江蘇省泰興市西城教育集團西城校區(qū) (225400) 張榮

1 試題呈現(xiàn)

筆者學(xué)校各年級備課組每個周照例都會安排一位數(shù)學(xué)老師,命題一份雙休日數(shù)學(xué)作業(yè),供學(xué)生周末完成,周一交過來批改、評講. 這次的初二作業(yè)上出現(xiàn)了一道數(shù)學(xué)題,批改后發(fā)現(xiàn)學(xué)生完成得并不好,筆者在這里將題目與大家分享一下:

如圖1, ∠MON= 90°, 長方形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當(dāng)B在邊ON上運動時,A隨之在OM上運動,長方形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,運動過程中,點D到點O的最大距離是____.

圖1

2 試題修改

因為這道題學(xué)生反饋的情況并不好,所以我在評講之前又重新修改了題目,讓學(xué)生完成. 題目修改如下:

如圖2,∠MON= 90°,長方形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上, 當(dāng)B在邊ON上運動時,A隨之在OM上運動,長方形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,若點E是線段AB的中點,連接OE、DE,

圖2

(1)線段OE的長為____;

(2)線段DE的長為____;

(3)運動過程中,點D到點O的最大距離是____.

3 解法分析

修改之后,學(xué)生的當(dāng)堂解答情況還是不錯的,修改后的問題(1) 學(xué)生只要直接運用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”, 找到OE與AB之間的關(guān)系, 就能快速算出; 對于問題(2)學(xué)生也能自然而然地運用題目中所給數(shù)據(jù)AB= 2,BC= 1, 利用勾股定理求出在前面兩個問題的鋪墊下,學(xué)生對于第三問求運動過程中,“點D到點O的最大距離”這個問題就顯然有了方向. 在線段OE和線段DE的長都是一定的情況下,“點D到點O的距離最大”的情形,顯然是在點O、D、E三點共線的時候,此時最大距離就是

4 命題探究

4.1 命題如畫龍,點睛方有效

筆者就這兩道題進行了一番思考,原題為什么學(xué)生束手無策, 無法順利解決呢? 修改后學(xué)生立即就能迅速解決呢?其中的差異其實就是點E 的是否出現(xiàn). 點E不出現(xiàn),則線段OE與線段DE都不出現(xiàn). 而點O與點D兩點之間的聯(lián)系較弱,學(xué)生無法直接猜想出點O與點D之間存在什么樣的關(guān)系,思路受阻,缺失了解決問題的方向感;點E出現(xiàn)后,恰如畫龍點睛,學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)過程中“進一步建立幾何直觀”[1],如圖3、圖4、圖5,學(xué)生的思維立即得到放飛.

圖3

圖4

圖5

如圖3,“直角三角形斜邊上的中線”這個基本模型就立即被學(xué)生緊緊抓住,并下意識反應(yīng)過來,求得點O到點E的長度是定值. 同時,點D與點E之間的聯(lián)系也被學(xué)生迅速挖掘出來,如圖4,DE是直角三角形ADE的斜邊,當(dāng)這個直角三角形的兩條直角邊的長度都已經(jīng)知道時,迅速利用勾股定理中“勾股弦三知二”模型,求出第三邊. 對于第三問,如圖5,學(xué)生通過對已知圖形的觀察和猜想,不難得出當(dāng)點O、點E、點D三點共線時點O到點D的距離最大. 學(xué)生問題解決問題時,感覺非常流暢,甚至解決問題的過程中無需教師必要的點撥. 出現(xiàn)這樣兩種截然不同的狀況,深層次的原因在于原命題沒有立足學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,沒有考慮到學(xué)生已有的解題經(jīng)驗. 本題需要學(xué)生掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和“勾股定理”兩個最基本的知識點,同時需要學(xué)生具備利用“三角形兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論來求兩條定長折線段的最值問題的基本經(jīng)驗. 無論以上三種知識點或基本經(jīng)驗,都避不開點E,但點E在原題中又是未知的,最終點E是否能夠發(fā)現(xiàn)就成為本題是否能夠解答的核心按鈕.

4.2 命題如播種,生長方有效

剛才談到命題人要充分考慮到學(xué)生的學(xué)情,知道學(xué)生的最近發(fā)展區(qū), 了解學(xué)生所掌握的解題基本知識和基本經(jīng)驗,其實命題人還要考慮到教師是否能夠通過評講,幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)一種新的解題經(jīng)驗, 探索出一種共性的解決問題的策略,生成一種重要的解法,收獲一個特殊結(jié)論.

就前面所談的問題,教師通過對問題的解答的呈現(xiàn),能夠讓學(xué)生經(jīng)歷一些必要的解題過程.

第一是要學(xué)生明白自己要做什么. 在原題中,學(xué)生“能從已知數(shù)據(jù)中得到什么? ”[2]因為缺少點E,所以學(xué)生雖然知道自己要求點O到點D的最大距離,但其它具體要做什么就無法得知,缺少對最終目標(biāo)思考后的分解小目標(biāo),束手無策是正常的. 教師評講要進行引導(dǎo),也是只能告知或者隱晦地換一種方式提醒學(xué)生,關(guān)注直角三角形斜邊上的中點的特殊性,從而誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點E. 那么既然學(xué)生本來就需要這個點E,教師在命題時,不妨就大大方方的將點E給出,讓學(xué)生的思維能夠順暢通達,知道明白自己需要做什么.

第二是要學(xué)生知道自己要怎么做. 學(xué)生要知道怎么做,這應(yīng)該是他平時聽課時,通過對所學(xué)知識、技能還有基本經(jīng)驗的一個整合,從而獲得的一種抽象的解題策略. 這種策略并不是書本上敘述的,而是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自行探究出來的一種方法層面上的主觀經(jīng)驗. 例如,發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上有中點,就立即想到用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”來求線段OE的長;發(fā)現(xiàn)直角三角形兩條直角邊長已知,就立即想到用“勾股定理”來求第三邊;要求兩點之間的最長距離,就立即往“三角形兩邊之和大于第三邊”上聯(lián)想. 這些主觀經(jīng)驗的收獲,才是學(xué)生課堂上所獲得的最重要的部分. 而教師命題時,更應(yīng)該關(guān)注到這一點,用恰當(dāng)?shù)姆绞秸T導(dǎo)學(xué)生,主動去運用所學(xué)的知識、技能和基本經(jīng)驗來解題,這應(yīng)當(dāng)是命題時要關(guān)注的重點.

第三是能讓學(xué)生主動做一做. 與學(xué)生在遇到原題時的無計可施相比,在改編題中,學(xué)生一開始就通過自己已有的解題經(jīng)驗,去嘗試求出線段OE和線段DE的長度. 在求這兩條線段之前,學(xué)生并不知道這兩條線段對于解答點O到點D的最大距離是否有幫助. 這種探索的方式正是學(xué)生利用自己現(xiàn)有的思維力量,對已有的解題策略的一種大膽嘗試. 學(xué)生自主通過對題目條件的試探性挖掘,主動去尋找解決問題的突破口. 事實上,學(xué)生花時間在這種尋覓的過程上,恰恰是學(xué)生思維得到生長的沃土,是一種新的解題策略開始生發(fā)的實在體現(xiàn),是真真切切的. 而一旦學(xué)生將問題中的線段OE和線段DE都求出時,此時學(xué)生再次思考的問題,思維就不像是原來直接“求點O到點D的距離”那樣空洞、蒼白,沒有任何支撐點. 其中增添了線段OE和線段DE的長度條件,學(xué)生開始進一步的進行猜想、探索的思維,得到了客觀的有力支撐,從而為順利解決問題,形成解題策略作出鋪墊. 這時學(xué)生收獲的解題策略并不是外部直接提供的,而是在學(xué)生自主探索中自動習(xí)得的,這就是生長的力量. 因此筆者認為,在命題時,命題人是否充分考慮學(xué)生的主觀能動性也是非常重要的一個環(huán)節(jié).

第四是讓學(xué)生解答后有收獲. 學(xué)生在解決原題時,由于沒有點E 的輔助,學(xué)生往往會直接連接點O與點D. 此時點O是不變的,點D是運動的,學(xué)生的直覺更趨向于去尋求點D的運動軌跡來解題. 不過點D的運動軌跡并不是一種簡單的直線或圓弧,而是如圖6 所示,是一種比較復(fù)雜的弧線.學(xué)生通過原有的經(jīng)驗,在圖中選取不同的點A 進行畫圖,卻發(fā)現(xiàn)自己進行了若干嘗試后沒有發(fā)現(xiàn)一種顯性的規(guī)律或者發(fā)現(xiàn)的是一個錯誤地規(guī)律時, 他的嘗試和探索遭遇到失敗,其探索的積極性遭到了挫傷后又無任何收獲,心理上是十分沮喪的. 學(xué)生這種不好的情感體驗,從教師的角度來講,需要教師在教學(xué)工作中及時捕捉到,并采取適當(dāng)?shù)拇胧┎拍苓M行安撫,這無形中給教師的教育教學(xué)工作增添的麻煩,同時效果還不佳. 從學(xué)生的角度來講,當(dāng)學(xué)生思維生長的空間遭到壓縮,他在這個問題中的收獲也會大打折扣,甚至?xí)?dǎo)致揠苗助長,最終在這樣的問題上顆粒無收. 但是在改編題中,學(xué)生根據(jù)自己所學(xué),從開始嘗試到最終得到一種“粗糙”的解題策略,其實在這個過程中,學(xué)生經(jīng)歷了從實踐到形成理論的一種質(zhì)的飛躍,這就是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成過程. 筆者認為這個過程雖然看似很“微小”,但是它產(chǎn)生的結(jié)果卻是很“微妙”. 學(xué)生在他的學(xué)生過程中的思維成長正是靠這些不起眼的“微小”變化,積少成多,最終量變引發(fā)質(zhì)變,思維產(chǎn)生了質(zhì)地飛躍.

圖6

另外,學(xué)生在收獲解題策略的同時,也收獲了一份成功的喜悅. 這對學(xué)生的情感、態(tài)度、價值觀的影響也是不容忽視的. 并且這份收獲還有其延續(xù)性,例如下列變式問題:

變式1: 如圖7,∠MON= 90°,等邊三角形ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當(dāng)B在邊ON上運動時,A隨之在OM上運動,其中AB= 2,運動過程中點C到點O的最大距離是___.

圖7

變式2: 如圖8,∠MON= 90°,正方形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當(dāng)B在邊ON上運動時,A隨之在OM上運動,其中AB=2,運動過程中點C到點O的最大距離是____.

圖8

在變式1 和變式2 中,此時求點C到點O的最大距離,雖然此時沒有點E的輔助,但是學(xué)生因為有了之前的解題經(jīng)驗,對于此類問題的解決也就沒有了困難. 同時也將這個問題中,學(xué)生獲得的成果進一步拓展鞏固,學(xué)生收獲滿滿.

此時教師可以再一次對線段AB上其它點的運動軌跡給與演示,可以發(fā)現(xiàn)線段AB上其它點的運動軌跡都是曲線.如圖9、圖10、圖11 所示,在這些點中,只有AB的中點運動軌跡是十分特殊的圓弧軌跡,從而讓學(xué)生在更深層次上對這個問題有了實質(zhì)的理解,并得到質(zhì)量上的升華.

圖9

圖10

圖11

最后,筆者要說的是,命題的工作是教育教學(xué)工作中不可忽略的一個重要環(huán)節(jié),它既能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,也可以改進教師的教學(xué)方式,可以說它的功能是多方面的. 如何科學(xué)的命題,依然需要教師在今后的工作中不斷探索,為學(xué)生獲得有質(zhì)量的學(xué)習(xí)不斷努力.