)院政法學(xué)院副教授）

（責(zé)任編輯：淳潔）

作者簡(jiǎn)介：譚潔（1995—），女，碩士，萬(wàn)博科技職業(yè)學(xué)院助教，研究方向?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)教育。