林芳锃

(大田縣第二實驗小學(xué)，福建 大田 366100)

教材通過“化圓為方”的方法(即將圓分成若干等份，拼成一個近似長方形，觀察發(fā)現(xiàn)長方形長、寬與圓的關(guān)系，用圓各部分量代換長方形各部分量，運用關(guān)系推理發(fā)現(xiàn)并總結(jié)圓面積計算的方法)[1]。用關(guān)系推理經(jīng)歷等量代換的過程，是代數(shù)思維，而缺少經(jīng)歷度量的思維過程，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識、推理意識，但缺少對于面積度量一致性的建構(gòu)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)課程的整體性與一致性，指出：圖形的測量重點是確定圖形的大小，感悟數(shù)學(xué)度量方法，逐步形成量感和推理意識[2]。那么，如何在“圓的面積”教學(xué)中讓學(xué)生親歷“度量”過程，建構(gòu)面積一致性教學(xué)。

一、化圓為方，明晰定義轉(zhuǎn)換過程

面積度量的本質(zhì)是對圖形的大小根據(jù)度量法則賦予一個非負(fù)數(shù)[4]，是約定一個邊長為單位長的正方形作為面積單位，以面積單位去度量，所得的量數(shù)就是這個圖形的面積[5]。長方形是通過長與寬相乘求積來確定面積單位個數(shù)，圓是曲線圖形，用單位正方形直接度量難以得到合理的結(jié)果。將圓轉(zhuǎn)化為近似的長方形，根據(jù)半徑r的長度度量每行面積單位個數(shù)及行數(shù)(以1cm2的小正方形為面積單位度量，πr是近似長方形的長，即每行有πr個1cm2，r是寬，有r行，s=πr.r是“每行面積單位個數(shù)×行數(shù)=面積單位個數(shù)”)(圖1)，圓的面積計算公式(s=πr·r)與長方形面積計算公式一致，是單位正方形度量的過程及結(jié)果的表達(dá)?？梢姡盎瘓A為方”的本質(zhì)是基于面積度量的需要。

圖1

(一)直觀中度量，初步感知

1.出示長5cm，寬2cm的長方形，提出問題：這個長方形的面積是多少？

預(yù)設(shè)學(xué)生回答：長方形的面積=長×寬，5×2=10cm2。

引導(dǎo)學(xué)生說理：長×寬為什么可以計算長方形的面積？這里的5和2分別表示什么？

根據(jù)知識經(jīng)驗，預(yù)設(shè)學(xué)生回答：用1cm2的正方形度量，每行5個1cm2，有2行，5×2=10個1cm2，是10cm2。歸納概括：用長×寬計算長方形的面積，是每行面積單位個數(shù)×行數(shù)=面積單位個數(shù)。

2.出示半徑為2cm的圓形，提出思考：怎樣計算圓的面積？

學(xué)生思考后回答：用1cm2的正方形度量出每行有幾個面積單位，有幾行，用每行面積單位個數(shù)×行數(shù)。

3.組織學(xué)生小組合作完成圓的面積度量工作并匯報。

預(yù)設(shè)學(xué)生的方法：

(1)根據(jù)半徑長度推算直徑，根據(jù)直徑長度度量出每行面積單位個數(shù)及行數(shù)；

(3)畫圓的外接正方形，或畫從圓心出發(fā)，面積為r2的正方形，度量出每行面積單位個數(shù)及行數(shù)。

提出思考：幾種度量的方法有什么共同點？

組織學(xué)生交流并歸納概括：都是用每行面積單位個數(shù)×行數(shù)=面積單位個數(shù)；用單位正方形直接度量圓的面積，誤差較大。

(二)操作中轉(zhuǎn)化，親歷過程

1.提出問題：能否將圓轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的圖形，再度量出每行面積單位個數(shù)及行數(shù)？

2.組織學(xué)生動手操作，將圓形紙對折兩次剪開，把4等分圖片拼成新的圖形，學(xué)生匯報自己的拼圖，教師課件呈現(xiàn)。

組織學(xué)生觀察拼成的圖形，學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)所拼的圖形不是之前學(xué)過的平面圖形。

3.引導(dǎo)學(xué)生將4等分圖片再次對折剪開，把8等份圖片拼成新的圖形，學(xué)生匯報自己的拼圖，教師課件呈現(xiàn)。

組織學(xué)生再次觀察自己拼成的圖形，學(xué)生觀察后可能發(fā)現(xiàn)：所拼的圖形有點像平行四邊形或長方形。

4.課件動態(tài)演示將圓16等分，再拼圖，組織學(xué)生再次觀察(圖1)，學(xué)生觀察后指出：拼成了一個近似長方形。提出猜想：分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長方形。

結(jié)合圖1，組織學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：圓的面積=近似長方形的面積，寬近似于圓的半徑r，長近似于圓周長的一半。學(xué)生進(jìn)行關(guān)系推理：因為長方形的面積s=ab，所以圓的面積s=πr.r=πr2。

5.提出思考：這里的πr和r分別表示什么？

結(jié)合長方形面積度量經(jīng)驗，學(xué)生回答：πr是近似長方形的長，即每行有πr個面積單位，r是寬，有r行，s=πr·r是每行面積單位個數(shù)×行數(shù)=面積單位個數(shù)。

借助長方形面積度量經(jīng)驗，順延其度量方法，根據(jù)直徑、半徑長度度量圓的面積單位個數(shù)，學(xué)生在直觀的圖形中觀察、操作、感知，初步感知圓的面積度量與直線圖形面積度量之間的聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)直覺，使之“知識見知”；在初步度量得不到準(zhǔn)確結(jié)果時，引導(dǎo)將圓轉(zhuǎn)化為近似長方形，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識；用關(guān)系推理發(fā)現(xiàn)并總結(jié)圓面積計算的方法滲透了等量代換思想，發(fā)展了學(xué)生的推理意識，形成有條理、有邏輯的思維品質(zhì)；基于直線圖形的度量經(jīng)驗，從每行面積單位個數(shù)及行數(shù)推理s=πr·r，認(rèn)識到轉(zhuǎn)化是基于度量的需要，圓形的面積計算公式s=πr·r也是基于單位正方形個數(shù)的度量，體會平面圖形面積度量的一致性，形成新的知識生長點。學(xué)生結(jié)合圖形想象、推理，形成空間觀念，在質(zhì)疑思辨、推演說理等活動中獨立思考、堅持己見，形成科學(xué)的認(rèn)知觀。

二、由方轉(zhuǎn)圓，逆向推理概念本質(zhì)

s=πr·r與s=πr2之間具有概念本質(zhì)上的一致性。s=πr2是以從圓心出發(fā)，面積是r2的正方形為面積單位測量近似長方形的面積，每行有π個r2，有這樣的一行(或圓的面積有π個r2)，是每行面積單位個數(shù)×行數(shù)=面積單位個數(shù)(圖2)。教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷兩個過程，一是用單位正方形(1cm2、1dm2、1m2)度量近似長方形的面積，建構(gòu)知識模型；二是用面積為r2的正方形度量近似長方形面積，推理圓的面積是π個r2，感悟s=πr·r與s=πr2二者的一致性，體會兩個不同公式背后相同的度量本質(zhì)。

圖2

1.用1cm2的單位正方形度量

組織學(xué)生用1cm2的單位正方形度量半徑為2cm的圓，提出思考：用1cm2的小正方形量這個圓的面積，每行擺幾個，可以擺幾行？

學(xué)生觀察后回答：πr是近似長方形的長，即每行有πr個1cm2(大約6.28個)，r是寬，有r行(2行)，s=πr·r=6.28×2=12.56(cm2)

2.用面積r2的正方形度量

(1)出示圖2，組織學(xué)生用面積r2的正方形度量近似長方形的面積，提出思考：這個小正方形的面積是多少？

學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)：正方形的邊長是圓的半徑r，面積是r2，即r2=22=4cm2。

提出問題：用4cm2的小正方形量這個圓的面積，每行擺幾個，可以擺幾行？

學(xué)生結(jié)合圖2直觀發(fā)現(xiàn)：每行大約擺了3個，擺一行，s=3×4=12(cm2)，面積大約是12cm2。

組織學(xué)生思辨：結(jié)合兩次計算的結(jié)果，說一說你有什么發(fā)現(xiàn)？

(2)組織學(xué)生觀察近似長方形的長、寬與面積r2的正方形的關(guān)系，根據(jù)長近似于πr，寬近似于r，觀察推理：每行有π個r2(即π個4cm2)，只擺一行，s=π個r2=π×4=12.56(cm2)。歸納概括：用面積r2的正方形度量近似長方形的面積是π個r2，圓的面積是π個r2(即s=πr2)。

(3)對比s=πr·r與s=πr2，提出思考：有什么異同點？

根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，預(yù)設(shè)學(xué)生的回答：πr·r是用面積為1cm2、1dm2、1m2的單位正方形度量圓的面積，πr是每行面積單位個數(shù)，r是行數(shù)，s=πr·r是每行面積單位個數(shù)×行數(shù)=面積單位的個數(shù)；πr2是用面積為r2的正方形度量圓的面積，每行有π個r2，只擺一行，s=πr2也是每行面積單位個數(shù)×行數(shù)=面積單位的個數(shù)，區(qū)別在于選擇的面積單位的大小不同。

從s=πr·r=πr2到s=πr·r與s=πr2的思考，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從計算推理到面積度量的轉(zhuǎn)化。借助1cm2單位正方形度量圓的面積，直觀認(rèn)識每行面積單位個數(shù)及行數(shù)，推理s=πr·r，認(rèn)識s=πr·r是基于單位正方形個數(shù)的度量，建構(gòu)知識模型；結(jié)合近似長方形度量經(jīng)驗?zāi)嫦蛲评韴A的面積計算公式，思考以面積是r2的正方形為單位度量圓的面積，是π個r2，πr·r到πr2不是簡單的計算推理，而是基于面積度量的需要，是圓面積度量的過程及結(jié)果的表達(dá)。學(xué)生在兩種度量方法中感受用面積單位正方形度量平面圖形面積的重要性，體會面積的度量意義。

三、基于一致性認(rèn)識，內(nèi)化升華概念理解

解決面積問題要以“度量”為突破口，要用“度量”貫穿教學(xué)始終?；凇岸攘俊痹O(shè)計圓的面積問題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形想象、推理，認(rèn)識圓的兩種不同度量方法(已知半徑r或r2求圓的面積)在解決實際問題中的普遍應(yīng)用，有利于鞏固知識模型，內(nèi)化知識，發(fā)展空間觀念、推理意識、幾何直觀意識。

1.基礎(chǔ)練習(xí)

出示圖3，組織學(xué)生計算圓的面積并說理。

圖3

有了前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生輕松回答：(1)第一個圓用1cm2的正方形為單位度量，一行擺2π個1cm2，擺2行，s=πr×r=π×2×2=4π(cm2)；(2)第二個圓是以面積為r2的正方形為單位度量，s=π個r2=π×10=10π(cm2)

2.拓展提升

(1)出示圖4，組織學(xué)生觀察思考：如何求圓的面積？

圖4

學(xué)生思考后交流反饋：將10cm2的三角形沿高(即半徑)剪開、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化成正方形，觀察發(fā)現(xiàn)：這是面積為r2的正方形(即r2=10cm2)。根據(jù)面積度量的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：s=π個r2=π×10=10π(cm2)。

(2)出示圖5，組織學(xué)生思考：如何求圓的面積？

圖5