王中, 溫志文, 蔡衛(wèi)軍, 王佩

(1.中國船舶集團(tuán)公司 第705研究所, 陜西 西安 710077; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

隨著魚雷精確制導(dǎo)技術(shù)的日益發(fā)展,潛艇的防御能力面臨更加嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。主動防御手段已經(jīng)成為潛艇防御的主要方式之一。潛艇發(fā)現(xiàn)來襲重型魚雷后發(fā)射反魚雷魚雷(anti-torpedo torpedo,ATT)實施攔截,同時采用機(jī)動規(guī)避策略進(jìn)一步增大來襲重型魚雷的追蹤難度。這種攻防模式不同于以往雷艇之間的兩方對抗模式,變?yōu)槿较嗷プ粉?規(guī)避博弈模式。為了應(yīng)對這種對抗模式,為ATT和潛艇設(shè)計可行的攔截制導(dǎo)律和規(guī)避策略迫在眉睫。三方攻防博弈場景涉及潛艇、ATT和來襲魚雷。

李博文[1]以機(jī)動目標(biāo)攔截為背景,采用矩陣對策博弈理論設(shè)計了攔截-規(guī)避兩方博弈模式下的制導(dǎo)律。朱雅萌等[2]采用強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法設(shè)計了機(jī)動博弈制導(dǎo)律提高飛行器的突防能力。蘇山等[3]針對二對一攔截問題基于微分對策理論設(shè)計了協(xié)同對抗博弈制導(dǎo)律。Talebi等[4]針對多攔一的反導(dǎo)突防博弈場景,設(shè)計了3種不同的攔截博弈策略。Faruqi[5]針對導(dǎo)彈三方追逃博弈問題進(jìn)行了研究,設(shè)計了基于最優(yōu)控制理論的三方制導(dǎo)律。Singh等[6]在研究目標(biāo)-攻擊者-防御者的三方博弈問題時,采用微分對策理論來設(shè)計博弈制導(dǎo)律。Garcia等[7]將兩方攔截問題轉(zhuǎn)化為兩方零和博弈問題,基于模糊評估設(shè)計在線任務(wù)規(guī)劃的方法實現(xiàn)納什均衡問題的求解。

反魚雷魚雷作為一種新型的“硬殺傷”武器,逐漸成為水下攻防的研究重點之一。李宗吉等[8]采用變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計了縱向攔截導(dǎo)引律。Ye等[9]設(shè)計了基于變結(jié)構(gòu)控制的反魚雷制導(dǎo)律。葉慧娟等[10]設(shè)計了雙滑?？刂破?提高了命中精度和制導(dǎo)魯棒性。張銳等[11]設(shè)計了變指令周期最優(yōu)滑模導(dǎo)引律,提高了攔截性能。孫振新等[12]建立了4種攔截模型,設(shè)計了不同距離下反魚雷魚雷的攔截策略。Wu等[13]建立了一個預(yù)先評估電磁發(fā)射反魚雷魚雷捕獲概率的分析模型。從上述反魚雷魚雷制導(dǎo)研究現(xiàn)狀可以看出,目前主動防御研究主要集中在反魚雷魚雷對目標(biāo)魚雷的攔截導(dǎo)引律研究,尚未從潛艇、反魚雷魚雷、來襲魚雷三方攻防的角度開展博弈制導(dǎo)在水下攻防策略方面的應(yīng)用研究。當(dāng)前博弈制導(dǎo)研究主要集中在反導(dǎo)突防作戰(zhàn)領(lǐng)域,由于反導(dǎo)攔截場景中攔截彈采取預(yù)測碰撞攔截方式,攔截彈速度小于目標(biāo)速度,目標(biāo)受彈道形式影響機(jī)動能力有限,這些與水下攻防場景中潛艇、反魚雷魚雷、來襲魚雷的彈道、速度特性、機(jī)動特性相差較大,因此有必要開展水下攻防博弈策略研究。

本文以水下三方博弈對抗為背景,建立三方攻防的運動學(xué)模型,在考慮三方機(jī)動性能約束的條件下設(shè)計潛艇規(guī)避策略、ATT制導(dǎo)律,實現(xiàn)規(guī)避來襲魚雷并主動攔截來襲魚雷的防御模式。

1 三方交戰(zhàn)運動學(xué)模型

三方攻防博弈問題可以看作2個兩方追逃問題,分別是來襲魚雷和潛艇的兩方追逃問題及ATT和來襲魚雷的兩方追逃問題。因此,首先針對兩方博弈問題建立運動建模。

首先在慣性坐標(biāo)系中建立任意航行器的運動學(xué)方程為:

(1)

式中,變量為時間t的函數(shù),xi,yi,zi分別為航行器i在慣性系中的位置;ui,vi,wi分別為航行器i在慣性系x方向,y方向,z方向的速度;axi,ayi,azi為航行器i在慣性系x方向,y方向,z方向的加速度。

考慮航行器之間的相對狀態(tài),其相對運動可描述為

(2)

式中:xij,yij,zij分別為航行器i相對于航行器j在慣性系中x方向、y方向、z方向的相對位置;uij,vij,wij分別為航行器i相對于航行器j在慣性系中x方向、y方向、z方向相對速度;axij,ayij,azij分別為航行器i相對于航行器j在慣性系中x方向、y方向、z方向的相對加速度。

為方便使用最優(yōu)控制理論進(jìn)行研究,將上述建立的運動模型用矩陣的形式進(jìn)行描述

(3)

同樣,可以把相對運動方程描述為

(4)

將兩者合起來,可以統(tǒng)一描述為

(5)

逃逸方實施規(guī)避通過改變Aj來實現(xiàn),追蹤方實施攔截,通過Ai來實現(xiàn)。

2 微分博弈策略設(shè)計

2.1 兩方非合作博弈問題表示

一般非合作兩方博弈優(yōu)化問題的性能指標(biāo)函數(shù)如下

(6)

希望找出u1,u2,使得以下問題最優(yōu)

(7)

對于兩方追逃問題來說,追蹤者希望找到最優(yōu)控制u1在最小化末端脫靶量的同時盡可能減少能量消耗,而逃避者希望找到最優(yōu)控制輸入u2最大化末端脫靶量的同時盡量減少能量消耗。兩方追逃問題轉(zhuǎn)化為兩方零和博弈問題,使用脫靶量和需用加速度來構(gòu)造性能指標(biāo),為了獲得追逃雙方的最優(yōu)博弈策略,將性能指標(biāo)函數(shù)設(shè)計為

(8)

(9)

定義哈密頓函數(shù)為

(10)

式中,λ∈R6為協(xié)態(tài)向量。

(11)

終端條件為:

λ(tf)=SY12(tf)

(12)

(13)

將控制輸入構(gòu)建為系統(tǒng)相對狀態(tài)的函數(shù),假設(shè)λ為如下形式

λ=PY12+ξ

(14)

式中:P∈R6×6為矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠痰慕?ξ∈R6×1為矢量黎卡提微分方程的解。

因此

(15)

由λ表達(dá)式可得

(16)

(17)

由于方程(17)的解必須滿足所有的Y12,所以它必須滿足以下微分方程

2.2 三方博弈問題

根據(jù)兩方追逃博弈運動模型,假設(shè)潛艇為j=1,ATT為i=2,來襲魚雷為i=3,則相對運動由2個相對交戰(zhàn)運動模型描述。魚雷與潛艇的相對交戰(zhàn)運動學(xué)模型可表示為

(20)

ATT與來襲魚雷的相對交戰(zhàn)運動學(xué)模型可表示為

(21)

對于來襲魚雷和潛艇來說,建立微分博弈決策的性能指標(biāo)J1為

(22)

對于ATT和來襲魚雷來說,建立微分博弈決策的性能指標(biāo)J2為

(23)

通過上述指標(biāo)設(shè)計,將三方博弈攻防問題轉(zhuǎn)化為2個雙邊極值問題即

(24)

這樣一來就變成了2個兩方追逃微分博弈制導(dǎo)問題,根據(jù)最優(yōu)控制理論,可以定義2個哈密爾頓函數(shù)

(25)

根據(jù)最優(yōu)解的必要條件,可以通過哈密爾頓函數(shù)相對輸入的一階偏導(dǎo)為0來獲得。

(26)

(27)

哈密爾頓算子的最優(yōu)條件也可以得到如下關(guān)系

假設(shè)λ1,λ2可以看作是由系統(tǒng)相對狀態(tài)組成的函數(shù),則λ1=P1Y31+ξ1和λ2=P2Y23+ξ2,這樣就可以得到三方追逃策略為

(30)

由(26)～(27)式可得到P1,P2。ξ1,ξ2可通過求解如(31)～(32)式的矩陣?yán)杩ㄌ岱匠獭⑹噶坷杩ㄌ嵛⒎址匠太@得。

式中,P1,P2稱為黎卡提矩陣;ξ1,ξ2稱為黎卡提矢量。

結(jié)合微分方程邊界條件P1(tf1)=S1,ξ1(tf1)=0,P2(tf2)=S2和ξ2(tf2)=0,可推導(dǎo)最優(yōu)策略的解析表達(dá)式。

3 三方博弈解析策略設(shè)計

(33)

可得三方制導(dǎo)干擾項為

(34)

這樣根據(jù)(30)式可以獲得潛艇最優(yōu)博弈規(guī)避策略解析表達(dá)式為

(35)

ATT的最優(yōu)主動博弈攔截制導(dǎo)律的解析表達(dá)式為

(36)

魚雷的最優(yōu)博弈攻擊制導(dǎo)律的解析表達(dá)式為

(37)

4 仿真驗證

假設(shè)潛艇速度為12 m/s,最大轉(zhuǎn)彎角速度為1°/s,只在水平面內(nèi)規(guī)避。ATT速度為25 m/s,最大轉(zhuǎn)彎角速度60°/s,來襲重型魚雷速度為30 m/s,最大轉(zhuǎn)彎角速度為35°/s。

仿真態(tài)勢設(shè)置:相對距離3 000 m,來襲魚雷航向角為120°,ATT航向角為30°,潛艇航向角為0°,潛艇初始深度200 m,來襲魚雷初始深度100 m。為了對比采用博弈策略的效果,假設(shè)ATT攔截命中重型魚雷后,并不終止仿真,三方繼續(xù)運行,來襲魚雷繼續(xù)攻擊直至命中潛艇或脫靶。

4.1 工況一 來襲魚雷采用比例導(dǎo)引律進(jìn)行攻擊

1) 條件1潛艇不采用博弈規(guī)避

潛艇不規(guī)避,來襲魚雷采用比例導(dǎo)引律打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖1～2所示。

圖1 潛艇不采取博弈規(guī)避策略情況下兩方水下運動軌跡

圖1給出了潛艇不采取博弈規(guī)避策略下的潛艇和魚雷的水下運動軌跡。由圖2可以看出魚雷采用比例導(dǎo)引律進(jìn)行攔截時67.25 s可以命中潛艇,脫靶量為0.76 m。

圖2 潛艇不采取博弈規(guī)避策略情況下魚雷脫靶量

2) 條件2:潛艇采用博弈規(guī)避策略

潛艇采取博弈規(guī)避策略,來襲魚雷采用比例導(dǎo)引律打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖3～4所示。

圖3 潛艇采取博弈規(guī)避策略情況下兩方水下運動軌跡

圖3為潛艇采取博弈規(guī)避策略下的潛艇和魚雷的水下運動軌跡。由圖4可以看出魚雷在72.25 s可以命中潛艇,脫靶量為0.98 m。與情況1相比,潛艇采取規(guī)避后首次命中時間增加5 s,脫靶量增加27.5%,但由于機(jī)動能力相差近90倍,脫靶量仍然較低,僅靠潛艇規(guī)避很難保證自身安全。

圖4 潛艇采取博弈規(guī)避策略情況下魚雷脫靶量

3) 條件3:潛艇發(fā)現(xiàn)來襲魚雷后發(fā)射ATT,然后進(jìn)行博弈規(guī)避

潛艇采取博弈規(guī)避策略,并釋放采用博弈制導(dǎo)律的ATT對來襲魚雷進(jìn)行攔截,來襲魚雷采用比例導(dǎo)引律打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖5～6所示。

圖5 潛艇采取博弈策略情況下三方水下運動軌跡

圖5為潛艇、ATT采取博弈策略,重型魚雷采用比例制導(dǎo)律時三方水下運動軌跡。由圖6可以看出魚雷在72.25 s命中潛艇,脫靶量為0.98 m。ATT在52.55 s,命中魚雷,脫靶量為0.63 m。由結(jié)果可知ATT命中魚雷的時間早于魚雷命中潛艇時間,且提前19.75 s,能夠有效地保護(hù)潛艇的安全。

圖6 潛艇采取博弈策略下魚雷和ATT脫靶量

表1對工況一的3個條件進(jìn)行性能對比,由條件2和條件1可知潛艇采用博弈規(guī)避策略后增加了魚雷脫靶量,證明所設(shè)計潛艇的博弈規(guī)避策略有助于提高潛艇的防御能力。由條件3和條件2可知潛艇發(fā)射ATT后采用博弈規(guī)避策略,ATT在來襲魚雷命中潛艇前可有效對其進(jìn)行攔截,證明了本文所設(shè)計ATT博弈制導(dǎo)律的有效性。

表1 工況一 3種條件的性能對比

4) 條件4:考慮潛艇、來襲魚雷、ATT測量值存在過程噪聲,假設(shè)相對距離測量誤差服從±2 %的正態(tài)分布,相對速度測量誤差服從±1 m/s的正態(tài)分布。針對條件1,2,3分別仿真100次,3種條件下考慮過程噪聲影響的性能對比如圖7和表2所示。

表2 工況一 蒙特卡洛仿真3種條件的性能對比

圖7 工況一3種條件下魚雷攔截脫靶量累計分布概率圖

由圖7和表2中條件1和條件2的脫靶量統(tǒng)計性能可以看出,潛艇采用博弈規(guī)避策略后,增大了魚雷攔截脫靶量,增加約18.7%。由圖7和表2中條件2和條件3的脫靶量統(tǒng)計性能對比可以看出,由于魚雷采用比例導(dǎo)引不會對ATT攔截進(jìn)行規(guī)避,所以2種條件下總體來看潛艇博弈機(jī)動的效果基本相同,符合邏輯。

4.2 工況二 來襲魚雷采用博弈導(dǎo)引律進(jìn)行攻擊

1) 條件1:潛艇不采用博弈規(guī)避

潛艇不規(guī)避,來襲魚雷采用博弈導(dǎo)引律打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖8～9所示。

圖8 潛艇不采取博弈規(guī)避而魚雷采用博弈制導(dǎo)律時兩方水下運動軌跡

圖8～9為潛艇不采取博弈規(guī)避策略而來襲魚雷采用博弈制導(dǎo)律時潛艇和魚雷的水下運動軌跡。由圖9可以看出魚雷在67.25 s可以命中潛艇,脫靶量為0.20 m。

圖9 潛艇不采取博弈規(guī)避而魚雷采用博弈制導(dǎo)律時魚雷脫靶量

2) 條件2:潛艇作博弈規(guī)避

潛艇采取博弈規(guī)避策略,來襲魚雷采用博弈導(dǎo)引律打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖10～11所示。

圖10 潛艇與來襲魚雷兩方均采取博弈策略時兩方水下運動軌跡

圖10～11為潛艇與來襲魚雷兩方采取博弈策略時的潛艇和魚雷的水下運動軌跡。由圖11可看出魚雷在72.20 s可以命中潛艇,脫靶量為0.44 m。與條件1相比,潛艇采取規(guī)避后首次命中時間增加4.95 s,脫靶量增加120%,但由于機(jī)動能力相差90倍,脫靶量仍然較低,僅靠潛艇自身規(guī)避很難保證自身安全。

圖11 潛艇與來襲魚雷兩方均采取博弈策略時魚雷脫靶量

3) 條件3:潛艇、來襲魚雷、ATT三方均采用博弈對抗策略

潛艇采取博弈規(guī)避策略,并釋放ATT對來襲魚雷進(jìn)行博弈攔截,來襲魚雷采用博弈策略規(guī)避ATT同時打擊潛艇的仿真結(jié)果如圖12～13所示。

圖12 三方均采取博弈策略時三方水下運動軌跡

圖12為三方均采取博弈策略時三方水下運動軌跡。由圖13可以看出魚雷在77.45 s命中潛艇,脫靶量為0.83 m。ATT在53.80 s可命中魚雷,脫靶量為1.25 m,與條件2相比,魚雷為了躲避ATT首次命中脫靶量進(jìn)一步增大到0.83 m。而ATT命中魚雷的時間早于魚雷命中潛艇時間,且提前23.65 s,能夠有效地保護(hù)潛艇的安全。

圖13 三方均采取博弈策略時魚雷脫靶量

表3對工況二的3個條件進(jìn)行性能對比,由條件2和條件1可知,即使在來襲魚雷也采用博弈制導(dǎo)律進(jìn)行攻擊的前提下,潛艇采用博弈規(guī)避策略后仍增加了魚雷脫靶量,證明所設(shè)計的潛艇博弈規(guī)避策略可更加智能地適應(yīng)攻防態(tài)勢。由條件3和條件2可知,即使在來襲魚雷也采用博弈制導(dǎo)律進(jìn)行攻擊的前提下,潛艇發(fā)射ATT后采用博弈規(guī)避策略,ATT在來襲魚雷命中潛艇前可有效對其進(jìn)行攔截,證明了本文所設(shè)計ATT博弈制導(dǎo)律可適應(yīng)攻防態(tài)勢對潛艇進(jìn)行保護(hù)。從表1、表3中ATT攔截結(jié)果對比可以看出,來襲魚雷采取博弈策略后,通過規(guī)避增大了ATT的脫靶量約33%,同時也增大了對潛艇的打擊脫靶量約93%,證明了博弈策略的均衡性。

表3 工況二 3種條件的性能對比

4) 條件4:考慮潛艇、來襲魚雷、ATT測量值存在過程噪聲,假設(shè)相對距離測量誤差服從±2%的正態(tài)分布,相對速度測量誤差服從±1 m/s的正態(tài)分布。針對條件1,2,3分別仿真100次,3種條件下考慮過程噪聲影響的性能對比如表4所示。

表4 工況二 蒙特卡洛仿真3種條件的性能比

在考慮過程噪聲的情況下由表4、圖14中條件1和條件2的脫靶量統(tǒng)計性能可以看出,潛艇采用博弈規(guī)避策略后,增大了魚雷攔截脫靶量,增加約92.8%, 首次命中時間增加5.47 s。由表2、表4和圖15可看出,來襲魚雷采用博弈策略后,ATT攔截脫靶量增加了約18.2% 。由表4、圖14中條件2和條件3的脫靶量統(tǒng)計性能對比可以看出,由于魚雷為規(guī)避ATT的攔截,并未實現(xiàn)最優(yōu)博弈導(dǎo)引律,導(dǎo)致對潛艇的打擊脫靶量增加約25.9%,由工況一、工況二條件4仿真結(jié)果可以看出,引入過程噪聲后,三方均不能實現(xiàn)最優(yōu)博弈策略,但整體趨勢與無過程噪聲下結(jié)果一致,也從另一個側(cè)面證明了本文所設(shè)計三方博弈策略的合理性。

圖14 工況二 3種條件下魚雷攔截脫靶量累計分布概率圖

圖15 工況一、二ATT攔截脫靶量累計分布概率圖

5 結(jié) 論

本文針對典型態(tài)勢下水下攻防過程博弈策略展開研究。從三方攻防的角度出發(fā),建立了描述三方攻防過程運動模型。將三方博弈問題拆分為2個雙方博弈追逃問題,設(shè)計了描述三方攻防博弈性能的目標(biāo)函數(shù),基于最優(yōu)控制和微分博弈理論設(shè)計了主動防御的博弈策略和攻擊方的博弈制導(dǎo)律。通過水下攻防過程2種典型工況下的仿真試驗,驗證了本文設(shè)計博弈策略的有效性。