求解不等式恒成立問題的嫌疑點(diǎn)法

重慶市璧山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校(402760) 秦文波 劉志成

重慶市璧山中學(xué)校(402760) 蒙春雪

一、問題的提出

含參不等式恒成立問題是高考命題的熱點(diǎn),也是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).對該類問題的簡化求解激發(fā)了廣大師生和研究者的研究興趣,從相關(guān)文獻(xiàn)來看,確實(shí)形成了不少有效成果.這些成果從方法的角度大致可以分為三類:直接法、分離函數(shù)法和必要性探路法.

從我們的教學(xué)和解題實(shí)踐來看,這三類方法雖然各有優(yōu)劣,但相較而言必要性探路法更易切入和更具可操作性,但此類方法也有難點(diǎn),那就是如何尋找“最合適”的必要條件.如果選取的必要條件“不夠精確”,那就不能達(dá)到降低難度的目的.怎樣讓必要性探路探得更精確些? 有學(xué)者提出了“端點(diǎn)效應(yīng)法”、“零點(diǎn)效應(yīng)法”、“切點(diǎn)法”和“極值點(diǎn)法”等等,這幾類方法對某些問題的解決確有奇效,但它們都未能將必要性探路探得“最精確”,未能探出充要條件.什么樣的必要條件才能探出充要條件? 本文對此作一些探討.

二、基本問題與思路

基本問題:已知f(x)是含參數(shù)a的可導(dǎo)函數(shù),若?x ∈[m,+∞),f(x)≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

基本思路:類比可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法,將所有可能影響函數(shù)圖象走勢的關(guān)鍵點(diǎn)找出來,通過控制函數(shù)在這些點(diǎn)處的局部圖象走勢,去控制函數(shù)圖象在整個區(qū)間上的整體走勢,從而保證函數(shù)圖象全部不在x軸下方,確保所有函數(shù)值非負(fù).

三、引例與約定

引例1(2020年高考全國Ⅰ卷理科第21 題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2?x.當(dāng)x≥0 時,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

說明依題意,(x≥0)恒成立.g(0)=0,g′(0)=0.

引例2(2017年高考全國Ⅲ卷理科第21 題改編)已知函數(shù)f(x)=x?1?alnx.若求a的取值范圍.

說明,

引例3(2015年高考山東卷理科第22 題改編)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2?x).若?x≥0,f(x)≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

說明f(0)=0,f′(0)=1?a,

為了敘述方便,本文作如下約定:

(1)真零點(diǎn)與嫌疑零點(diǎn):對于含參數(shù)a的可導(dǎo)函數(shù)f(x),若f(t)=0 對a ∈R 恒成立,就稱t為f(x)的真零點(diǎn);若f(t)=0 成立但t與參數(shù)a有關(guān),則稱t是f(x)的嫌疑零點(diǎn).

如例1 中的0 是g(x)的真零點(diǎn),2 是g(x)的嫌疑零點(diǎn);例2 中的是f(x)的嫌疑零點(diǎn),1 是f(x)的真零點(diǎn);例3中的0 是f(x)的真零點(diǎn).

(2)真零切點(diǎn)與嫌疑零切點(diǎn):對于含參數(shù)a的方程組若其解為則x0叫做f(x)的真零切點(diǎn),若其解為則x0叫做f(x)的嫌疑零切點(diǎn),將這兩種點(diǎn)x0統(tǒng)稱為零切點(diǎn).

如例1 中的0 是g(x)的真零切點(diǎn),2 是g(x)的嫌疑零切點(diǎn);例2 中的1 是f(x)的嫌疑零切點(diǎn);例3 中的0 是f(x)的嫌疑零切點(diǎn).

四、三類關(guān)鍵點(diǎn)

一般地,影響函數(shù)圖象走勢進(jìn)而影響函數(shù)值符號的關(guān)鍵點(diǎn)有三類:區(qū)間左端點(diǎn)、區(qū)間右端點(diǎn)和區(qū)間內(nèi)部的零切點(diǎn).下面逐一分析.

(一)區(qū)間左端點(diǎn)

要使f(x)≥0,就必須有f(m)≥0,但要確保從左端點(diǎn)m出來后的函數(shù)值非負(fù),僅有f(m)≥0 是不夠的,需要對x=m處的函數(shù)值或?qū)?shù)值分情形限定.

情形1m是真零點(diǎn)

當(dāng)m是f(x)的嫌疑零切點(diǎn)時,根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,只有f′(m)≥0 時,才能確保f(x)在x=m處的右鄰域[m,m+δ)(區(qū)間很小,δ是個充分小的量)內(nèi)函數(shù)值為正;當(dāng)m是f(x)的真零切點(diǎn)時,若f′′(m)?≡0 則必須要求f′′(m)≥0,若f′′′(m)?≡0 則必須要求f′′′(m)≥0,如此繼續(xù),直到找到不恒為零的導(dǎo)數(shù)值并令其非負(fù),才能確保f(x)在x=m處的右鄰域[m,m+δ)(區(qū)間很小,δ是個充分小的量)內(nèi)的圖象不會位于x軸的下方.

情形2m是嫌疑零點(diǎn)

由于m是f(x)的嫌疑零點(diǎn),所以f(m)的符號不確定(依賴于參數(shù)a的取值).f(x)在x=m處的圖象只有位于x軸的上方或者與x軸相切才可能滿足條件,而且與x軸相切后圖象必須上升.因此,若m不是f(x)的零切點(diǎn)則需要滿足f(m)>0,若m是f(x)的嫌疑零切點(diǎn)則需要滿足f(m)≥0.

(二)區(qū)間內(nèi)部零切點(diǎn)

從左端點(diǎn)出來的f(x)的圖象已經(jīng)在x軸的的上方,但其接下來可能往上走也可能向下走,若要確保其一定不穿過x軸,只要將其可能與x軸相交的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)榱闱悬c(diǎn),并且該零切點(diǎn)為極小值點(diǎn)即可.因此,區(qū)間內(nèi)若存在零切點(diǎn)x0則需要分情形限定.

情形1x0是真零切點(diǎn)

若f′′(x0)?≡0,則需要f′′(x0)≥0;若f′′(x0)≡0,f′′′(x0)0,則需要f′′′(x0)≥0;如此繼續(xù),直到得到不恒為零的導(dǎo)數(shù)值,并令其非負(fù)即可.

情形2x0是嫌疑零切點(diǎn)

若x0是f(x)的真零點(diǎn)且f′(x0)?≡0,則需要f′(x0)=0,f′′(x0)>0;若x0是f(x)的嫌疑零點(diǎn),則需要f(x0)≥0.

(三)區(qū)間右端點(diǎn)

由于區(qū)間右端點(diǎn)是+∞,要確?！皒 →+∞時,f(x)≥0”,我們只需要借助函數(shù)f(x)的極限,或者將f(x)拆分成兩個函數(shù)的差之后,通過比較它們的大小去控制參數(shù)a的范圍即可.

(四)一種特例

若f(x)在整個定義域上無零切點(diǎn),則說明f(x)的所有圖象都在x軸上方,或者都經(jīng)過x軸下方的某個(或多個)定點(diǎn).前者只需f(m)≥0 且x →+∞時f(x)≥0 即可.對于后者,若有定點(diǎn)在區(qū)間(m,+∞)內(nèi),則原問題無解(一般不出現(xiàn));若沒有定點(diǎn)在區(qū)間(m,+∞)內(nèi),則只需要f(m)≥0且x →+∞時f(x)≥0 即可.

五、嫌疑點(diǎn)法

對于“f(x)是含有參數(shù)a的一元函數(shù),若?x ∈[m,+∞),f(x)≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.”問題,用三類關(guān)鍵點(diǎn)去求解該問題的方法我們稱為“嫌疑點(diǎn)法”,其具體步驟如下:

第一步,計算零切點(diǎn)

(1)當(dāng)x0不存在時,若f(x)經(jīng)過x軸下面的某個(或多個)定點(diǎn),且該定點(diǎn)在區(qū)間(m,+∞)內(nèi),則a ∈?;其余x0不存在的情形均令f(m)≥0 且x →+∞時f(x)≥0,由此解出a的范圍,記作集合Q.

(2)當(dāng)x0存在時,若x0/∈[m,+∞),令f(m)≥0 且x →+∞時f(x)≥0,由此解出a的范圍,記作集合Q;若x0∈[m,+∞)時,則進(jìn)入第二步.

第二步,由左端點(diǎn)求出參數(shù)的大致取值范圍

(1)m是f(x)的真零點(diǎn)

若m是真零切點(diǎn)(m=x0),若f′′(m)?≡0,則令f′′(m)≥0;若f′′′(m)?≡0,則令f′′′(m)≥0;如此繼續(xù),直到得到不恒為零的導(dǎo)數(shù)值,并令其非負(fù),解出a的范圍,記作集合A;

若m是嫌疑零切點(diǎn)(m=x0),則令f′(m)≥0,由此解出a的范圍,記作集合A.

(2)m是f(x)的嫌疑零點(diǎn)

若m是嫌疑零切點(diǎn)(m=x0),則令f(m)≥0,由此解出a的范圍,記作集合A;

若m不是零切點(diǎn),則令f(m)>0,由此解出a的范圍,記作集合A.

第三步,由內(nèi)部零切點(diǎn)求出參數(shù)的大致取值范圍

(1)x0是f(x)的真零切點(diǎn)

若f′′(x0)?≡0,則令f′′(x0)≥0;若f′′(x0)≡0,f′′′(x0)?≡0,則令f′′′(x0)≥0;如此繼續(xù),直到得到不恒為零的導(dǎo)數(shù)值,并令其非負(fù),解出a的范圍,記作集合B.

(2)x0是f(x)的嫌疑零切點(diǎn)

若x0是真零點(diǎn)(f(x0)≡0),f′(x0)?≡0,則令f′(x0)=0,f′′(x0)>0,由此解出a的值,記作集合B;

若x0是嫌疑零點(diǎn)(f(x0)?≡0),則令f(x0)≥0,由此求出a的范圍,記作集合B.

(注:如果有多個零點(diǎn)x0則取參數(shù)a的公共范圍,記作集合B.)

第四步,由右端點(diǎn)求出參數(shù)的大致取值范圍

通過考查x →+∞時f(x)的符號,求得a的范圍,記作集合C.

第五步,求出參數(shù)a的準(zhǔn)確取值范圍

記D=A ∩B ∩C,則D或Q或?為參數(shù)a的最終取值集合.

六、模型應(yīng)用

引例1 解答依題意,(x≥0)恒成立.ex?3x+2a.

由g′′(0)≥0 得由g(2)≥0 得要使得x →+∞時,g(x)≥0,只須a ∈R.由得.

引例2 解答由得由得因為f(1)=0,所以即a=1.要使得x →+∞時,f(x)≥0,只須a ∈R.由得a=1.

引例 3解:由由f′(0)≥0 得a≤1.若要x →+∞時f(x)≥0,則a≥0.由得0 ≤a≤1.

說明對于x →+∞時的兩個正無窮大量的比較,可以參考下面的方法:

設(shè)x →+∞時,f(x)→+∞,g(x)→+∞,且若t=+∞,則f(x)?g(x),x →+∞時f(x)?g(x)>0;若t=0,則f(x)?g(x),x →+∞時f(x)?g(x)<0.特別地,當(dāng)x →+∞時,有ax?xb?logax(a>1,b>0).

對于引例2,因為當(dāng)a >0,x →+∞時,alnx →+∞,所以x?1?alnx,f(x)=x?1?alnx >0 成立;當(dāng)a <0,x →+∞時,alnx →?∞,x+1→+∞,f(x)=x?1?alnx >0成立.所以x →+∞時,f(x)=x?1?alnx>0 對a ∈R均成立.

對于引例3,由于當(dāng)a <0,x →+∞時,ln(x+1)→+∞,?a(x2?x)→+∞,

所以a<0,x →+∞時f(x)=ln(x+1)+a(x2?x)<0,從而a <0 不合題意;當(dāng)a >0,x →+∞時,ln(x+1)→+∞,a(x2?x)→+∞,所以a >0,x →+∞時f(x)=ln(x+1)+a(x2?x)>0,從而a>0 滿足題意.

七、結(jié)語

“嫌疑點(diǎn)法”是通過類比可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法,借助必要條件(關(guān)鍵點(diǎn)處函數(shù)值的符號)探路探出“充要條件”的一種方法,是對“必要性探路法”的進(jìn)一步完備.該方法的使用有兩大難點(diǎn),一是在求解零切點(diǎn)時可能會遇到超越方程,二是在考查右端點(diǎn)+∞時需要用到極限或者兩個無窮大量的比較.如果超越方程解不出來或者無法用隱零點(diǎn)代換,右端點(diǎn)時的極限無法確定或者兩個無窮大量無法比較大小,都會導(dǎo)致用該方法陷入困境.此時需要選擇其它方法求解.限于篇幅,本文只介紹了區(qū)間形式為[m,+∞)的“嫌疑點(diǎn)法”,其它區(qū)間情形留給讀者朋友自行探討.