胡嘯

摘 要 信號(hào)檢測(cè)論被廣泛用于解釋個(gè)體在不同類型認(rèn)知任務(wù)中的決策過(guò)程。然而，經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論的重要不足之處在于難以進(jìn)一步解釋個(gè)體設(shè)置報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)的過(guò)程對(duì)應(yīng)怎樣的內(nèi)在心理機(jī)制。本文從貝葉斯決策理論的視角出發(fā)，深入探討個(gè)體在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中的決策規(guī)則。首先基于貝葉斯定理介紹貝葉斯決策理論的基本觀點(diǎn)。隨后探討貝葉斯決策理論如何解釋理想觀察者的決策規(guī)則，以及在實(shí)際的信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中個(gè)體的決策結(jié)果與理想觀察者之間的偏離。其次探討經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論和貝葉斯決策理論在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中的差異。最后簡(jiǎn)要介紹支持貝葉斯決策理論的實(shí)證研究證據(jù)。

關(guān)鍵詞 信號(hào)檢測(cè)論；貝葉斯決策理論；先驗(yàn)概率；似然函數(shù)；報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)

分類號(hào) B841

DOI：10.16842/j.cnki.issn2095-5588.2023.09.003

1 引言

信號(hào)檢測(cè)論（signal detection theory， SDT）是實(shí)驗(yàn)心理學(xué)研究中應(yīng)用最為廣泛的計(jì)算模型之一。自從心理學(xué)家John A. Swets及其合作者首次將信號(hào)檢測(cè)論系統(tǒng)性地引入心理學(xué)領(lǐng)域以來(lái)（Green & Swets， 1966; Tanner & Swets， 1954），研究者們已經(jīng)廣泛地應(yīng)用信號(hào)檢測(cè)論模型來(lái)解釋知覺(jué)、記憶、推理等不同心理過(guò)程的內(nèi)在機(jī)制（Banks， 1970; Mamassian， 2016; Wixted， 2020）。在心理學(xué)論文數(shù)據(jù)庫(kù)PsycArticles和PsycInfo中，以“signal detection theory”為關(guān)鍵詞可以檢索出超過(guò)4000篇文獻(xiàn)，且在2020至2022這三年間發(fā)表的文獻(xiàn)就達(dá)到了500篇，足以證明信號(hào)檢測(cè)論不僅在心理學(xué)研究的歷史上占有重要地位，而且在今天仍然具有旺盛的生命力。

在基于信號(hào)檢測(cè)論的心理學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，研究者會(huì)向被試呈現(xiàn)兩類不同的刺激，其中一類刺激被稱為“信號(hào)”（signal），而另一類刺激被稱為“噪音”（noise）。被試的任務(wù)是判斷哪些刺激屬于信號(hào)，哪些刺激屬于噪音（Wickens， 2001）。比如，在一個(gè)聽(tīng)覺(jué)任務(wù)中，被試聽(tīng)到的刺激可能只包含白噪音，也可能在白噪音的基礎(chǔ)上疊加了一個(gè)特定聲調(diào)的聲音作為信號(hào)；被試需要判斷信號(hào)在哪些試次（trial）當(dāng)中出現(xiàn)（Egan et al.， 1959）。又如，在再認(rèn)記憶任務(wù)中，被試需要首先學(xué)習(xí)并記憶一系列詞語(yǔ)，隨后研究者會(huì)向被試呈現(xiàn)一些學(xué)過(guò)的“舊詞”作為信號(hào)，和一些沒(méi)學(xué)過(guò)的“新詞”作為噪音，被試需要判斷每個(gè)詞語(yǔ)是新詞還是舊詞（Mickes et al.， 2007; Wixted， 2007）。通常情況下，信號(hào)檢測(cè)論會(huì)假設(shè)信號(hào)和噪音的刺激強(qiáng)度分別符合一個(gè)正態(tài)分布，且信號(hào)分布的均值高于噪音分布；信號(hào)分布和噪音分布均值之差被稱為辨別力指數(shù)（d'），它反映了個(gè)體辨別信號(hào)和噪音的能力，d'越高則個(gè)體的辨別力越強(qiáng)（Wickens， 2001）。

信號(hào)檢測(cè)論關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題是，個(gè)體如何決策哪些刺激屬于信號(hào)，哪些刺激屬于噪音。經(jīng)典的信號(hào)檢測(cè)論觀點(diǎn)認(rèn)為，個(gè)體會(huì)直接在刺激強(qiáng)度的數(shù)軸上設(shè)置報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C，如果當(dāng)前刺激的強(qiáng)度高于C，則個(gè)體判斷當(dāng)前刺激為信號(hào)，反之判斷為噪音（Wixted， 2020）。圖1給出了信號(hào)檢測(cè)論模型的一個(gè)示例。該模型中噪音分布的均值為0，信號(hào)分布的均值為d'， 兩個(gè)分布的標(biāo)準(zhǔn)差均為1；當(dāng)某個(gè)刺激的強(qiáng)度高于C時(shí)，個(gè)體會(huì)將其判斷為信號(hào)，反之則判斷為噪音。在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中，個(gè)體的作答結(jié)果可以被分為四種類型：擊中（將信號(hào)刺激判斷為信號(hào)）、虛報(bào)（將噪音刺激判斷為信號(hào)）、漏報(bào)（將信號(hào)刺激判斷為噪音）和正確拒絕（將噪音刺激判斷為噪音）（Wickens， 2001）。四類作答結(jié)果出現(xiàn)的概率由代表信號(hào)或噪音的正態(tài)分布在C的左側(cè)或右側(cè)的面積大小來(lái)表示（見(jiàn)圖1）。

信號(hào)檢測(cè)論的優(yōu)點(diǎn)在于，它可以從個(gè)體的作答正確率數(shù)據(jù)中，分離出辨別力指數(shù)d'和報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C這兩個(gè)指標(biāo)，使得研究者可以分別探討任務(wù)難度（即d’）和個(gè)體的反應(yīng)偏向（即C）如何影響個(gè)體最終的作答結(jié)果（Wickens， 2001）。然而，經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論框架（即直接使用C來(lái)反映個(gè)體的決策判斷標(biāo)準(zhǔn)的信號(hào)檢測(cè)論模型）也存在一個(gè)重要的不足之處：它難以深入解釋個(gè)體在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中完成決策的過(guò)程對(duì)應(yīng)怎樣的內(nèi)在心理機(jī)制。雖然經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論簡(jiǎn)單地假設(shè)個(gè)體會(huì)直接將當(dāng)前刺激的強(qiáng)度與一個(gè)特定的判斷標(biāo)準(zhǔn)C在數(shù)軸上的位置進(jìn)行比較，并基于比較的結(jié)果來(lái)完成決策，但它通常難以進(jìn)一步解釋個(gè)體為何會(huì)把報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C設(shè)置在數(shù)軸上的特定位置，以及對(duì)于不同個(gè)體而言或在不同實(shí)驗(yàn)條件下C的位置產(chǎn)生差異的內(nèi)在原因（Glanzer et al.， 2009， 2019）。

事實(shí)上，早在信號(hào)檢測(cè)論提出之初，Swets及其合作者就開(kāi)始使用貝葉斯決策理論（Bayesian decision theory， BDT）的觀點(diǎn)來(lái)解釋個(gè)體在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中的決策過(guò)程（Green & Swets， 1966）。近年來(lái)，貝葉斯決策理論與信號(hào)檢測(cè)論之間的關(guān)系開(kāi)始受到越來(lái)越多研究者的重視（Fleming & Daw， 2017; Glanzer et al.， 2019; Maloney & Zhang， 2010）。貝葉斯決策理論認(rèn)為個(gè)體會(huì)基于觀測(cè)到的當(dāng)前刺激強(qiáng)度，通過(guò)一個(gè)貝葉斯推理過(guò)程來(lái)決策當(dāng)前刺激是信號(hào)還是噪音（Fleming & Daw， 2017; Maloney & Zhang， 2010; Pouget et al.， 2016）。和經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論相比，貝葉斯決策理論為個(gè)體如何在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中完成決策過(guò)程給出了更加深入的理論解釋（Glanzer et al.， 2019; Lau， 2007）。

本文將從貝葉斯決策理論的視角，深入探討信號(hào)檢測(cè)論框架下個(gè)體的決策規(guī)則。本文將首先介紹貝葉斯決策理論的基本觀點(diǎn)，即個(gè)體在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中如何通過(guò)一個(gè)貝葉斯推理過(guò)程完成決策。隨后，本文將闡述信號(hào)檢測(cè)論當(dāng)中的“理想觀察者”問(wèn)題，并在等方差信號(hào)檢測(cè)模型的框架下，介紹貝葉斯決策理論如何解釋實(shí)際研究中的被試與理想觀察者之間的偏離。接下來(lái)，本文將討論不等方差的信號(hào)檢測(cè)模型，并闡述貝葉斯決策理論與經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論在該模型中存在的差異。最后，本文將介紹支持貝葉斯決策理論的實(shí)證研究證據(jù)。

2 貝葉斯決策理論

貝葉斯決策理論的基礎(chǔ)是貝葉斯定理，它來(lái)源于對(duì)聯(lián)合概率的計(jì)算公式（胡傳鵬等， 2018）。假設(shè)有兩個(gè)事件——A和B，則A和B同時(shí)發(fā)生的概率被稱為聯(lián)合概率，記為P （A，B）。聯(lián)合概率的計(jì)算公式可以被寫(xiě)為如下形式：

? ? ? ? ?P（A，B）=P（B|A）P（A） （1）

公式（1）的含義為：A和B同時(shí)發(fā)生的概率，等于A發(fā)生的概率P（A）乘以在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率P（B|A）。其中，P（A）又被稱為邊緣概率，它指的是在不考慮其他事件的發(fā)生結(jié)果的情況下，某一事件發(fā)生的概率；而P（B|A）又被稱為條件概率，它指的是在確定某一個(gè)事件（如A）已經(jīng)發(fā)生的條件下，另一個(gè)事件（如B）發(fā)生的概率。實(shí)際上，A和B同時(shí)發(fā)生的聯(lián)合概率，還可以被寫(xiě)為另一種形式，即等于B發(fā)生的邊緣概率P（B）乘以在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率P（A|B）：

? ? ? ? ? P（A，B）=P（A|B）P（B） ? ?（2）

基于以上的公式（1）和（2），可以得出如下的公式（3）：

? ?P（A|B）P（B）=P（B|A）P（A） （3）

公式（3）通常會(huì)被寫(xiě)為如下的形式：

公式（4）即為貝葉斯定理的一般形式。貝葉斯定理的提出起初只是為了刻畫(huà)兩個(gè)事件的邊緣概率和條件概率之間滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系。然而，心理學(xué)家很快意識(shí)到，貝葉斯定理可以被用來(lái)刻畫(huà)人類的推理與決策過(guò)程（Kersten et al.， 2004; Lau， 2007; Wickens， 2001）。比如，公式（4）可以用來(lái)解釋個(gè)體如何通過(guò)對(duì)事件B進(jìn)行觀測(cè)，來(lái)推理事件A的發(fā)生概率。此時(shí)，公式（4）中的P （A）被稱為先驗(yàn)概率，它指的是在觀測(cè)到事件B之前，個(gè)體對(duì)于事件A發(fā)生概率的先驗(yàn)認(rèn)識(shí)。P（A|B）被稱為后驗(yàn)概率，它反映了個(gè)體在觀測(cè)到事件B的發(fā)生結(jié)果之后對(duì)事件A發(fā)生概率的認(rèn)識(shí)。個(gè)體在貝葉斯推理過(guò)程中，會(huì)根據(jù)對(duì)事件B的觀測(cè)結(jié)果來(lái)更新自身對(duì)事件A發(fā)生概率的認(rèn)識(shí)，即從P（A）更新為P（A|B）。另一方面，P （B | A）被稱為似然函數(shù)，它反映了在給定事件A的情況下，事件B發(fā)生的可能性。在個(gè)體對(duì)事件A發(fā)生概率進(jìn)行更新的過(guò)程中，先驗(yàn)概率和似然函數(shù)都起到了重要的作用：一方面，當(dāng)A發(fā)生的先驗(yàn)概率值越高時(shí)，其后驗(yàn)概率值也會(huì)越高；另一方面，在假定事件A發(fā)生的情況下，如果事件B發(fā)生的概率越高（即似然函數(shù)值越大），則個(gè)體在觀測(cè)到事件B之后也會(huì)認(rèn)為事件A成立的后驗(yàn)概率越高。

根據(jù)貝葉斯決策理論的觀點(diǎn)，在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中，個(gè)體會(huì)觀測(cè)到每個(gè)刺激的強(qiáng)度（記為x），并基于x的值來(lái)完成一個(gè)貝葉斯推理過(guò)程，以推理當(dāng)前刺激屬于信號(hào)或噪音的后驗(yàn)概率（Burgess， 1985; Fleming & Daw， 2017; Wickens， 2001）。下面的公式給出了個(gè)體如何基于刺激強(qiáng)度x對(duì)當(dāng)前刺激屬于信號(hào)（記為S）的概率進(jìn)行更新：

公式（5）意味著，在觀測(cè)到當(dāng)前刺激之前，個(gè)體對(duì)當(dāng)前刺激屬于信號(hào)的概率存在先驗(yàn)認(rèn)識(shí)，反映為先驗(yàn)概率P （S）。而在觀測(cè)到當(dāng)前刺激的強(qiáng)度x之后，被試將當(dāng)前刺激屬于信號(hào)的概率更新為后驗(yàn)概率P（S|x）。同理，個(gè)體基于刺激強(qiáng)度x對(duì)當(dāng)前刺激屬于噪音（記為N）的概率進(jìn)行更新的過(guò)程可以用如下公式表示：

貝葉斯決策理論認(rèn)為，個(gè)體會(huì)基于當(dāng)前刺激屬于信號(hào)或噪音的后驗(yàn)概率，來(lái)決定應(yīng)當(dāng)把當(dāng)前刺激判斷為信號(hào)還是噪音。如果刺激屬于信號(hào)的后驗(yàn)概率大于其屬于噪音的后驗(yàn)概率，則個(gè)體就會(huì)把當(dāng)前刺激判斷為信號(hào)，反之則判斷為噪音（Burgess， 1985; Fleming & Daw， 2017; Lau， 2007）。由于刺激屬于信號(hào)和噪音的后驗(yàn)概率之和為1，因此個(gè)體會(huì)把P （S|x） =0.5作為判斷標(biāo)準(zhǔn)：如果刺激屬于信號(hào)的后驗(yàn)概率大于0.5則判斷當(dāng)前刺激為信號(hào)，而如果小于0.5則判斷刺激為噪音。

在公式（5）和（6）中，觀測(cè)到刺激強(qiáng)度x的邊緣概率P（x）是相等的。具體而言，P（x）的計(jì)算方法是，根據(jù)刺激屬于信號(hào)和噪音的先驗(yàn)概率——P（S）與P（N），對(duì)給定當(dāng)前刺激是信號(hào)或噪音的條件下觀測(cè)到x的概率（似然函數(shù)）——P（x|S）與P（x|N），進(jìn)行加權(quán)平均：

P（x）=P（x|S）P（S）+P（x|N）P（N） （7）

可以通過(guò)將公式（5）與公式（6）相除，消去P（x）項(xiàng)，得出下面的公式：

公式（8）意味著，貝葉斯決策過(guò)程可以被看作個(gè)體基于后驗(yàn)概率的比值進(jìn)行決策的過(guò)程：如果刺激屬于信號(hào)和噪音的后驗(yàn)概率比P（S|x） /P（N|x）大于1，則被試會(huì)把當(dāng)前刺激判斷為信號(hào)，反之則判斷為噪音。根據(jù)貝葉斯定理，后驗(yàn)概率比值是由刺激強(qiáng)度x在信號(hào)和噪音成立的條件下的似然函數(shù)比值P（x|S）/P （x|N），以及信號(hào)和噪音的先驗(yàn)概率比值P（S）/P（N）共同決定的。

由于在信號(hào)或噪音成立的條件下，刺激強(qiáng)度x分別滿足一個(gè)概率分布（通常假設(shè)為正態(tài)分布），因此x在信號(hào)或噪音成立條件下的似然函數(shù)反映了當(dāng)刺激是信號(hào)或噪音時(shí)觀測(cè)到的刺激強(qiáng)度為x的相對(duì)概率，其等價(jià)于x在信號(hào)或噪音分布中出現(xiàn)的概率密度（即正態(tài)分布中x所在位置對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的值）。當(dāng)刺激強(qiáng)度x在信號(hào)分布下出現(xiàn)的概率密度P（x|S）越大，或在噪音分布下出現(xiàn)的概率密度P（x|N）越小時(shí)，個(gè)體越傾向于將當(dāng)前刺激判斷為信號(hào)，反之則更傾向于判斷為噪音。需要注意的是，個(gè)體在完成貝葉斯推理的過(guò)程中，可能并不知道信號(hào)和噪音分布的真實(shí)形態(tài)。比如，個(gè)體可能并不知道真實(shí)的信號(hào)與噪音分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別等于多少（Lau， 2007）。為了完成貝葉斯推理過(guò)程，個(gè)體必須主觀推測(cè)信號(hào)和噪音分布的形態(tài)，并據(jù)此估計(jì)當(dāng)前刺激的強(qiáng)度x在信號(hào)和噪音分布中出現(xiàn)的似然函數(shù)（Lau， 2007）。

在一些情況下，個(gè)體對(duì)刺激屬于信號(hào)還是噪音可能不存在先驗(yàn)的偏好。比如，被試在參加一個(gè)信號(hào)檢測(cè)實(shí)驗(yàn)任務(wù)之前，可能對(duì)電腦屏幕上出現(xiàn)的刺激是信號(hào)還是噪音并沒(méi)有先驗(yàn)的偏向，而是簡(jiǎn)單地認(rèn)為二者是等可能的。此時(shí)可以簡(jiǎn)單假設(shè)信號(hào)和噪音成立的先驗(yàn)概率相等，即P（S）=P（N）=0.5。這種情況下的后驗(yàn)概率比值就等于似然函數(shù)的比值，因此貝葉斯決策的結(jié)果完全由似然函數(shù)的值來(lái)決定。然而，先驗(yàn)概率并不一定始終等于0.5 （Wickens， 2001）。比如，一些個(gè)體對(duì)信號(hào)和噪音出現(xiàn)的先驗(yàn)概率可能具有一定的主觀偏好，即可能偏向于認(rèn)為信號(hào)或噪音其中之一更可能出現(xiàn)。此時(shí)，基于后驗(yàn)概率比值的貝葉斯決策過(guò)程不僅受到似然函數(shù)比值的影響，也受到先驗(yàn)概率比值的影響；當(dāng)個(gè)體認(rèn)為信號(hào)成立的先驗(yàn)概率越大，或噪音成立的先驗(yàn)概率越小時(shí)，就越傾向于把當(dāng)前刺激判斷為信號(hào)，反之則越傾向于判斷為噪音。

根據(jù)貝葉斯決策理論的觀點(diǎn)，個(gè)體在貝葉斯推理過(guò)程中使用的似然函數(shù)值和先驗(yàn)概率值，均來(lái)自個(gè)體自身的主觀估計(jì)。那么，當(dāng)個(gè)體主觀估計(jì)的似然函數(shù)和先驗(yàn)概率等于多少時(shí)，最終給出的決策結(jié)果是最理想的？當(dāng)似然函數(shù)和先驗(yàn)概率的主觀估計(jì)值發(fā)生變化時(shí)，個(gè)體的決策過(guò)程又會(huì)受到怎樣的影響？為了回答上述問(wèn)題，本文接下來(lái)將從信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中的“理想觀察者”視角出發(fā)，在貝葉斯決策理論的框架下進(jìn)一步探討個(gè)體何時(shí)會(huì)給出最理想的決策，以及如何解釋實(shí)際研究中被試的決策結(jié)果與理想觀察者之間的偏離。

3 理想觀察者

根據(jù)經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論的觀點(diǎn)，個(gè)體會(huì)在刺激強(qiáng)度的數(shù)軸上設(shè)置一個(gè)報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C，并通過(guò)比較當(dāng)前刺激的強(qiáng)度x與C在數(shù)軸上的位置，來(lái)決定當(dāng)前刺激是信號(hào)還是噪音。個(gè)體的作答結(jié)果可以被分為擊中、虛報(bào)、漏報(bào)和正確拒絕四種類型，其中擊中（將信號(hào)刺激判斷為信號(hào)）和正確拒絕（將噪音刺激判斷為噪音）視為正確作答，而虛報(bào)（將噪音刺激判斷為信號(hào)）和漏報(bào)（將信號(hào)刺激判斷為噪音）視為錯(cuò)誤作答。那么，一個(gè)有趣的問(wèn)題是，當(dāng)報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C設(shè)置在哪里時(shí)，個(gè)體作答的正確率最大？在信號(hào)檢測(cè)論框架下，通過(guò)設(shè)置最合適的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)使得作答正確率最大的個(gè)體，被稱為理想觀察者（Wickens， 2001）。

為了計(jì)算出理想觀察者會(huì)把報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C設(shè)置在怎樣的位置，首先需要求出C值的變化如何影響作答正確率。這里以圖1中呈現(xiàn)的信號(hào)檢測(cè)論模型為例。在圖1所示的模型中，信號(hào)分布和噪音分布具有相等的方差（二者均等于1），該類模型又被稱為等方差信號(hào)檢測(cè)模型（Wickens， 2001）。根據(jù)圖1可知，當(dāng)實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)的刺激為信號(hào)時(shí)，作答正確率（即擊中率，hit rate，HR）等于信號(hào)分布下報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C右側(cè)的面積。具體計(jì)算公式為：

? ? ? ? ? ? HR=1-Φ（C|μ=d'，σ=1） ? ? （9）

上式中，Φ （C|μ，σ）代表均值為μ、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，即等價(jià)于該正態(tài)分布位于C左側(cè)的曲線下方面積。同理，當(dāng)實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)的刺激為噪音時(shí)，作答正確率（即正確拒絕率，correct rejection rate，CRR）等于噪音分布下報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C左側(cè)的面積：

CRR=Φ（C|μ=0，σ=1） ? ? ? ? ? ? （10）

假設(shè)在信號(hào)檢測(cè)實(shí)驗(yàn)任務(wù)中，信號(hào)刺激出現(xiàn)的可能性為P（St），噪音刺激出現(xiàn)的可能性為P（Nt）。字母t的意思是，上述概率代表了信號(hào)和噪音刺激在實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的真實(shí)（true）概率，以與個(gè)體在貝葉斯決策過(guò)程中使用的主觀先驗(yàn)概率相區(qū)分。據(jù)此可以求出總體的作答正確率Pcorrect：

Pcorrect=P（St）·HR+P（Nt）·CRR=

P（St）·[1-Φ（C|μ=d'，σ=1）]+P（Nt）·Φ（C|μ=0，σ=1） ? （11）

為了求出C值等于多少時(shí)Pcorrect最大，可以先求出Pcorrect的一階導(dǎo)數(shù)：

公式（12）中，?（C|μ，σ）代表在均值為μ、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布中，刺激強(qiáng)度等于C時(shí)的概率密度。理想觀察者的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)Cideal應(yīng)當(dāng)設(shè)置在令Pcorrect的一階導(dǎo)數(shù)為0的位置，即滿足如下的公式（13）：

P（Nt）· ?（Cideal|μ=0，σ=1）

-P（St）?（Cideal|μ=d'，σ=1）=0 （13）

當(dāng)個(gè)體把強(qiáng)度高于Cideal的刺激全部判斷為信號(hào)，而把強(qiáng)度低于Cideal的刺激全部判斷為噪音時(shí)，個(gè)體的作答正確率達(dá)到最大（Wickens，2001）。根據(jù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，可以進(jìn)一步求出Cideal在刺激強(qiáng)度的數(shù)軸上的位置：

在等方差信號(hào)檢測(cè)模型中，當(dāng)信號(hào)和噪音在實(shí)驗(yàn)任務(wù)中出現(xiàn)的概率相同，即P（St）=P（Nt）=0.5時(shí)，C的位置恰好等于d'/2，即理想觀察者會(huì)把報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置在信號(hào)分布均值和噪音分布均值的正中間位置。換言之，理想觀察者設(shè)置的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)正好處在信號(hào)分布和噪音分布交叉的位置（Wickens， 2001）。

接下來(lái)，本文將介紹如何從貝葉斯決策理論的角度來(lái)理解理想觀察者的決策規(guī)則。公式（13）又可以被寫(xiě)為如下形式：

不難看出，公式（17）與反映貝葉斯決策過(guò)程的公式（8）非常相似。在公式（17）中，信號(hào)和噪音在實(shí)驗(yàn)任務(wù)中出現(xiàn)的真實(shí)概率的比值P（St）/P（Nt），類似于個(gè)體在貝葉斯決策過(guò)程中使用的先驗(yàn)概率比值；而在公式（17）中，當(dāng)刺激強(qiáng)度等于Cideal時(shí)，信號(hào)和噪音分布中的概率密度比值?（Cideal|μ=d'，σ=1） /? （Cideal|μ=0，σ=1）也類似于貝葉斯決策過(guò)程中的似然函數(shù)比值。事實(shí)上，貝葉斯決策理論指出，當(dāng)個(gè)體完全清楚信號(hào)和噪音出現(xiàn)的客觀先驗(yàn)概率以及信號(hào)和噪音分布的真實(shí)形態(tài)（即真實(shí)的似然函數(shù)值）時(shí)，采用貝葉斯決策機(jī)制可以保證個(gè)體成為理想觀察者，即能夠使得個(gè)體的作答正確率最大（Burgess， 1985）。具體而言，結(jié)合公式（8）與公式（17）可知，當(dāng)刺激強(qiáng)度恰好等于Cideal時(shí)，后驗(yàn)概率的比值（即信號(hào)和噪音條件下似然函數(shù)與先驗(yàn)概率乘積的比值）等于1。而當(dāng)刺激強(qiáng)度大于Cideal時(shí)，后驗(yàn)概率的比值大于1，此時(shí)個(gè)體會(huì)把當(dāng)前刺激判斷為信號(hào)；當(dāng)刺激強(qiáng)度小于Cideal時(shí)，后驗(yàn)概率的比值小于1，此時(shí)個(gè)體會(huì)把當(dāng)前刺激判斷為噪音。上述基于貝葉斯推理過(guò)程的決策規(guī)則，與經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論框架下理想觀察者的決策規(guī)則完全相同。

然而，針對(duì)實(shí)際研究的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，雖然真實(shí)被試設(shè)置的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)與理想觀察者近似（Knill， 1998; Legge et al.， 2002; Stretch & Wixted， 1998），但被試通常不會(huì)把報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)恰好設(shè)置在公式（16）給出的Cideal的位置，這意味著被試的決策規(guī)則與理想觀察者仍然存在一定的偏離（Lau， 2007; Wickens， 2001）。根據(jù)貝葉斯決策理論，真實(shí)被試與理想觀察者的偏離可能由兩種原因造成。第一種是被試對(duì)信號(hào)和噪音出現(xiàn)的先驗(yàn)概率的估計(jì)與二者出現(xiàn)的實(shí)際概率不相同。圖2A給出了一個(gè)示例：在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)任務(wù)中，信號(hào)和噪音出現(xiàn)的客觀概率相等，但被試主觀認(rèn)為信號(hào)出現(xiàn)的先驗(yàn)概率大于噪音的先驗(yàn)概率?；谪惾~斯決策理論的觀點(diǎn)，被試此時(shí)會(huì)根據(jù)自身對(duì)先驗(yàn)概率的主觀估計(jì)，把報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置在信號(hào)分布和噪音分布均值的中間靠左的位置，以保證作答正確率最大。但由于被試主觀估計(jì)的先驗(yàn)概率與信號(hào)和噪音出現(xiàn)的客觀概率不同，因此被試設(shè)置的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)在實(shí)際的信號(hào)和噪音分布上就會(huì)與理想觀察者存在偏離。第二種是被試對(duì)信號(hào)或噪音分布形態(tài)的主觀估計(jì)與客觀分布的形態(tài)不同，進(jìn)而造成對(duì)似然函數(shù)的主觀估計(jì)出現(xiàn)偏差。在圖2B的示例中，被試對(duì)噪音分布均值的主觀估計(jì)與其真實(shí)值相等，但是對(duì)信號(hào)分布均值的主觀估計(jì)大于信號(hào)分布的實(shí)際均值。在這種情況下，被試會(huì)基于貝葉斯推理的結(jié)果，把報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置在信號(hào)和噪音分布均值的主觀估計(jì)值的中點(diǎn)。然而，被試對(duì)信號(hào)分布均值的主觀估計(jì)偏差會(huì)導(dǎo)致設(shè)置的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)偏離實(shí)際分布上的理想標(biāo)準(zhǔn)（Lau， 2007; Wickens， 2001）。因此，和經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論相比，貝葉斯決策理論進(jìn)一步地解釋了為何個(gè)體在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中會(huì)把報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置在特定的位置，并將其與個(gè)體對(duì)信號(hào)和噪音的出現(xiàn)概率及分布形態(tài)的主觀估計(jì)緊密聯(lián)系了起來(lái)。

以上結(jié)論都是基于圖1所示的等方差信號(hào)檢測(cè)模型推導(dǎo)得出的。在等方差信號(hào)檢測(cè)模型中，雖然和經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論相比，貝葉斯決策理論可以對(duì)個(gè)體的決策過(guò)程給出更加深入的理論解釋，但是二者在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。具體而言，雖然根據(jù)貝葉斯決策理論，個(gè)體對(duì)先驗(yàn)概率和似然函數(shù)的主觀估計(jì)可能與其客觀真實(shí)值存在差異，但只要個(gè)體主觀認(rèn)為信號(hào)和噪音分布的方差相等，基于經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論和貝葉斯決策理論得出的決策過(guò)程就會(huì)在數(shù)學(xué)上具有相等的形式：個(gè)體會(huì)在刺激強(qiáng)度x高于某一報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C時(shí)將刺激判斷為信號(hào)，而在x低于C時(shí)將刺激判斷為噪音（Glanzer et al.， 2009， 2019; Wickens， 2001）。然而，在實(shí)際的信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中，信號(hào)和噪音分布的方差并不會(huì)始終相等；該類模型被稱為不等方差信號(hào)檢測(cè)模型（Mickes et al.， 2007）。在這種情況下，經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論與貝葉斯決策理論之間的關(guān)系會(huì)變得更加復(fù)雜。接下來(lái)，本文將介紹經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論與貝葉斯決策理論在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中存在怎樣的差異。

4 不等方差信號(hào)檢測(cè)模型

在信號(hào)檢測(cè)論模型中，為了簡(jiǎn)化模型假設(shè)，研究者經(jīng)常假設(shè)信號(hào)和噪音分布具有相等的方差（標(biāo)準(zhǔn)差）。然而，在實(shí)際研究中，這一假設(shè)并非始終成立（Green & Swets， 1966; Wixted， 2020）。比如，在前文介紹過(guò)的再認(rèn)記憶任務(wù)中，研究者們發(fā)現(xiàn)，和“新詞”代表的噪音分布相比，“舊詞”代表的信號(hào)分布具有顯著更大的標(biāo)準(zhǔn)差，且信號(hào)和噪音分布的標(biāo)準(zhǔn)差比值通常在1.25∶1左右（Mickes et al.， 2007; Rotello， 2017）。Wixted （2007）提出了一種假設(shè)來(lái)解釋再認(rèn)記憶任務(wù)中信號(hào)分布方差更大的原因：與新詞相比，舊詞之所以在再認(rèn)記憶任務(wù)中具有更高的刺激強(qiáng)度，是由于個(gè)體對(duì)這些舊詞在學(xué)習(xí)階段進(jìn)行了一定程度的學(xué)習(xí)與記憶；而只有當(dāng)個(gè)體對(duì)所有舊詞的學(xué)習(xí)程度均相等時(shí)，信號(hào)分布的方差才能與噪音分布保持一致。但實(shí)際上，個(gè)體對(duì)每個(gè)舊詞的學(xué)習(xí)程度必然不是完全相等的，不同舊詞的學(xué)習(xí)程度之間的變異會(huì)導(dǎo)致信號(hào)分布的方差顯著大于噪音分布。因此，等方差信號(hào)檢測(cè)模型雖然具有簡(jiǎn)單的理論假設(shè)，但可能對(duì)信號(hào)檢測(cè)任務(wù)給出了過(guò)于簡(jiǎn)化的描述；而不等方差信號(hào)檢測(cè)模型也許能夠更好地反映個(gè)體在實(shí)際任務(wù)中完成的信號(hào)檢測(cè)過(guò)程。

值得注意的是，并非所有的信號(hào)檢測(cè)任務(wù)都必須使用不等方差信號(hào)檢測(cè)模型來(lái)描述。比如，在二選一迫選任務(wù)（2 alternative forced choice， 2AFC）范式中，屏幕上每次會(huì)同時(shí)呈現(xiàn)一個(gè)信號(hào)刺激（如舊詞）和一個(gè)噪音刺激（如新詞），被試需要從兩個(gè)刺激中準(zhǔn)確地選出信號(hào)刺激。即使信號(hào)和噪音分布的方差不相等，2AFC任務(wù)的信號(hào)檢測(cè)過(guò)程也能夠使用等方差信號(hào)檢測(cè)模型來(lái)定量刻畫(huà)（Wickens， 2001）。由于與本文主題不直接相關(guān)，因此本文不對(duì)2AFC任務(wù)下的信號(hào)檢測(cè)論模型進(jìn)行進(jìn)一步介紹。感興趣的讀者可以閱讀已有文獻(xiàn)中對(duì)2AFC任務(wù)的論述（Macmillan & Creelman， 2004; Wickens， 2001）。

下面，本文將介紹在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型的框架下，個(gè)體如何根據(jù)貝葉斯決策理論來(lái)完成決策過(guò)程。圖3給出了不等方差信號(hào)檢測(cè)模型的示例。與圖1相似，圖3中噪音分布的均值為0，信號(hào)分布的均值為d'。然而，與圖1不同的是，圖3中噪音分布的標(biāo)準(zhǔn)差σN等于1，而信號(hào)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σS與1并不相等（圖3中假設(shè)σS大于1，即與再認(rèn)記憶任務(wù)中的情況相同）。為了簡(jiǎn)化貝葉斯推理過(guò)程，這里假設(shè)信號(hào)和噪音出現(xiàn)的真實(shí)概率均為0.5，且個(gè)體完全清楚信號(hào)和噪音的先驗(yàn)概率及似然函數(shù)。由于信號(hào)和噪音出現(xiàn)的先驗(yàn)概率相等，因此個(gè)體的決策結(jié)果完全依賴于當(dāng)前刺激的強(qiáng)度x在信號(hào)和噪音分布中的似然函數(shù)的比值：根據(jù)公式（8），當(dāng)似然函數(shù)的比值大于1時(shí)，個(gè)體會(huì)將當(dāng)前刺激判斷為信號(hào)，反之則判斷為噪音。然而，根據(jù)圖3可知，在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中，信號(hào)分布和噪音分布存在兩個(gè)不同位置的交叉點(diǎn)（C1和C2）。當(dāng)x小于C1或大于C2時(shí)，x在信號(hào)分布中的概率密度高于噪音分布，因此被試會(huì)把當(dāng)前刺激判斷為信號(hào)；而當(dāng)x處在C1和C2之間時(shí)，x在噪音分布中的概率密度更高，被試會(huì)把當(dāng)前刺激判斷為噪音。換言之，信號(hào)和噪音分布的似然函數(shù)的一個(gè)特定比值，在刺激強(qiáng)度的數(shù)軸上對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)。

Glanzer等（2009）通過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，給出了在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中，似然函數(shù)比值與刺激強(qiáng)度數(shù)軸上的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。Glanzer等首先計(jì)算了當(dāng)刺激強(qiáng)度等于C時(shí)，信號(hào)和噪音分布中似然函數(shù)的比值，隨后對(duì)似然函數(shù)比值取自然對(duì)數(shù)（記為λ）：

由于對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)λ取到其最大值（或最小值）時(shí)，似然函數(shù)的比值也應(yīng)當(dāng)能夠取到最大值（或最小值）。進(jìn)一步的計(jì)算結(jié)果表明（Glanzer et al.， 2009），λ與刺激強(qiáng)度數(shù)軸上的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C之間滿足二次函數(shù)關(guān)系（見(jiàn)圖4）。當(dāng)信號(hào)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σS大于1時(shí)，λ有最小值（記為λ*）；而當(dāng)σS小于1時(shí)，λ有最大值（記為λ*）。當(dāng)且僅當(dāng)λ等于λ*時(shí)，刺激強(qiáng)度數(shù)軸上存在唯一的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)與其對(duì)應(yīng)（記為C*）；而當(dāng)λ不等于λ*時(shí)，每一個(gè)λ值都對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)λ等于0（即似然函數(shù)比值為1）時(shí)，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C1和C2將整個(gè)刺激強(qiáng)度數(shù)軸分為三個(gè)部分。如果σS大于1，則個(gè)體會(huì)將C1和C2中間的部分判斷為噪音，而將兩側(cè)的部分判斷為信號(hào)；如果σS小于1則相反。

經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論認(rèn)為，即使在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中，個(gè)體仍然只會(huì)簡(jiǎn)單地設(shè)置一個(gè)報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C，并當(dāng)刺激強(qiáng)度x高于C時(shí)將刺激判斷為信號(hào)，反之則判斷為噪音（Mickes et al.， 2007; Wickens， 2001）。因此，經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論和貝葉斯決策理論為不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中的決策機(jī)制給出了不同的預(yù)測(cè)，個(gè)體根據(jù)兩種理論給出的決策結(jié)果也不再完全等價(jià)（這一點(diǎn)與等方差信號(hào)檢測(cè)模型有別）。

經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論和貝葉斯決策理論在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中存在的差異可以從操作者特性曲線（receiver operating characteristic curve， ROC curve）中體現(xiàn)出來(lái)。ROC曲線指的是在保持信號(hào)和噪音的客觀分布形態(tài)不變的基礎(chǔ)上，反映擊中率（HR）和虛報(bào)率（false alarm rate， FAR）之間關(guān)系的曲線（Wickens， 2001）。在經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論框架下，通過(guò)改變報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C的位置（如設(shè)置寬松或嚴(yán)格的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)），可以同時(shí)改變擊中率和虛報(bào)率的值。而在貝葉斯決策理論框架下（假設(shè)個(gè)體完全清楚先驗(yàn)概率和似然函數(shù)的真實(shí)值），可以通過(guò)改變信號(hào)和噪音刺激出現(xiàn)概率的方式來(lái)影響先驗(yàn)概率，進(jìn)而影響后驗(yàn)概率比值等于1時(shí)的似然函數(shù)比值（即影響λ的臨界值）；λ的臨界值對(duì)應(yīng)的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)的位置也會(huì)隨之發(fā)生變化，進(jìn)而改變擊中率和虛報(bào)率。將所有可能的擊中率和虛報(bào)率配對(duì)繪制在圖上，以虛報(bào)率為橫坐標(biāo)，擊中率為縱坐標(biāo)，即可得到ROC曲線。

在等方差信號(hào)檢測(cè)模型中，無(wú)論個(gè)體基于經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論還是貝葉斯決策理論來(lái)完成決策過(guò)程（二者在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的），只要辨別力指數(shù)d'的值大于0，ROC曲線就會(huì)始終處在對(duì)角線上方，即意味著擊中率始終高于虛報(bào)率；當(dāng)d'的值越高時(shí)，ROC曲線下的面積越大（見(jiàn)圖5A的示例）。但是，在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中，如果個(gè)體基于經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論給出的決策機(jī)制來(lái)完成決策過(guò)程，則就算d'的值大于0，ROC曲線也會(huì)有一部分處在對(duì)角線下方。比如，當(dāng)信號(hào)分布標(biāo)準(zhǔn)差σS大于1時(shí)，在擊中率和虛報(bào)率都非常接近1的情況下，擊中率會(huì)小于虛報(bào)率（見(jiàn)圖5B）；而當(dāng)σS小于1時(shí)，則在擊中率和虛報(bào)率都接近于0的情況下，擊中率小于虛報(bào)率（見(jiàn)圖5C）。與之相對(duì)，如果個(gè)體基于貝葉斯決策理論來(lái)完成決策過(guò)程，則即使在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中，ROC曲線也會(huì)始終處在對(duì)角線上方（見(jiàn)圖5D）；這一結(jié)論可以在數(shù)學(xué)上得到嚴(yán)格的證明（Wickens， 2001）。

經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論和貝葉斯決策理論之間的差異可以在zROC曲線上得到更加直觀的體現(xiàn)（Macmillan & Creelman， 2004）。所謂zROC曲線，指的是首先利用下面的公式將擊中率HR和虛報(bào)率FAR轉(zhuǎn)化為z分?jǐn)?shù)：

? ? ? ? zHR=Φ-1（HR|μ=0，σ=1） ? （19）

? ? ? ? ?zFAR=Φ-1（FAR|μ=0，σ=1） ? ? ? （20）

公式（19）和（20）中，Φ-1（p|μ=0，σ=1）代表均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)的逆函數(shù)，即將取值范圍在0到1之間的概率值p轉(zhuǎn)化為取值范圍在負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮之間的z分?jǐn)?shù)。隨后，以zFAR為橫坐標(biāo)，zHR為縱坐標(biāo)，繪制二者之間的關(guān)系圖，即為zROC曲線。圖6給出了zROC曲線的示例。當(dāng)zROC曲線位于直線y=x上方時(shí)，就意味著擊中率大于虛報(bào)率。從數(shù)學(xué)上可以證明，在經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論框架下，zHR和zFAR之間的關(guān)系為一條直線，其斜率等于噪音分布標(biāo)準(zhǔn)差和信號(hào)分布標(biāo)準(zhǔn)差的比值σN/σS （Wickens， 2001）。在信號(hào)檢測(cè)論中，噪音分布標(biāo)準(zhǔn)差σN通常設(shè)為1。當(dāng)信號(hào)分布標(biāo)準(zhǔn)差σS大于1時(shí)，zROC直線的斜率小于1，此時(shí)zROC直線必然會(huì)在右側(cè)與直線y=x相交，并導(dǎo)致當(dāng)擊中率和虛報(bào)率的值均很大時(shí)，擊中率小于虛報(bào)率。同理，當(dāng)σS小于1時(shí)，zROC直線的斜率大于1，會(huì)在左側(cè)與y=x相交，并導(dǎo)致當(dāng)擊中率和虛報(bào)率的值均很小時(shí)，擊中率小于虛報(bào)率（見(jiàn)圖6A的示例）。另一方面，在貝葉斯決策理論的框架下，zHR和zFAR之間的關(guān)系為一條曲線；無(wú)論σS的值等于多少，zROC曲線始終位于y=x的上方（見(jiàn)圖6B的示例）（Macmillan & Creelman， 2004）。

由于在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中，經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論和貝葉斯決策理論預(yù)測(cè)了不同的ROC曲線和zROC曲線形態(tài)，因此從理論上講，可以通過(guò)考察實(shí)際研究當(dāng)中獲得的ROC以及zROC曲線，以及在極端條件下獲得的擊中率和虛報(bào)率數(shù)據(jù)，來(lái)確認(rèn)哪一種理論能夠更好地解釋真實(shí)被試在不等方差信號(hào)檢測(cè)任務(wù)當(dāng)中的決策過(guò)程。比如，在再認(rèn)記憶任務(wù)中，可以考慮通過(guò)盡可能地增加舊詞的出現(xiàn)頻率，降低新詞的出現(xiàn)頻率，使得被試設(shè)置盡可能寬松的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)，即將絕大多數(shù)刺激都判斷為舊詞（此時(shí)擊中率和虛報(bào)率都接近1）。在該實(shí)驗(yàn)條件下，如果發(fā)現(xiàn)被試的擊中率低于虛報(bào)率，則支持經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論；如果擊中率始終高于虛報(bào)率，則支持貝葉斯決策理論。

然而，上述實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)很難在實(shí)際研究中得到應(yīng)用。這是因?yàn)樵诮?jīng)典信號(hào)檢測(cè)論框架下，當(dāng)不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中的擊中率低于虛報(bào)率時(shí)，擊中率與虛報(bào)率的真值都非常接近極端值0或1。同時(shí)，即使存在擊中率低于虛報(bào)率的情況，二者之間的差異也是很小的（見(jiàn)圖5B和圖5C）。在此情況下，樣本數(shù)據(jù)中計(jì)算得到的擊中率與虛報(bào)率差值會(huì)受到抽樣誤差的嚴(yán)重影響，一點(diǎn)細(xì)微的抽樣誤差的存在都會(huì)導(dǎo)致研究者難以根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確估計(jì)擊中率與虛報(bào)率的真實(shí)差異（Glanzer et al.， 2019; Macmillan & Creelman， 2004）。那么，是否存在某種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，使得研究者可以比較經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論和貝葉斯決策理論在解釋真實(shí)個(gè)體的決策過(guò)程時(shí)的優(yōu)劣呢？

5 支持貝葉斯決策理論的研究證據(jù)

有研究者指出，兩條件實(shí)驗(yàn)可以被用于比較經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論和貝葉斯決策理論在真實(shí)決策過(guò)程中的合理性（Glanzer et al.， 2009， 2019; Semmler et al.， 2018; Stretch & Wixted， 1998）。所謂的兩條件實(shí)驗(yàn)，指的是在一個(gè)被試內(nèi)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，要求同一批被試完成兩個(gè)不同的信號(hào)檢測(cè)任務(wù)；這兩個(gè)任務(wù)除了存在難度上的區(qū)別外，在任務(wù)要求上沒(méi)有任何差異。比如，被試可以完成兩個(gè)不同的再認(rèn)記憶任務(wù)，這兩個(gè)任務(wù)的唯一區(qū)別在于學(xué)習(xí)階段被試學(xué)習(xí)每個(gè)舊詞的時(shí)間長(zhǎng)度存在差異，學(xué)習(xí)時(shí)間越長(zhǎng)則任務(wù)難度越低（Glanzer et al.， 2009）。同時(shí)，在兩個(gè)信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中，被試不僅需要判斷每個(gè)刺激是信號(hào)還是噪音，而且需要給出自己對(duì)作答結(jié)果的信心判斷，即被試需要在一個(gè)李克特量表上評(píng)價(jià)自己對(duì)作答結(jié)果的信心程度。此外，Glanzer等（2019）指出，在兩條件實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，被試必須清楚意識(shí)到每個(gè)試次來(lái)自哪個(gè)任務(wù)難度條件。因此，兩個(gè)不同難度的信號(hào)檢測(cè)任務(wù)最好在不同的組塊中進(jìn)行；如果一定要使用混合列表設(shè)計(jì)，即把兩個(gè)難度的信號(hào)檢測(cè)任務(wù)的試次混合在一起，則必須通過(guò)特定的提示告知被試當(dāng)前的試次來(lái)自哪個(gè)實(shí)驗(yàn)條件，比如為屏幕上呈現(xiàn)的詞語(yǔ)標(biāo)注不同的顏色等。

研究者們提出了似然比理論來(lái)解釋個(gè)體在兩條件實(shí)驗(yàn)中的決策過(guò)程（Glanzer et al.， 2009， 2019; Semmler et al.， 2018）。似然比理論以貝葉斯決策理論為基礎(chǔ)，包含兩個(gè)具體假設(shè)：（1）似然比不變假設(shè)。該假設(shè)認(rèn)為，在兩種不同難度的實(shí)驗(yàn)條件下，個(gè)體用于貝葉斯決策過(guò)程的似然函數(shù)比值的臨界值保持不變（這一假設(shè)會(huì)在下面進(jìn)行更詳細(xì)的介紹）。（2）真實(shí)似然比假設(shè)。該假設(shè)認(rèn)為，個(gè)體知道信號(hào)和噪音分布的真實(shí)分布形態(tài)，并會(huì)依據(jù)刺激強(qiáng)度在信號(hào)和噪音分布中的真實(shí)似然函數(shù)比值來(lái)完成決策過(guò)程。需要注意的是，真實(shí)似然比假設(shè)比一般的貝葉斯決策理論更強(qiáng)：貝葉斯決策理論通常允許個(gè)體主觀估計(jì)的似然函數(shù)比值與真實(shí)的似然函數(shù)比值存在差異（Lau， 2007; Wickens， 2001），但真實(shí)似然比假設(shè)則認(rèn)為個(gè)體知道（或至少近似知道）信號(hào)與噪音分布中的真實(shí)似然函數(shù)（Glanzer et al.， 2019; Semmler et al.， 2018）。根據(jù)似然比理論，個(gè)體在兩條件實(shí)驗(yàn)中的決策過(guò)程應(yīng)同時(shí)滿足上述兩個(gè)假設(shè)（Glanzer et al.， 2009， 2019）。

在似然比理論的基礎(chǔ)上，Glanzer等（2009， 2019）預(yù)測(cè)了兩條件實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的三種實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，包括鏡像效應(yīng)、方差效應(yīng)和zROC長(zhǎng)度效應(yīng)（zROC length effect）。Glanzer等指出，似然比理論可以很容易地解釋上述三種現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)制，但經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)理論難以同時(shí)解釋這三種現(xiàn)象的發(fā)生。實(shí)際研究結(jié)果表明，在不同認(rèn)知領(lǐng)域（如知覺(jué)、記憶、推理、心理旋轉(zhuǎn)等）的信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中，上述三種現(xiàn)象均穩(wěn)定存在（Glanzer et al.， 2009， 2019; Hilford et al.， 2015， 2019; Semmler et al.， 2018），即在一定程度上支持了貝葉斯決策理論的合理性。由于篇幅所限，本文只著重介紹其中的一種現(xiàn)象——zROC長(zhǎng)度效應(yīng)。

zROC長(zhǎng)度效應(yīng)最早由Stretch和Wixted （1998）發(fā)現(xiàn)。Stretch和Wixted對(duì)已有的一項(xiàng)研究中的數(shù)據(jù)進(jìn)行了再次分析（Ratcliff et al.， 1994）；在該研究中，被試需要完成兩種不同難度的再認(rèn)記憶任務(wù)（容易vs.困難）。比如，在容易條件下被試學(xué)習(xí)每個(gè)舊詞的時(shí)間為3s，而在困難條件下每個(gè)舊詞的學(xué)習(xí)時(shí)間只有1s。在再認(rèn)測(cè)驗(yàn)中，被試需要在一個(gè)6點(diǎn)量表上針對(duì)每個(gè)詞語(yǔ)完成判斷任務(wù)，其中1到6分別代表“確定是新詞”“很可能是新詞”“可能是新詞”“可能是舊詞”“很可能是舊詞”“確定是舊詞”。因此，被試不僅需要針對(duì)每個(gè)詞語(yǔ)進(jìn)行新舊判斷，還需要報(bào)告自己對(duì)作答結(jié)果的信心程度。在經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論框架下，信心判斷任務(wù)是二分判斷任務(wù)（信號(hào)vs.噪音）的推廣形式，即在n點(diǎn)量表上進(jìn)行的信心判斷任務(wù)等價(jià)于在刺激強(qiáng)度的數(shù)軸上設(shè)置（n-1）個(gè)報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)（Wickens， 2001）。如圖7A所示，當(dāng)刺激強(qiáng)度低于第一個(gè)報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C1時(shí)，被試會(huì)在信心判斷量表上報(bào)告為1；當(dāng)刺激強(qiáng)度在C1和C2之間時(shí)，被試會(huì)在信心判斷量表上報(bào)告為2；以此類推。Stretch和Wixted發(fā)現(xiàn)，與困難條件（辨別力指數(shù)d'更低的條件）相比，在容易條件（d'更高的條件）下，所有的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)的位置均會(huì)向中間收縮，即不同報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)之間的距離會(huì)縮短（見(jiàn)圖7A）。Stretch和Wixted隨后在一個(gè)新的實(shí)驗(yàn)研究中驗(yàn)證了上述結(jié)論。

Glanzer等（2009， 2019）使用zROC曲線對(duì)Stretch和Wixted （1998）報(bào)告的現(xiàn)象進(jìn)行了重新表述。具體而言，Glanzer等首先根據(jù)被試在n點(diǎn)信心判斷量表上給出的判斷結(jié)果，通過(guò)改變報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)的方式計(jì)算出（n-1）對(duì)擊中率和虛報(bào)率。比如，在一個(gè)6點(diǎn)信心判斷量表上，假設(shè)將信心判斷量表點(diǎn)數(shù)1視為被試把當(dāng)前刺激判斷為噪音，而將量表點(diǎn)數(shù)2～6視為被試把刺激判斷為信號(hào)，即可計(jì)算出一組擊中率和虛報(bào)率；而如果將量表點(diǎn)數(shù)1～2視為被試把刺激判斷為噪音，而將量表點(diǎn)數(shù)3～6視為被試把刺激判斷為信號(hào)，則可計(jì)算出另一組擊中率和虛報(bào)率；以此類推。隨后，Glanzer等基于每種實(shí)驗(yàn)條件下獲得的（n-1）對(duì)擊中率和虛報(bào)率繪制出zROC曲線。結(jié)果表明，與困難條件相比；容易條件下繪制的zROC曲線兩端之間的距離顯著更短（如圖7B所示）；這意味著當(dāng)改變報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，容易條件下的擊中率和虛報(bào)率值變化幅度更小，即說(shuō)明容易條件下不同的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)之間更為接近。Glanzer等將這一現(xiàn)象命名為zROC長(zhǎng)度效應(yīng)。

似然比理論指出，基于似然比不變假設(shè)可以很自然地推導(dǎo)出zROC長(zhǎng)度效應(yīng)。根據(jù)貝葉斯決策理論（參考公式（8）），個(gè)體在n點(diǎn)信心判斷量表上給出判斷的過(guò)程，可以被看作在后驗(yàn)概率比值上設(shè)置（n-1）個(gè)閾值（記為β1、β2……βn-1），并將當(dāng)前刺激對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)概率比值與每個(gè)β值相比較的過(guò)程。假如當(dāng)前刺激對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)概率比值小于β1，則個(gè)體在信心判斷量表上報(bào)告的結(jié)果為1；假如刺激對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)概率比值在β1和β2之間，則信心判斷的結(jié)果為2；以此類推（Green & Swets， 1966）。Glanzer等（2009， 2019）假設(shè)，當(dāng)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)條件之間的唯一差異為任務(wù)難度時(shí)，個(gè)體設(shè)置的閾值β應(yīng)當(dāng)不會(huì)在實(shí)驗(yàn)條件之間發(fā)生改變。由于后驗(yàn)概率比值等于先驗(yàn)概率比值和似然函數(shù)比值的乘積，且個(gè)體在貝葉斯推理過(guò)程中對(duì)于信號(hào)和噪音出現(xiàn)的先驗(yàn)概率的主觀估計(jì)通?？梢越埔暈楹愣ǎ‵leming & Daw， 2017; Wickens， 2001），因此可以在數(shù)學(xué)上等價(jià)地認(rèn)為，個(gè)體在信號(hào)和噪音分布的似然函數(shù)比值上設(shè)置了一組閾值，并通過(guò)每個(gè)刺激對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)比值與上述閾值之間的比較來(lái)給出信心判斷的結(jié)果。同時(shí)，個(gè)體在似然函數(shù)比值上設(shè)置的閾值應(yīng)當(dāng)不會(huì)在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)條件之間發(fā)生變化（Glanzer et al.， 2019）。上述假設(shè)即為似然比不變假設(shè)。

接下來(lái)，本文將以等方差信號(hào)檢測(cè)模型為例，根據(jù)似然比不變假設(shè)來(lái)推導(dǎo)zROC長(zhǎng)度效應(yīng)。由于個(gè)體在似然函數(shù)比值上設(shè)置的閾值是恒定不變的，因此在為似然函數(shù)比值取對(duì)數(shù)之后，對(duì)數(shù)似然比（λ）上設(shè)置的閾值也不會(huì)在實(shí)驗(yàn)條件之間發(fā)生改變?；谡龖B(tài)分布的概率密度函數(shù)（參考公式（14）和（15）），可以寫(xiě)出λ與報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（Glanzer et al.， 2009）：

當(dāng)λ在不同實(shí)驗(yàn)條件之間維持恒定時(shí)，隨著任務(wù)難度的下降（即d'的上升），報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C會(huì)逐漸向d'/2的周圍收縮，因此一組報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)之間的距離會(huì)縮短，即得出了zROC長(zhǎng)度效應(yīng)。此外，Glanzer等（2009）的數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果表明，在不等方差信號(hào)檢測(cè)模型中，雖然個(gè)體的貝葉斯決策機(jī)制更為復(fù)雜，但只要個(gè)體保持λ在不同實(shí)驗(yàn)條件之間的恒定， zROC長(zhǎng)度效應(yīng)就會(huì)成立。Glanzer等（2009， 2019）指出，雖然經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論也可以對(duì)zROC長(zhǎng)度效應(yīng)進(jìn)行強(qiáng)行解釋，即認(rèn)為個(gè)體在刺激強(qiáng)度的數(shù)軸上直接設(shè)置的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)恰好隨著任務(wù)難度的降低而收縮，但它無(wú)法解釋報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)的收縮對(duì)應(yīng)怎樣的內(nèi)在心理機(jī)制。因此，zROC長(zhǎng)度效應(yīng)可以被視為支持貝葉斯決策理論的證據(jù)?；谙嗨频姆椒ǎ珿lanzer等（2009）從似然比理論中推導(dǎo)出了另外兩種現(xiàn)象——鏡像效應(yīng)和方差效應(yīng)，并在實(shí)際研究結(jié)果中驗(yàn)證了這兩種效應(yīng)的存在。感興趣的讀者可以閱讀Glanzer等（2009）的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程。

根據(jù)似然比理論得出的三種實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象在一定程度上為貝葉斯決策理論提供了支持。然而，似然比理論一直受人質(zhì)疑的地方在于其包含的真實(shí)似然比假設(shè)，即認(rèn)為個(gè)體在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中能夠知道信號(hào)和噪音分布的真實(shí)形態(tài)。一些研究者質(zhì)疑真實(shí)被試是否有能力掌握如此多的信息（Balakrishnan & Ratcliff， 1996; Criss & McClelland， 2006）。為了回應(yīng)這一質(zhì)疑，Semmler等（2018）提出，個(gè)體對(duì)信號(hào)和噪音分布形態(tài)的認(rèn)識(shí)來(lái)自日常生活中經(jīng)年累月的學(xué)習(xí)；即使個(gè)體不能通過(guò)學(xué)習(xí)精確地掌握信號(hào)與噪音分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，也至少可以清楚地意識(shí)到信號(hào)和噪音分布之間的距離如何隨著任務(wù)難度的變化而發(fā)生變化（Turner et al.， 2011; Wixted & Gaitan， 2002）。然而，上述觀點(diǎn)目前主要停留在理論層面。未來(lái)需要進(jìn)一步對(duì)似然比理論的假設(shè)合理性進(jìn)行考察。

6 結(jié)語(yǔ)

本文在貝葉斯決策理論的框架下，探討了個(gè)體如何通過(guò)貝葉斯推理過(guò)程完成信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中的決策判斷。與經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論相比，貝葉斯決策理論可以更加深入地解釋個(gè)體辨別信號(hào)和噪音的決策過(guò)程對(duì)應(yīng)怎樣的內(nèi)在心理機(jī)制。但是，貝葉斯決策理論中涉及的參數(shù)較多（包括個(gè)體對(duì)先驗(yàn)概率和似然函數(shù)的主觀估計(jì)），而在信號(hào)檢測(cè)實(shí)驗(yàn)任務(wù)中，根據(jù)擊中率和虛報(bào)率的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)難以對(duì)上述所有參數(shù)求解。比如，個(gè)體在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生變化，既有可能是源于個(gè)體改變了對(duì)先驗(yàn)概率的主觀估計(jì)，也可能是由于對(duì)似然函數(shù)的主觀估計(jì)發(fā)生了改變；而在實(shí)際研究中很難區(qū)分這兩種情況（Fleming & Daw， 2017; Lau， 2007）。雖然似然比理論認(rèn)為個(gè)體對(duì)似然函數(shù)的主觀估計(jì)和客觀真實(shí)值基本相同（Glanzer et al.， 2009， 2019; Semmler et al.， 2018），即對(duì)貝葉斯決策理論進(jìn)行了簡(jiǎn)化，但這一假設(shè)受到了其他研究者的質(zhì)疑。因此，本文認(rèn)為，在實(shí)際的信號(hào)檢測(cè)實(shí)驗(yàn)任務(wù)中，經(jīng)典信號(hào)檢測(cè)論（以及該理論提出的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)C）依然是可用于數(shù)據(jù)分析的有效工具。

本文討論的貝葉斯決策理論并不能完整反映個(gè)體在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中的決策機(jī)制。比如，貝葉斯決策理論認(rèn)為，個(gè)體的決策結(jié)果完全基于信號(hào)和噪音出現(xiàn)的后驗(yàn)概率的比值，當(dāng)信號(hào)的后驗(yàn)概率大于噪音時(shí)，被試會(huì)將當(dāng)前刺激判斷為信號(hào)，反之則判斷為噪音（Burgess， 1985）。然而，在實(shí)際研究中，被試的決策結(jié)果還會(huì)受到與任務(wù)相關(guān)的獎(jiǎng)勵(lì)及懲罰程度的影響。比如，一名司機(jī)在駕駛汽車即將到達(dá)十字路口時(shí)，需要快速判斷前方的紅綠燈上目前顯示的是哪種顏色（這里定義綠燈為信號(hào)，紅燈為噪音）。在上述的知覺(jué)判斷任務(wù)中，漏報(bào)（即將綠燈判斷為紅燈）并不會(huì)產(chǎn)生非常嚴(yán)重的后果，只會(huì)導(dǎo)致司機(jī)在十字路口多等待一段時(shí)間。然而，虛報(bào)（將紅燈判斷為綠燈）則會(huì)造成嚴(yán)重危害，比如司機(jī)闖紅燈撞到綠燈方向通行的汽車或行人。因此，司機(jī)可能會(huì)采取非常嚴(yán)格的報(bào)告標(biāo)準(zhǔn)，即傾向于將紅綠燈上顯示的顏色判斷為紅色（噪音），而這一判別標(biāo)準(zhǔn)與司機(jī)實(shí)際接收的知覺(jué)信息（刺激強(qiáng)度）是相互獨(dú)立的。Green和Swets （1966）指出，當(dāng)不同作答結(jié)果的獎(jiǎng)勵(lì)或懲罰程度不同時(shí)，個(gè)體的作答目標(biāo)可能會(huì)從最大化作答正確率（即理想觀察者），轉(zhuǎn)變?yōu)樽畲蠡陨慝@得的獎(jiǎng)勵(lì)或最小化自身所受的懲罰。此時(shí)，個(gè)體的最終決策會(huì)同時(shí)基于信號(hào)和噪音成立的后驗(yàn)概率，以及不同的作答反應(yīng)可能導(dǎo)致的后果。

前文提到，貝葉斯決策理論認(rèn)為，個(gè)體在信號(hào)檢測(cè)任務(wù)中給出信心判斷的過(guò)程，可以被視為是在后驗(yàn)概率比值上設(shè)置一組不同的閾限，并將當(dāng)前刺激對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)概率比值與每個(gè)閾限值相比較的過(guò)程（Glanzer et al.， 2009， 2019; Green & Swets， 1966）。然而，近年來(lái)，研究者逐漸認(rèn)識(shí)到，基于刺激強(qiáng)度推理得到的后驗(yàn)概率并不能準(zhǔn)確地反映個(gè)體的信心判斷結(jié)果。這是因?yàn)閭€(gè)體在決策當(dāng)前刺激是信號(hào)還是噪音時(shí)依賴的刺激強(qiáng)度，與信心判斷過(guò)程中使用的信息可能并不完全相同：個(gè)體在信心判斷中可能會(huì)丟失一部分關(guān)于刺激內(nèi)容的信息，也可能基于一些額外的推理過(guò)程獲得更豐富的信息（Hu et al.， 2021; Jang et al.， 2012; Maniscalco & Lau， 2012; Shekhar & Rahnev， 2021）。為了將信心判斷過(guò)程更好地納入貝葉斯決策理論的框架下，F(xiàn)leming和Daw （2017） 對(duì)傳統(tǒng)的貝葉斯決策理論進(jìn)行了改進(jìn)，并在改進(jìn)后的理論中考慮了個(gè)體在決策過(guò)程和信心判斷過(guò)程中利用信息的差異。但是，另一些研究者認(rèn)為，即使考慮了個(gè)體在信心判斷過(guò)程中利用的獨(dú)特信息，信心判斷過(guò)程自身的內(nèi)在機(jī)制可能也與貝葉斯決策理論的觀點(diǎn)并不完全相符（Adler & Ma， 2018; Li & Ma， 2020）。關(guān)于信心判斷對(duì)應(yīng)的內(nèi)在心理過(guò)程是否為貝葉斯決策過(guò)程，目前仍然是一個(gè)存在爭(zhēng)論的話題，需要未來(lái)研究進(jìn)一步探索。

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