岳增成 文萍

【編者按】將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化引入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，具有十分重要的教育價(jià)值。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：課程內(nèi)容要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。一段時(shí)間以來，有關(guān)數(shù)學(xué)文化的研究，業(yè)內(nèi)取得了一定的成果。但有關(guān)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂，具體實(shí)施路徑的設(shè)定，與課程內(nèi)容的深度融合，教學(xué)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)性、整體性等問題還亟待解決。本期話題圍繞“關(guān)注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”展開探討。

一、用發(fā)展的眼光、整體的視角解讀素材

將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)教學(xué)首先面對的是素材問題。目前，課程教材中的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的素材大多分布在中國傳統(tǒng)民俗（如服飾、飲食、節(jié)慶等）、中國古代數(shù)學(xué)（如數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)家、歷史名題等）中，是以片段的形式呈現(xiàn)的，以這些素材為課程資源開展教學(xué)很難實(shí)現(xiàn)基于數(shù)學(xué)史的小學(xué)數(shù)學(xué)文化教學(xué)的高層次應(yīng)用——數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)思維的融通?；跀?shù)學(xué)史的小學(xué)數(shù)學(xué)文化教學(xué)的高層次應(yīng)用是建立在數(shù)學(xué)文化脈絡(luò)上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)內(nèi)容賦予文化的意義，將數(shù)學(xué)文化建立于數(shù)學(xué)內(nèi)容之上，既注重?cái)?shù)學(xué)的思維，又關(guān)注數(shù)學(xué)的文化性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化的融通。因此，要將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)教學(xué)，首先要將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化置于數(shù)學(xué)歷史發(fā)展脈絡(luò)之中，將片段式的素材連續(xù)化，用發(fā)展的眼光、整體的視角審視其中的數(shù)學(xué)與文化。

比如記數(shù)系統(tǒng)，如果將甲骨文數(shù)碼與籌算數(shù)碼分開研究，研究的重點(diǎn)將是記數(shù)系統(tǒng)的記數(shù)規(guī)則，但將它們置于歷史的發(fā)展脈絡(luò)中進(jìn)行研究，從甲骨文的十進(jìn)累加法（記數(shù)是通過不同的計(jì)數(shù)單位累加實(shí)現(xiàn)的）到算籌的十進(jìn)位值制（記數(shù)是通過基礎(chǔ)數(shù)字與數(shù)位實(shí)現(xiàn)的），同樣是十進(jìn)制，滿十要進(jìn)一，但記數(shù)符號減少，表示的數(shù)卻增多了，記憶負(fù)擔(dān)減輕的同時(shí)，記數(shù)的便捷性提高，這些都是因?yàn)橹腥A民族以天才的智慧引入了數(shù)位，在甲骨文記數(shù)中滿十要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)新的記數(shù)符號，要記錄更多更大的數(shù)，需要引進(jìn)更多的計(jì)數(shù)單位，而在算籌記數(shù)中，滿十要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)新的數(shù)位，記數(shù)符號的個(gè)數(shù)并未增加。從算籌到算盤，是農(nóng)業(yè)、商業(yè)等的發(fā)展對算具發(fā)展的新需求，從本質(zhì)上看算盤與算籌是一致的，但從計(jì)算速度上看，算盤更勝一籌。

再比如“比”，多版教材都是將比與除法建立聯(lián)系來定義比的，并將比與幾何比、配比建立聯(lián)系，那有了除法為什么還要有比？從幾何比、配比來認(rèn)識(shí)比，學(xué)生感受到的是像不像、是否一樣甜等，較難實(shí)現(xiàn)比的存在的數(shù)學(xué)刻畫與比的意義的外在表現(xiàn)的統(tǒng)一。實(shí)際上，比的意義起源有四種，描述與測量的需要、物物交換的需要、合成與分配的需要、自然與美學(xué)現(xiàn)象。其中，描述與測量是人類的一種本能；物物交換是整體與整體的穩(wěn)定關(guān)系，是商品自身價(jià)值的體現(xiàn)；合成與分配是一種部分與整體的不變關(guān)系，體現(xiàn)出的是性質(zhì)的穩(wěn)定與公平性；自然與美學(xué)是一種幾何關(guān)系，體現(xiàn)出的是像不像、美不美的問題。在物物交換方面，如《九章算術(shù)》中各種谷物的兌換關(guān)系；在合成與分配方面，如《考工記》中不同的銅、錫配比冶煉成的不同合金。中國古代勞動(dòng)人民在這些方面表現(xiàn)出了對比的認(rèn)識(shí)的先進(jìn)水平。這兩種比的意義的起源，不僅豐富了比的意義，還實(shí)現(xiàn)了比的存在的數(shù)學(xué)刻畫與比的意義的外在表現(xiàn)的統(tǒng)一。

相較于一般的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化素材的解讀，在歷史發(fā)展脈絡(luò)中解讀中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化雖更具挑戰(zhàn)性，但極具價(jià)值。也只有用發(fā)展的眼光、整體的視角對素材進(jìn)行解讀，才能觸及數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和數(shù)學(xué)背后的文化。

二、用推理、重構(gòu)等方法加工素材

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新等教學(xué)功能的實(shí)現(xiàn)要建立在相關(guān)素材轉(zhuǎn)化為教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)之上。在整個(gè)過程中，高認(rèn)知水平教學(xué)任務(wù)的設(shè)計(jì)是關(guān)鍵，這也是目前影響小學(xué)教師開發(fā)高水平案例的關(guān)鍵。高認(rèn)知水平教學(xué)任務(wù)要求學(xué)生形成關(guān)于數(shù)學(xué)概念和思想的深層次理解或能夠動(dòng)手做數(shù)學(xué)，需要一定程度的認(rèn)知努力，合理運(yùn)用相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。面對過程與結(jié)果相對完整的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化素材，可以有多種方法實(shí)現(xiàn)課程素材到教學(xué)素材的轉(zhuǎn)化。

方法一是推理還原法，通過任務(wù)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生通過推理、驗(yàn)證還原歷史上的方法，在古今對照中理解知識(shí)的本質(zhì)。在幫助學(xué)生理解算理的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的拓展課中，如下圖依次呈現(xiàn)用算籌計(jì)算56×78的過程，然后讓學(xué)生猜測最后一張圖中間部分的數(shù)字是多少，并推理得出這個(gè)數(shù)字是怎么來的。要解決這個(gè)問題，首先需要學(xué)生按照算籌十進(jìn)位值的特點(diǎn)推斷出這個(gè)數(shù)字是3900，然后要打破學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在進(jìn)行兩位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)要將第二個(gè)乘數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)與一位數(shù)，再用第一個(gè)乘數(shù)依次從低位乘起，促使學(xué)生進(jìn)行大膽猜測，原有的拆分方式無法得出3900，要采用新的拆分方式對56進(jìn)行拆分，低位算起也無法得出3900，高位算起恰好得出3900。課的最后讓學(xué)生對比古今的方法，學(xué)生在對比中會(huì)發(fā)現(xiàn)古今方法的算理相同、算法不同，與古代方法相比，今天的算法用了最少的步驟，保留了整個(gè)計(jì)算過程。

方法二是重構(gòu)法，將學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序、知識(shí)的邏輯順序與歷史的發(fā)展順序融合起來，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程。比如中國是最早發(fā)明小數(shù)的國家，在遇到比1小的問題時(shí)，需要不斷創(chuàng)造新的計(jì)量單位，但這種方式?jīng)]有必要持續(xù)下去，此時(shí)引入間隔符號，小數(shù)就自然產(chǎn)生了，而且實(shí)現(xiàn)了整數(shù)與小數(shù)的統(tǒng)一。在三年級“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，不從生活中的小數(shù)入手進(jìn)行教學(xué)，而是從生活中進(jìn)率為10的單位換算入手，結(jié)合數(shù)位順序表，大的計(jì)量單位換算為小的計(jì)量單位是學(xué)生的已知，符合退一當(dāng)十，小的計(jì)量單位換算為大的計(jì)量單位是學(xué)生的未知，符合滿十進(jìn)一。讓學(xué)生將小的計(jì)量單位換算為大的計(jì)量單位，并將轉(zhuǎn)化后的數(shù)值填入數(shù)位順序表后，對個(gè)位后的數(shù)位進(jìn)行推理分析。在這個(gè)任務(wù)中，學(xué)生需要?jiǎng)?chuàng)造數(shù)位，建立數(shù)位之間的關(guān)系，并建立小數(shù)部分與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。

方法三是問題提出法，將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化素材轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)閱讀素材，供學(xué)生閱讀，提出問題，對問題進(jìn)行分析后予以解決。比如，在課前呈現(xiàn)土圭之法的閱讀材料：“冬至這一天日影長，用8尺（184.8厘米）長的圭表來測算日影，日影長是一丈三尺五寸，約合現(xiàn)在3.12米，夏至這一天測算日影長應(yīng)該是一尺五寸，約合現(xiàn)在35厘米，土圭測影子的方法為后來測算24節(jié)氣提供了一個(gè)比較科學(xué)的方法”。學(xué)生閱讀后，進(jìn)行問題提出。再通過建立分類標(biāo)準(zhǔn)將學(xué)生提出的問題劃分為土圭之法的歷史、工具、測量、應(yīng)用等類別，并構(gòu)思問題解決的方案，即以什么樣的順序、借助何種工具、以何種方式、在什么樣的情境下進(jìn)行問題解決。如果學(xué)生要解決土圭之法的歷史問題，便可以小組合作的方式，在課下完成調(diào)查，在課上進(jìn)行匯報(bào)。師生通過討論確定解決方案后，由學(xué)生執(zhí)行，最終完成項(xiàng)目學(xué)習(xí)。

將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化素材轉(zhuǎn)化為高認(rèn)知水平的教學(xué)任務(wù)的方法還需要進(jìn)一步探索，但高認(rèn)知水平的教學(xué)任務(wù)需要學(xué)生的大膽猜測、深度參與、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的解構(gòu)與重構(gòu)、推理與驗(yàn)證。

三、用多種課型融合素材

目前，已有一些應(yīng)用中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的嘗試，但是這些嘗試大多與拓展課相融合。事實(shí)上，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化可以與多種課型相融合。

在拓展課方面，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》已為我們提供了一些經(jīng)典案例，如年月日的故事、土圭之法的故事、度量衡的故事等。也可開發(fā)其他跨學(xué)科的主題活動(dòng)，如“中國古代音樂與數(shù)學(xué)”，從五音不全開始，借助數(shù)學(xué)閱讀引發(fā)學(xué)生對傳統(tǒng)音樂的思考，進(jìn)而聚焦于音樂背后的數(shù)學(xué)原理——三分損益法，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考中華傳統(tǒng)文化，從用耳定音到用數(shù)學(xué)定音，學(xué)生在音樂理論的發(fā)展中，感悟優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化。還可開發(fā)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，比如“從天平到桿秤”，學(xué)生要成功制作天平，便要經(jīng)歷單位重量確定的復(fù)雜過程，學(xué)會(huì)利用不同單位重量砝碼的組合確定物體的重量。在從天平演化為桿秤的過程中，學(xué)生可以探究杠桿原理，學(xué)會(huì)利用距離的遠(yuǎn)近確定物體的重量。

在復(fù)習(xí)課方面，教師可以從知識(shí)測評入手，從測評中發(fā)現(xiàn)教與學(xué)的不足，從而進(jìn)行針對性的復(fù)習(xí)。比如讓學(xué)生解釋[34]÷[23]=[34]×[32]的原因，以考查學(xué)生對分?jǐn)?shù)除法算理的理解，并根據(jù)測評的結(jié)果引入中國古代的經(jīng)分術(shù)，幫助學(xué)生從運(yùn)算一致性的角度理解分?jǐn)?shù)除法的算理。

在新授課方面，將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)相融合，幫助學(xué)生理解重點(diǎn)、化解難點(diǎn)。比如分?jǐn)?shù)的發(fā)展，中國古代經(jīng)歷了從量到特殊的率，再到一般的分?jǐn)?shù)的過程。在這個(gè)過程中，特殊的率，比如一半[12]、少半[13]、大半[23]，是分?jǐn)?shù)發(fā)展的關(guān)鍵一環(huán)，也是分?jǐn)?shù)發(fā)展從量到率的一次飛躍，在教學(xué)中，可以讓學(xué)生從多類型的分物中識(shí)別出特殊的分?jǐn)?shù)，并從部分與整體的關(guān)系的角度解釋這些特殊的分?jǐn)?shù)，從而幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)關(guān)系的屬性，跨越從量到率的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

在練習(xí)課方面，可以從歷史名題入手，進(jìn)行變式，從而幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解、應(yīng)用中國古代數(shù)學(xué)中的各種“模型”。比如，《算法統(tǒng)宗》中的龜鱉同池問題：“三足團(tuán)魚六眼龜，共同山下一深池。九十三足亂浮水，一百二眼將人窺?；虺鰶]，往東西，倚欄觀看不能知。有人算得無差錯(cuò)，好酒重酌贈(zèng)數(shù)杯?！睂⑵渥鳛榫毩?xí)引入，讓學(xué)生識(shí)別出雞兔同籠的模型，進(jìn)而呈現(xiàn)其他歷史名題或改編的題目供學(xué)生識(shí)別、應(yīng)用、鞏固模型。

需要注意的是，在中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與多種課型融合時(shí)，前者是自變量，可以對其進(jìn)行不同的加工以適合不同的課型。同時(shí)，為了凸顯中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，需要以其作為主線重構(gòu)教學(xué)。

要將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，在實(shí)踐層面，需要寬廣度、深層次的融合，在用發(fā)展的眼光、整體的視角解讀素材中的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)文化的基礎(chǔ)上，利用推理、重構(gòu)等方法將素材轉(zhuǎn)化為高認(rèn)知水平的教學(xué)任務(wù)在各種課型中加以應(yīng)用，最終實(shí)現(xiàn)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的多元教學(xué)功能。同時(shí)，還需要解決教師開發(fā)案例時(shí)的“無米之炊”問題，小學(xué)數(shù)學(xué)教育共同體要合力構(gòu)建中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的資料庫。在理念層面，要突破中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化僅與民族認(rèn)同等情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)相匹配，僅與拓展課相結(jié)合的刻板印象，需要更全面、深刻地認(rèn)識(shí)其教育價(jià)值的多元性與應(yīng)用課型的普遍性。教師要避免將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與其他民族的文化對立起來，要將其置于多元文化的情境中，才能更好地彰顯中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。此外，理念的更新與實(shí)踐的改進(jìn)是相輔相成的，用理念引領(lǐng)實(shí)踐、在實(shí)踐中更新理念，在實(shí)踐、反思中更好地將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)教學(xué)。

（作者單位：杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院 玉溪師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院）

本文系云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目“HPM視角下職前教師專業(yè)發(fā)展的研究與實(shí)踐（課題編號：2021J0660）”的研究成果。