王 明,榮佑民,黃 禹,張 勇,曾真寅

(1.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,武漢 430074;2.廣東機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院先進(jìn)制造技術(shù)學(xué)院,廣州 510000;3.麥格雷博(深圳)電子有限公司,深圳 518000)

0 引言

近年來(lái)隨著稀土永磁產(chǎn)業(yè)飛速發(fā)展,永磁體已廣泛應(yīng)用于醫(yī)療[1]、交通[2]、儀器儀表[3]等眾多領(lǐng)域,學(xué)者們對(duì)永磁體的性能也愈加關(guān)注。表磁(永磁體的表面磁感應(yīng)強(qiáng)度)是永磁體性能的重要指標(biāo)之一[4],表磁測(cè)量的精準(zhǔn)性直接影響著產(chǎn)品的質(zhì)量。

目前,永磁轉(zhuǎn)子磁感應(yīng)強(qiáng)度分布的主要分析手段:有限元分析[5]、數(shù)值解析[6]及實(shí)驗(yàn)測(cè)量。有限元分析用于求解靜態(tài)、動(dòng)態(tài)磁場(chǎng)問(wèn)題,通過(guò)靈活設(shè)置邊界條件及材料性質(zhì),能夠仿真計(jì)算出不同材料和結(jié)構(gòu)形式的永磁體理想磁感應(yīng)強(qiáng)度;數(shù)值解析的基礎(chǔ)理論一般為,基于安培分子環(huán)流定律的等效電流模型以及基于庫(kù)倫定律的等效磁荷模型。有限元分析和數(shù)值解析大多不單獨(dú)使用而是配合實(shí)驗(yàn),對(duì)構(gòu)建出的轉(zhuǎn)子模型進(jìn)行理論驗(yàn)證[7];實(shí)驗(yàn)測(cè)量則是基于霍爾效應(yīng)用高斯計(jì)對(duì)磁極的表面磁場(chǎng)進(jìn)行直接測(cè)量,適用于實(shí)際產(chǎn)線(xiàn)上快速檢測(cè)產(chǎn)品性能。HIROSE等[8]利用霍爾器件對(duì)回旋加速器中的大型永磁體進(jìn)行磁場(chǎng)的精確測(cè)量,王曉明等[9]則基于LabWindows/CVI軟件及B&H測(cè)試儀研制了一套可實(shí)時(shí)顯示、查詢(xún)永磁體磁場(chǎng)分布系統(tǒng)。

在實(shí)驗(yàn)測(cè)量永磁轉(zhuǎn)子過(guò)程中,由于轉(zhuǎn)子表面是堅(jiān)硬的硅鋼片,為了減少檢測(cè)探頭的磨損,探頭不會(huì)直接接觸轉(zhuǎn)子表面。而轉(zhuǎn)子在安裝的過(guò)程中存在著隨機(jī)偏差,這就導(dǎo)致在轉(zhuǎn)動(dòng)檢測(cè)時(shí)會(huì)出現(xiàn)偏心現(xiàn)象。因?yàn)榇鸥袘?yīng)強(qiáng)度與檢測(cè)距離之間有很強(qiáng)的相關(guān)性[10],偏心現(xiàn)象會(huì)嚴(yán)重影響磁場(chǎng)數(shù)據(jù)采集的準(zhǔn)確性。針對(duì)這種現(xiàn)象,目前普遍存在兩種方法,一是使用可變性柔性探頭[11]緊貼磁體表面測(cè)量,但轉(zhuǎn)子表面并不光滑,在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)滑動(dòng)摩擦,難免會(huì)損傷探頭和轉(zhuǎn)子;二是使用高精密的機(jī)械設(shè)備,但這樣會(huì)極大地增加成本。

本文針對(duì)測(cè)量永磁體轉(zhuǎn)子表面磁場(chǎng)分布時(shí)存在的偏心現(xiàn)象,基于安培分子環(huán)流模型,利用畢奧-薩伐爾定理開(kāi)發(fā)了一種表磁偏心修正的系統(tǒng)。該系統(tǒng)僅需在測(cè)量前建立校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù),便可極大地保證對(duì)永磁轉(zhuǎn)子表磁的精確測(cè)量。

1 磁場(chǎng)分布的數(shù)學(xué)描述

1.1 永磁轉(zhuǎn)子的基本結(jié)構(gòu)

永磁轉(zhuǎn)子的組成部分一般可分為轉(zhuǎn)子鐵芯以及永磁磁極。相較于傳統(tǒng)的電勵(lì)磁電機(jī)由繞組產(chǎn)生磁場(chǎng),永磁轉(zhuǎn)子則是由永磁體產(chǎn)生磁場(chǎng)。而根據(jù)永磁體放置的位置以及方式的不同,可分為以下3類(lèi):插入式、內(nèi)置式和表貼式[12]。插入式轉(zhuǎn)子充分利用了轉(zhuǎn)子磁路不對(duì)稱(chēng)所產(chǎn)生的磁阻轉(zhuǎn)矩,提高電機(jī)的功率密度,但其漏磁系數(shù)和制造成本較高,因此多用于傳動(dòng)永磁電機(jī)。內(nèi)置式[13]轉(zhuǎn)子具有較強(qiáng)的抗退磁能力,同時(shí)它還有峰值轉(zhuǎn)矩大、功率密度高、恒功率運(yùn)行范圍寬等特點(diǎn);但由于其成本高、永磁體漏磁相對(duì)較大,故多用于中高速永磁同步電機(jī)。表貼式轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單,磁鏈諧波分量較少,更容易產(chǎn)生正弦波磁動(dòng)勢(shì),響應(yīng)速度快,但同時(shí)它調(diào)速范圍較小、功率密度低,抗退磁能力較差,并且沒(méi)有磁阻轉(zhuǎn)矩,所以適合用于伺服驅(qū)動(dòng)。

1.2 永磁轉(zhuǎn)子空間磁場(chǎng)分析

在研究轉(zhuǎn)子空間磁場(chǎng)分布時(shí),可以將轉(zhuǎn)子磁極上的永磁體等效成理想的矩形永磁體?，F(xiàn)有一塊尺寸為a、b、h(如圖2)的矩形永磁體沿一個(gè)方向均勻充分充磁化且達(dá)到飽和狀態(tài),此時(shí)磁體內(nèi)部磁化矢量可視為一個(gè)常矢量。根據(jù)安培分子環(huán)流假設(shè)可知,外部空間任意一點(diǎn)的磁場(chǎng)均由永磁體內(nèi)部所有的分子電流激發(fā)的磁場(chǎng)疊加形成。而由于磁體是均勻磁化,磁體內(nèi)的分子電流相互抵消,所以空間中任意一點(diǎn)的磁場(chǎng)僅由永磁體表面閉合的電流環(huán)路產(chǎn)生。

假設(shè)磁體面電流密度為J,在永磁體外部空間中的任意一點(diǎn)P(x,y,z)處,由面z0和z0+dz0構(gòu)成的薄層電流環(huán)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為dB。則總磁場(chǎng)為:

(1)

式中:Bx,By,Bz分別為薄層電流環(huán)A′B′C′D′在P點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)的x、y、z方向分量?？梢詫⒃撾娏鳝h(huán)分為4段,下面以A′B′為例。

由畢奧-薩伐爾定律得:

(2)

式中:μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率,r為從源點(diǎn)(即電流元所在位置)指向點(diǎn)P的矢徑。于是有:

(3)

dBy1=0

(4)

(5)

式中:G=(x-a)2+(y-y0)2+(z-z0)2。

(6)

式中:Ei是以ε1,ε2,ε3為自變量的函數(shù),且(i=1,2,3),于是可推導(dǎo)出4段電流疊加產(chǎn)生的磁場(chǎng):

(7)

(8)

(9)

將式(7)～式(9)代入式(1),于是空間內(nèi)任一點(diǎn)(x,y,z)的總磁場(chǎng)為:

(10)

(11)

Bz=-C[W(b-y,a-x,z)+W(x,b-y,z)+
W(b-y,x,z)+W(x,y,z)+W(a-x,y,z)+
W(y,x,z)+W(y,a-x,z)+W(a-x,b-y,z)]

(12)

式中:輔助函數(shù)Θ、W的表達(dá)式分別為:

(13)

(14)

2 偏心修正模型

實(shí)際檢測(cè)中主要對(duì)轉(zhuǎn)子徑向磁場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量,而由上述分析可知,飽和充磁的矩形永磁體磁場(chǎng)是有關(guān)空間位置、磁體尺寸、面磁化電流密度的函數(shù),并與面磁化電流密度呈線(xiàn)性相關(guān)。通過(guò)坐標(biāo)變換及磁場(chǎng)疊加可以得出,多塊永磁體的磁場(chǎng)分布具有類(lèi)似的規(guī)律。現(xiàn)假設(shè)有一個(gè)永磁體,已知其在位置(x0,y0,z0)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0,在位置(x0,y0,z1)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1;另一個(gè)具有相同尺寸結(jié)構(gòu)的永磁體在位置(x0,y0,z1)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2,則其在位置(x0,y0,z0)的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)為B3:

(15)

永磁轉(zhuǎn)子中各個(gè)磁極的永磁體具有相同的尺寸參數(shù),基于此可以設(shè)計(jì)出如圖3、圖4用于檢測(cè)偏心識(shí)別及修正的方法?？傮w可分為兩個(gè)大步驟,即校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)的預(yù)生成,以及實(shí)際校正過(guò)程中校準(zhǔn)系數(shù)的計(jì)算。

2.1 基于三次樣條的雙向插值

在進(jìn)行校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)生成時(shí),為準(zhǔn)確反映永磁轉(zhuǎn)子任意位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度信息,需要對(duì)實(shí)驗(yàn)采樣得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。插值法不僅可以填充現(xiàn)有的數(shù)據(jù),而且還可以對(duì)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理[14],很好地滿(mǎn)足了實(shí)際需求。

常見(jiàn)的插值方法有線(xiàn)性插值、最近鄰插值、三次樣條插值等。其中線(xiàn)性插值僅適合較為簡(jiǎn)單的規(guī)律,不能保證在插值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性,這就導(dǎo)致其插值得到的數(shù)據(jù)光滑性較差;最近鄰插值未考慮周?chē)c(diǎn)的影響,會(huì)產(chǎn)生明顯的鋸齒現(xiàn)象;三次樣條由于其性質(zhì):曲線(xiàn)在銜接點(diǎn)處光滑;樣條的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),因此通過(guò)樣條插值可以得到一個(gè)收斂性好、光滑性好的曲面[15],同時(shí)樣條插值還可以利用較低階的多項(xiàng)式來(lái)實(shí)現(xiàn)較小的插值誤差,這樣便避免使用高階多項(xiàng)式出現(xiàn)的“龍格現(xiàn)象”。

2.1.1 三次樣條插值函數(shù)的定義

設(shè)區(qū)間[a,b]上給定一個(gè)分割:

Δ:a=x0

S(x)為[a,b]上的函數(shù),且滿(mǎn)足下列條件:

(1)S(x),S′(x),S′′(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)S(x)在每個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1]上是三次多項(xiàng)式(i=0,1,2,…,n-1);

則稱(chēng)S(x)為關(guān)于分割Δ的一個(gè)三次樣條函數(shù)。

如果再給定函數(shù)f(x)在分割Δ的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值fi=f(xi),(i=0,1,2,…,n)且滿(mǎn)足條件:

(3)S(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n,即經(jīng)過(guò)所給的每個(gè)節(jié)點(diǎn)。

那么就稱(chēng)S(x)為函數(shù)f(x)在[a,b]上關(guān)于分割Δ的三次樣條插值函數(shù)。

2.1.2 三次樣條曲線(xiàn)的構(gòu)造與求解

關(guān)于樣條插值函數(shù)的求解學(xué)者們已做大量研究[16],這里只做簡(jiǎn)單介紹,不進(jìn)行具體推導(dǎo)。本文考慮使用三彎矩法對(duì)三次樣條插值函數(shù)進(jìn)行求解[17]。S(x)在子區(qū)間[xi,xi+1]上是三次多項(xiàng)式,可令:

Mi=S′′(xi),Mi+1=S′′(xi),hi=xx+1-xi

于是有:

(16)

(17)

(18)

利用樣條插值函數(shù)的性質(zhì)(3)及其一階導(dǎo)連續(xù)可得下列方程:

μiMi-1+2Mi+λiMi+1=Ti

(19)

(20)

式中:

。

通過(guò)求解上述方程組,可以求得Mi(i=0,1,2,…,n),代入S(x)即可以求得每個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,2,…,n-1)上的三次樣條插值函數(shù)。

2.2 磁場(chǎng)曲面雙向插值

如圖3所示流程,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)永磁轉(zhuǎn)子的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)生成。首先,繪制標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)子的磁場(chǎng)曲線(xiàn),如圖5所示。磁場(chǎng)曲線(xiàn)具有標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)稱(chēng)性,因此只需將其中半個(gè)磁極的數(shù)據(jù)作為采集點(diǎn),本次設(shè)定的采集點(diǎn)間距為0.5°。

對(duì)于每個(gè)采集點(diǎn),收集其磁感應(yīng)強(qiáng)度-距離信息。在實(shí)際表磁檢測(cè)中,一般設(shè)定探頭的檢測(cè)距離為1～1.5 mm左右,而由偏心產(chǎn)生的誤差在±0.5 mm以?xún)?nèi),因此本次磁感應(yīng)強(qiáng)度-距離表格中距離的設(shè)定范圍為0.5～2 mm,采集間隔為0.05 mm。圖6為其中一個(gè)采集點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度-距離曲線(xiàn)。

圓周方向編碼器分辨率為36 000脈沖,徑向方向激光位移傳感的精度為0.01 mm,基于此進(jìn)行雙向三次樣條插值。首先對(duì)圓周方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行插值,得到在檢測(cè)距離確定時(shí)轉(zhuǎn)子在任意位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度,圖7a為圓周方向插值前后磁感應(yīng)強(qiáng)度與真實(shí)值的對(duì)比圖;然后進(jìn)行徑向插值,得到轉(zhuǎn)子上任意點(diǎn)在不同距離上的磁感應(yīng)強(qiáng)度,圖7b為徑向插值前后磁感應(yīng)強(qiáng)度與真實(shí)值的對(duì)比圖。雙向插值后的數(shù)據(jù)可合成磁感應(yīng)強(qiáng)度曲面,即數(shù)據(jù)校準(zhǔn)庫(kù)。最終磁感應(yīng)強(qiáng)度曲面效果如圖8所示。從圖7和圖8的比對(duì)中可以看出,進(jìn)行雙向三次樣條插值后,磁場(chǎng)曲面更加光滑,各個(gè)位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度的與真實(shí)值更加貼近。

3 表磁檢測(cè)偏心修正實(shí)驗(yàn)

3.1 檢測(cè)系統(tǒng)組成

表磁檢測(cè)系統(tǒng)主要由兩坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)平臺(tái),旋轉(zhuǎn)平臺(tái)、檢測(cè)單元、電控柜、HMI觸摸屏及上位機(jī)組成,如圖9所示。兩坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)采用光柵尺作為位移傳感器,精準(zhǔn)控制位移距離;旋轉(zhuǎn)平臺(tái)使用套筒治具對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行軸心定位,并在檢測(cè)中配合編碼器對(duì)轉(zhuǎn)子在不同角度的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行采集;檢測(cè)單元由高斯計(jì)(SHENZHEN MAGNET LAB的TM-10A型數(shù)字式)以及激光傳感器(PanasonicHG-C1030)構(gòu)成;HMI觸摸屏和上位機(jī)作為檢測(cè)過(guò)程中參數(shù)的人機(jī)交互界面,實(shí)時(shí)展示并計(jì)算磁場(chǎng)數(shù)據(jù),并與高斯計(jì)和PLC進(jìn)行通訊;同時(shí)工作臺(tái)上還嵌有啟動(dòng)、急停等按鈕。

3.2 偏心檢測(cè)的修正誤差

試驗(yàn)人機(jī)交互下偏心檢測(cè)修正系統(tǒng)的修正誤差,探究該方法的準(zhǔn)確性,以及在實(shí)際表磁檢測(cè)中的適用性。

選取一個(gè)待檢測(cè)的永磁轉(zhuǎn)子,隨機(jī)初始一個(gè)軸心位置偏差,設(shè)定探頭檢測(cè)距離為1.00 mm。選取并測(cè)量100個(gè)采樣點(diǎn)的磁場(chǎng)數(shù)據(jù),并根據(jù)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)計(jì)算修正系數(shù)進(jìn)行逐點(diǎn)校正。

修正誤差的計(jì)算公式可表述為式(21)和式(22):

(21)

(22)

式中:i=1,2,3,…,100,Bti表示第i個(gè)采樣點(diǎn)在當(dāng)前距離測(cè)得的磁感應(yīng)強(qiáng)度,Bmi表示該采樣點(diǎn)經(jīng)修正過(guò)后的磁感應(yīng)強(qiáng)度,Bri表示該采樣點(diǎn)在設(shè)定距離處實(shí)際測(cè)得的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

圖10為修正前后采樣點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度相對(duì)偏差的對(duì)比圖。經(jīng)過(guò)偏心修正后,采樣點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度相對(duì)偏差可控制在0.9%以?xún)?nèi)。這里仍然存在著誤差的原因有以下幾個(gè)方面:

(a) 插入式 (b) 內(nèi)置式 (c) 表貼式

圖2 矩形永磁體磁場(chǎng)解析計(jì)算示意圖

圖3 校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù)生成圖

圖4 實(shí)際表磁檢測(cè)的校準(zhǔn)

圖5 標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)數(shù)據(jù)曲線(xiàn) 圖6 磁感應(yīng)強(qiáng)度-距離曲線(xiàn)

(a) 磁感應(yīng)強(qiáng)度隨角度變化曲線(xiàn) (b) 磁感應(yīng)強(qiáng)度隨距離變化曲線(xiàn)

(a) 散點(diǎn)圖 (b) 插值前的磁場(chǎng)曲面

圖9 表磁檢測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

圖10 相對(duì)誤差對(duì)比圖

(1)硬件方面,檢測(cè)探頭即高斯計(jì)與激光位移傳感器本身存在著最小分辨率;

(2)真實(shí)轉(zhuǎn)子的磁場(chǎng)分布與理論分析會(huì)有些許出入,比如轉(zhuǎn)子充磁未完全充分均勻、外界干擾等。

實(shí)驗(yàn)表明,該修正方法針對(duì)現(xiàn)有的偏心現(xiàn)象有明顯的效果,0.9%的相對(duì)誤差已完全滿(mǎn)足了對(duì)永磁轉(zhuǎn)子表面磁場(chǎng)的檢測(cè)要求。

4 結(jié)論

本文針對(duì)在使用高斯計(jì)直接對(duì)永磁轉(zhuǎn)子表面磁場(chǎng)分布進(jìn)行測(cè)量時(shí)出現(xiàn)的偏心問(wèn)題,基于分子環(huán)流模型,利用畢奧-薩伐爾定理分析了轉(zhuǎn)子磁極的空間磁場(chǎng)分布,開(kāi)發(fā)了一種用于表磁偏心修正的系統(tǒng)。該系統(tǒng)首先通過(guò)對(duì)采樣點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度收集,建立校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫(kù);并對(duì)離散采樣點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行基于三次樣條函數(shù)的雙向插值,對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行擴(kuò)充;然后在實(shí)際檢測(cè)中通過(guò)計(jì)算各測(cè)量點(diǎn)的修正系數(shù)對(duì)其進(jìn)行逐點(diǎn)修正。

最終得出以下結(jié)論:①使用分子環(huán)流模型分析永磁轉(zhuǎn)子空間磁場(chǎng)分布具有較強(qiáng)的適用性;并根據(jù)推得的磁場(chǎng)表達(dá)式可知,磁體的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度與采樣點(diǎn)的距離及位置相關(guān),且與面磁化電流密度呈線(xiàn)性相關(guān);②三次樣條雙向插值在原有數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充,可使得到的磁場(chǎng)分布曲面更加光滑并與實(shí)際值更加貼近;③經(jīng)該系統(tǒng)修正后的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)與真實(shí)值的相對(duì)誤差可控制在0.9%以?xún)?nèi),該修正系統(tǒng)是可行的且精準(zhǔn)度較高。