王熙杰, 蔡慧林

(1.湖南鐵路科技職業(yè)技術學院 鐵道機車學院,湖南 株洲 412006, E-mail:wangxijie1929@126.com;2.湖南省高鐵運行安全保障工程技術研究中心,湖南 株洲 412006;3.蘭州交通大學 電子與信息工程學院,蘭州 730070)

機器人剛度不僅影響機器人的動態(tài)特性,而且會影響到機器人的定位精度和穩(wěn)定性,是機器人設計評價的重要指標之一[1-2]。繩索驅動并聯(lián)機器人的剛度是末端執(zhí)行器受到外力時,由于傳動原件的彈性變形和結構矩陣的變換引起末端執(zhí)行器空間位置偏移大小的度量。

繩索驅動并聯(lián)機器人具有結構簡單、工作空間大、運動靈活和可重構性能好等優(yōu)點,使其很好的應用于下肢康復[3-7]、協(xié)同吊運[7-8]和高速裝配[9]等領域。Behzasipour等[10]分析了繩索驅動并聯(lián)機器人的剛度,結果顯示增加繩索拉力可以提高機器人的穩(wěn)定性。王克義教授[11]利用有限元方法討論了不同繩索配置下的繩索驅動盆骨訓練機器人的靜態(tài)剛度。

但繩索只能承受拉力,為了提高機器人的工作性能,王硯麟等[12]在繩索和末端執(zhí)行器間增加了彈簧,并研究了彈簧長度和剛度系數(shù)對其運動力學特性的影響。李帆等[13]在繩索驅動并聯(lián)機器人中引入了彈簧,利用平均剛度的概念分析了機器人的剛度變化。Gao等[14]利用壓縮彈簧和繩索機構仿人脖頸運動。

通過改變彈簧的空間布局和參數(shù)(初始長度和剛度系數(shù))可以改善機器人的工作性能。但上述研究未涉及繩索采用彈簧代替后對機器人工作空間和剛度的影響,因此,本研究基于繩索驅動并聯(lián)機器人的剛度分析了繩索-彈簧混合驅動機器人的剛度分布問題,對該類系統(tǒng)的構型優(yōu)化和規(guī)劃具有實際指導意義。

1 繩索驅動機器人靜力學建模

建立的m根繩索、n自由度的平面繩索驅動并聯(lián)機器人的結構簡圖如圖1所示,在過輪b1處建立了全局坐標系O-xy,過輪bi(i=1, 2,…,m)的坐標位置為(xi,yi),末端執(zhí)行器O2的坐標位置為(x,y),Li(i=1,2,…,m)表示過輪bi和末端執(zhí)行器O2之間的有效繩索長度。

根據(jù)牛頓歐拉方程建立繩索驅動并聯(lián)機器人的靜力學平衡方程為:

JT=B

(1)

式中:T=[t1,t2, …,t4]T為繩索拉力向量,滿足條件tmin≤ti≤tmax;tmin表示繩索預緊力以確保繩索始終處于張緊狀態(tài);tmax表示繩索的最大允許張力,為了保證系統(tǒng)的安全性能,其主要與電機和繩索材料性能有關。B為系統(tǒng)受到的外力;J為繩索驅動機器人的結構矩陣,即:

J=[J1,J2,…,Jm]T

(2)

式中:Ji表示一個旋量,可表示為

(3)

繩索長度Li可以表示:

(4)

系統(tǒng)受到的外力B可表示為

(5)

在建立的m根繩索l根彈簧、n自由度的繩索-彈簧混合驅動并聯(lián)機器人(簡寫為mClS)的力學特性時,需將彈簧視為特殊繩索,即可承受拉力和壓力的繩索。由于彈簧只能提供被動力,因此應將靜力學平衡方程中結構矩陣要除去彈簧對應的旋量,將其視為外力,此時mClS靜力學平衡方程可表示為:

JT=B+Jsts

(6)

式中:Js表示彈簧對末端執(zhí)行器產生的旋量;ts表示彈簧產生的力。根據(jù)胡克定理可知,第i根彈簧產生的力tsi為:

tsi=ksi(Lsi-L0i)

(7)

式中:ksi表示彈簧的勁度系數(shù),L0i和Lsi分別表示彈簧的初始長度和實際長度。

2 繩索驅動機器人剛度分析

在外力作用下,末端執(zhí)行器抵抗外界干擾的能力是反映機器人剛度的一個指標,對機器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有外力干擾時末端執(zhí)行器的位置精度具有明顯的影響,因此,需要計算繩索驅動機器人的剛度。

根據(jù)機構剛度定義,由微小外力δF產生的微小位移δP和微小外力δF之間的關鍵可表示為:

δF=K·δP

(8)

由方程式(1)和(8)可以獲得機器人的剛度表達式:

(9)

式中:Kc為機器人的主動剛度;Kf為 機器人的被動剛度。接下來推導機器人的主動剛度和被動剛度。

機器人的主動剛度Kc可表示為:

(10)

式中:H為機器人的Hessian矩陣,結合繩索驅動并聯(lián)機器人的Hessian矩陣計算方法[15],m根繩索、n自由度的繩索驅動并聯(lián)機器人Hessian矩陣的第j層矩陣為:

(11)

式中:ui表示第i根繩索的單位向量;ri表示第i根繩索和末端執(zhí)行器連接點在全局坐標系中的位置。由上可知,繩索驅動并聯(lián)機器人Hessian矩陣為n×m×n的矩陣。

機器人的被動剛度Kf可表示為:

(11)

式中:ki=Ei·Ai/li0為第i根繩索運動支鏈的剛度,Ei和Ai分別表示繩索的彈性模量和橫截面積。

3 彈簧對繩索驅動機器人剛度的影響

通過繩索驅動機器人的剛度分析可知,其完整剛度為:

K=HT-J·diag(k1,k2…,km)·JT

(12)

由機器人剛度可知,機器人的主動剛度與繩索拉力、繩索的空間位置和末端執(zhí)行器的位置有關;而機器人的被動剛度與繩索的空間布局、末端執(zhí)行器的位置和運動支鏈的參數(shù)有關。

在繩索-彈簧混合驅動并聯(lián)機器人剛度分析時,可在繩索驅動并聯(lián)機器人剛度模型的基礎上直接建立繩索-彈簧混合驅動機器人的剛度模型。在靜力學分析時將彈簧作用于末端執(zhí)行器的力視為方向和大小可變化的外力,此時, 該機構的結構矩陣應該包含繩索和彈簧所對應的部分。該機構的結構矩陣增加了彈簧所對應的列,因此,Hessian矩陣的維數(shù)和繩索拉力均會發(fā)生變化,由式(10)可知,其主動剛度會發(fā)生變化。另外,運動支鏈的剛度與繩索拉力也有關系,這也會導致被動剛度的變化。

通過上述分析可知,繩索-彈簧混合驅動機器人的靜力學平衡方程可表示為:

JT-Jsts=JcsTcs=B

(13)

式中:Jcs=[J,Js],Tcs=[T,ts]T。則由繩索-彈簧混合驅動機器人的靜力學平衡方程(13)可以獲得其機器人的整體剛度為:

(14)

4 實例分析

本研究將建立豎直平面內2自由度、3根繩索1根彈簧(簡寫為3C1S)的繩索-彈簧混合驅動機器人模型,假設末端執(zhí)行器的質量為20 kg,所受外力為0,彈簧初始長度為0.5 m,彈簧剛度系數(shù)為123.1 N/m。選取布局方案如圖2所示,其中過輪位置b1(0,0)m,b2(0,2)m,b3(2,2)m,b4(2,0)m,選取GB 20118—2006中的圓股鋼絲繩為驅動繩索,其直徑為1.2×10-3m,彈性模量為2.8×1010Pa,橫截面積為1.13×10-6m2,繩索的允許拉力范圍為[10, 3 000]N。

▲圖2 繩索-彈簧混合驅動機器人的結構簡圖

機構整體剛度矩陣的對角線矩陣分別表征該機構沿X、Y方向上的移動剛度,因此,研究實例機器人沿X、Y方向上的移動剛度可表示為:

(15)

Kx和Ky的絕對值越大,則沿對應方向上的剛度越大。

▲圖3 C4繩索驅動機器人的工作空間

4根運動支鏈均采用繩索驅動的繩索驅動機器人(簡稱為C4,如圖1所示的構型)的工作空間如圖3所示,C4的有效工作空間呈現(xiàn)關于豎直中線X=1 m的直線對稱分布,且主要分布在理論工作空間的中上部。

C4繩索驅動機器人沿X、Y方向上的移動剛度分布如圖4所示,計算結果顯示,Kx∈[7.549 0, 39.008]×105N/m,Ky∈[3.589 0, 39.009]×105N/m,從整體上來看,C4繩索驅動機器人沿X方向上的移動剛度要大于沿Y方向上的移動剛度,而且從它們的分布圖可以看出C4繩索驅動機器人沿X、Y方向上的移動剛度在工作空間的中間區(qū)域小,在邊界區(qū)域較大。

▲圖4 C4繩索驅動機器人的剛度分布

▲圖5 C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人的工作空間

將C4繩索驅動機器人中的一條運動支鏈采用彈簧替換變成如圖2所示的C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人時,機器人的有效工作空間如圖5所示,由于彈簧的存在,C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人的有效工作空間明顯向理論工作空間的右上方偏移,且形狀和有效區(qū)域明顯不同于C4繩索驅動機器人。

C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人沿X、Y方向上的移動剛度分布如圖6所示,計算結果顯示,Kx∈[1.786 2, 45.343]×105N/m,Ky∈[3.171 4, 73.731]×105N/m,從整體上來看,C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人沿X方向上的移動剛度要明顯大于沿Y方向上的移動剛度;而且同樣在有效工作空間內,機器人沿X、Y方向上的移動剛度在工作空間的中間區(qū)域小,在邊界區(qū)域較大。

▲圖6 C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人的剛度分布

通過C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人的剛度分布和C4繩索驅動機器人的剛度分布比較可知,當采用彈簧替換1根繩索時,機器人沿各方向上的剛度明顯增加,說明C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人的剛度特性有所增強。

機構剛度矩陣的特征值反映了解耦后方向矢量上的剛度系數(shù),為了更好地描述機器人剛度的分布情況,采用剛度矩陣的條件數(shù)進行衡量,表示為:

(16)

式中:λmax和λmin分別表示剛度矩陣K的最大特征值和最小特征值。Cond可以很好地反應各方向上剛度的大小關系和剛度非各向同性的信息。

根據(jù)式(16)計算獲得的剛度矩陣條件數(shù)Cond如圖7所示,結果顯示C4繩索驅動機器人的Cond∈[1.265 4,29.271 5],而C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人的Cond∈[1.042 4, 27.520 4],表明C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人的Cond整體上小于C4繩索驅動機器人的Cond,表明C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人各方向剛度的差異較小,即C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人各方向上剛度值的分布比較均勻,由此進一步表明了C3S1繩索-彈簧混合驅動機器人具有較好的運動特性。

▲圖7 兩種機器人的剛度矩陣條件數(shù)Cond

5 結論

本研究針對繩索驅動并聯(lián)機器人的剛度進行了分析,推導出了機器人剛度的解析表達式,并在此基礎上給出了繩索-彈簧混合驅動并聯(lián)機器人的剛度解析表達式。通過對平面4根繩索驅動機器人和3根繩索1根彈簧混合驅動機器人的工作空間和在工作空間內剛度的分布情況進行實例分析,表明3根繩索1根彈簧混合驅動機器人在各運動方向上剛度值分布比4根繩索驅動機器人的剛度分布均勻,具有較好的可操作性能,為進一步研究機器人系統(tǒng)的實驗樣機平臺和控制策略奠定了基礎。