張效會(huì)

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)思維對(duì)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展具有重要影響。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)思維上的障礙主要體現(xiàn)在注意、理解、記憶、表征、推理、遷移等諸多方面，它的成因不僅與心理作用機(jī)制有關(guān)，還與焦慮等非認(rèn)知因素有著密切的聯(lián)系。文章以“畫高”的思維障礙為例，具體談?wù)勅绾纹饰鲋R(shí)本質(zhì)，幫助學(xué)生突破認(rèn)知障礙，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提升。

［關(guān)鍵詞］ 思維；認(rèn)知；畫高

認(rèn)知是機(jī)體認(rèn)識(shí)并獲取知識(shí)的過(guò)程，與學(xué)習(xí)、語(yǔ)言、記憶、思維、情感等一系列心理與社會(huì)行為相關(guān)［１］。大腦皮層功能是認(rèn)知的基礎(chǔ)，任何導(dǎo)致大腦皮層功能或結(jié)構(gòu)異常的因素，都有可能導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)知偏差，從而產(chǎn)生思維障礙。

小學(xué)數(shù)學(xué)幾何中，畫高是一項(xiàng)重要內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知要求比較高。學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的認(rèn)識(shí)對(duì)后續(xù)幾何的學(xué)習(xí)有直接的影響。在實(shí)際操作中，學(xué)生常常存在一定的思維障礙，難以準(zhǔn)確、熟練地畫高。鑒于此，筆者結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)，對(duì)“畫高”教學(xué)進(jìn)行了研究，并取得了一些成效。

一、常見(jiàn)問(wèn)題分析

教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在畫高的過(guò)程中存在一定的思維障礙。比如，最常見(jiàn)的平行四邊形與梯形的高，如果底邊為水平的狀態(tài)（如圖1），學(xué)生基本能正確操作；然而一旦出現(xiàn)底邊不處于水平狀態(tài)時(shí)（如圖2），有些學(xué)生就無(wú)從下手了。更有甚者，在教師已經(jīng)教會(huì)學(xué)生怎樣畫出底邊不在水平位置圖形的高時(shí)，若將圖形旋轉(zhuǎn)一下，學(xué)生就無(wú)所適從了。

類似的現(xiàn)象在畫三角形的高時(shí)也會(huì)出現(xiàn)：有些學(xué)生在畫三角形水平邊上的高時(shí)得心應(yīng)手，但是畫其他兩條邊上的高時(shí)錯(cuò)誤百出。如圖3所示，類似錯(cuò)誤常有發(fā)生，這是學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)不理解的寫照。究竟是什么原因致使學(xué)生不能精準(zhǔn)地畫出高呢？這是一個(gè)值得思考的問(wèn)題?？v觀小學(xué)數(shù)學(xué)涉及的幾何圖形，分別有三角形、平行四邊形與梯形等。教材對(duì)每一種圖形都給出了明確的定義，并確切指出這些圖形的高。

細(xì)細(xì)品讀這些定義，發(fā)現(xiàn)這三類圖形的高的實(shí)質(zhì)是：從直線外的一點(diǎn)畫已知直線的垂線段?；谶@個(gè)理解，反觀以上圖形的高，從理論上來(lái)說(shuō)，不論圖形如何擺放，學(xué)生都應(yīng)該能順利畫出圖形的高。然而事實(shí)上，學(xué)生的實(shí)際操作效果并不理想。這是為什么呢？或許圖4能帶給人們一些啟發(fā)。

觀察圖4，人們發(fā)現(xiàn)作三角形底邊上高與過(guò)直線外一點(diǎn)作垂線段的操作方法是一樣的，學(xué)生在實(shí)際操作中覺(jué)得過(guò)一點(diǎn)畫一條直線的垂線段比較簡(jiǎn)單。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因有兩點(diǎn)：一是畫三角形的高時(shí)，受另外兩條邊的干擾，出現(xiàn)了視覺(jué)偏差與概念模糊的現(xiàn)象；二是學(xué)生沒(méi)有從本質(zhì)上掌握畫三角形的高的原理，未能將這兩個(gè)圖形融會(huì)貫通。

基于以上分析，教師要解決學(xué)生的認(rèn)知障礙，就要幫助學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)特征，避免視覺(jué)偏差與概念模糊對(duì)畫高的干擾。

二、問(wèn)題解決辦法

1. 重基礎(chǔ)，抓本質(zhì)

概念學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生受思維定式的影響，對(duì)自身原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)有較大的依賴性。例如建構(gòu)垂直的概念時(shí)，不少學(xué)生就會(huì)受認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“豎直”的干擾，形成認(rèn)識(shí)上的偏差。作各類圖形的高，其本質(zhì)就是過(guò)點(diǎn)畫直線的垂線段。教師在授課時(shí)應(yīng)有意識(shí)地給予“垂直”一定的刺激，讓學(xué)生打牢概念基礎(chǔ)，對(duì)高產(chǎn)生深刻理解與認(rèn)識(shí)。

然而，即使教師著重夯實(shí)基礎(chǔ)，不少學(xué)生在理解高的概念時(shí)，依然會(huì)受豎直概念的影響。從這個(gè)角度來(lái)看，要解決畫高的認(rèn)知障礙，關(guān)鍵還得從知識(shí)本質(zhì)著手——畫垂線段。

心理學(xué)認(rèn)為：想要抽象一個(gè)概念，需要大量廣泛熟悉的事物作為支撐才能完成。變式的應(yīng)用主要是從不同的視角，將感性材料重組，將事物的非本質(zhì)屬性特征加以變化，通過(guò)各種不同的表現(xiàn)形式，凸顯事物獨(dú)有的本質(zhì)特征，讓學(xué)生從多維度認(rèn)識(shí)并理解概念，達(dá)到靈活應(yīng)用的程度。由此可見(jiàn)，想要抓住知識(shí)的本質(zhì)，需要做好以下兩點(diǎn)：

（1）從大量廣泛熟悉的事物著手

眾所周知，垂線段的本質(zhì)與“畫垂線”有著密不可分的聯(lián)系。教師在授課時(shí)常常帶領(lǐng)學(xué)生從圖5中認(rèn)識(shí)什么是垂線段，并通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)垂線段是眾多線段中最短的一根，它所反映的是點(diǎn)到直線最短的距離。從心理學(xué)的角度分析，基于這個(gè)理解，并不能滿足學(xué)生在抽象概念時(shí)所需要的從“大量廣泛熟悉”的事物著手的觀點(diǎn)。

其實(shí)，在此環(huán)節(jié)中從學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合學(xué)生所熟悉的事物，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，往往能起到較好的教學(xué)效果：如圖6所示，若想測(cè)量這棵香樟樹(shù)到馬路的最短距離，大家準(zhǔn)備怎么測(cè)量？

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、分析與交流，初步體驗(yàn)到香樟樹(shù)與馬路為垂直關(guān)系的線段最短，且這條最短的線段只有一條。此時(shí)教師不要著急揭曉結(jié)論，可以借助這個(gè)情境，順著學(xué)生的思維繼續(xù)演練，比如添加鋪設(shè)煤氣管道、修筑排水系統(tǒng)等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象出1個(gè)點(diǎn)和1條直線間的垂線段。

這種重基礎(chǔ)、抓本質(zhì)，從大量廣泛熟悉的事物著手的教學(xué)方式，不僅能強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解，幫助學(xué)生精準(zhǔn)地繪制垂線段，還能為學(xué)生后期接觸到各類圖形的畫高問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。比如，圖6的應(yīng)用，就是為三角形、梯形與平行四邊形畫高夯實(shí)基礎(chǔ)。

（2）從各個(gè)角度組織感性材料

從以上分析來(lái)看，畫圖形的高，可以理解為過(guò)點(diǎn)畫直線的垂線段，那么引導(dǎo)學(xué)生感知、體悟垂線段則是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。若將目光僅僅停留在一點(diǎn)一線的問(wèn)題上，則學(xué)生的思維將難以打開(kāi)。因此，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)靥砑右恍┛梢詮牟煌嵌葋?lái)看待與分析的感性材料，以拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

問(wèn)題：有1塊三角形的草地，若想從一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)面的那條邊上修1條最近的路，該怎么修呢？

從這個(gè)問(wèn)題的表面來(lái)看，是練習(xí)畫垂線段的問(wèn)題，一般學(xué)生都會(huì)將目光鎖定在問(wèn)題中的“頂點(diǎn)”與三角形對(duì)面的邊上，很少有學(xué)生會(huì)受三角形其他兩條邊的干擾。解決此問(wèn)，學(xué)生基本沒(méi)有問(wèn)題。透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，本題的實(shí)質(zhì)是畫三角形的高，這個(gè)問(wèn)題情境的利用，顯然提高了學(xué)生的正確率，這為后期深化理解畫三角形的高做好了鋪墊。

2. 重體驗(yàn)，深理解

（1）注重操作體驗(yàn)，獲得深刻理解

皮亞杰提出：“空間觀念的形成與解題不一樣，若想建立空間觀念感，動(dòng)手操作必不可少?！保郏玻蓁b于此，教師應(yīng)從理念上明白，引導(dǎo)學(xué)生正確畫出各類圖形的高，不僅是解決了一個(gè)問(wèn)題，還是幫助學(xué)生建立空間感的過(guò)程。

兒童對(duì)幾何的認(rèn)識(shí)與成人有著顯著區(qū)別，成人對(duì)幾何的認(rèn)識(shí)以公理體系作為起點(diǎn)，而兒童卻以自身的經(jīng)驗(yàn)作為對(duì)幾何認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)。這就決定了在講授各類圖形的高的問(wèn)題上，教師不應(yīng)從抽象的概念、定義著手教學(xué)，應(yīng)從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)著手，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際操作中進(jìn)行構(gòu)造。

學(xué)生結(jié)合自身原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)與操作活動(dòng)進(jìn)行各類圖形高的探索，不僅可以積累豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，還能形成完整的表象，更好地理解平面圖形中高的本質(zhì)與內(nèi)涵。

比如“三角形高”的教學(xué)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下操作：將1個(gè)三角形剪成2個(gè)直角三角形；平行四邊形的高，可以引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形剪拼為最大的長(zhǎng)方形等。

在學(xué)生完成操作后，教師可引導(dǎo)學(xué)生完成類似三角形草坪等問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)畫一畫，深化對(duì)“點(diǎn)到直線（對(duì)邊）”的認(rèn)識(shí)與理解，從而對(duì)高的表象產(chǎn)生深刻印象，高的概念會(huì)在學(xué)生自主操作、觀察與體驗(yàn)中自然而然地形成。

（2）注重變式練習(xí)，強(qiáng)化經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生在畫高的過(guò)程中，因受思維定式的影響，視覺(jué)效果被鄰邊干擾而出現(xiàn)概念模糊的現(xiàn)象。想要糾正這種偏差，最好的辦法是教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，學(xué)生一旦對(duì)高的表象建立了良好的認(rèn)知，那么在之后的應(yīng)用中就能靈活變通。

比如對(duì)平行四邊形的高有了明確的認(rèn)識(shí)后，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生找一找圖形的高，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)眼睛看、尺子量與動(dòng)手?jǐn)[等方式進(jìn)一步理解平行四邊形的高。通過(guò)手腦并用，學(xué)生能深切體會(huì)高與“豎直”之間存在怎樣的區(qū)別，以擺脫思維定式的負(fù)面影響。

3. 扣根本，獲技能

奧蘇貝爾提出：“所有新知的建構(gòu)，都是在學(xué)習(xí)者原有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上而建立，新知的獲得與原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)有著密切的聯(lián)系?！币虼耍虒W(xué)時(shí)教師應(yīng)從知識(shí)的本源抓起，結(jié)合學(xué)生對(duì)“高”的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)開(kāi)展活動(dòng)。

緊扣知識(shí)本質(zhì)與學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)是突破學(xué)生思維障礙的根本，若從建構(gòu)主義學(xué)的角度與心理學(xué)的角度來(lái)看，以上所有活動(dòng)的開(kāi)展都是在探尋高的本質(zhì)，找出畫高的核心思想，為實(shí)際操作奠定基礎(chǔ)。鑒于此，教師對(duì)待畫高的問(wèn)題上，可從以下幾點(diǎn)出發(fā)：

（1）從生活中找知識(shí)原型，掌握畫高原理

畫垂線段是畫高的核心與本質(zhì)，它的生活實(shí)際價(jià)值在于用來(lái)解決最短距離的問(wèn)題。畫高方法的教學(xué)，切忌簡(jiǎn)單機(jī)械的技能訓(xùn)練與重復(fù)練習(xí)，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸生活，從學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從他們的生活實(shí)際中找出知識(shí)的原型。

比如，學(xué)生在充分認(rèn)識(shí)并體驗(yàn)了平行四邊形的高的相關(guān)知識(shí)后，教師可創(chuàng)設(shè)一定的生活情境，鼓勵(lì)學(xué)生將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形；也可以創(chuàng)設(shè)小學(xué)生感興趣的童話情境，如圖7所示：有1只蝸牛想從點(diǎn)A處爬至平行四邊形的對(duì)面，請(qǐng)為蝸牛設(shè)計(jì)1條最近的爬行路線。

面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)過(guò)思考與討論，設(shè)計(jì)出了兩種爬行方法：一種為鉛垂法，一種為斜著畫法。對(duì)于鉛垂法，教師可以提出問(wèn)題：“這么畫的理由是什么？”引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)這個(gè)問(wèn)題，逐步深入地思考這么畫的原理，讓學(xué)生在思考與分析中，自然而然地將畫高的方法與畫垂線段的方法聯(lián)系起來(lái)。對(duì)于學(xué)生的這種想法，教師應(yīng)及時(shí)給予肯定。

對(duì)于斜著畫的方法，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)畫高原理其實(shí)并沒(méi)有發(fā)生變化，也就是說(shuō)平行四邊形的高，不論朝哪個(gè)方向去畫，核心思想都是從直線外的點(diǎn)畫已知直線的垂線段。在此，教師可借助幾何畫板等工具，擦除點(diǎn)A的鄰邊，將問(wèn)題直接抽象成點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，讓學(xué)生從思想上實(shí)現(xiàn)畫高方法的融會(huì)貫通。

以上教學(xué)過(guò)程，只是進(jìn)行原理溝通的基本方法。除此之外，教師還可以要求學(xué)生直接畫平行四邊的高，并提出：“畫平行四邊形的高與之前所接觸過(guò)的什么知識(shí)比較接近？”隨著此問(wèn)的探索與解決，學(xué)生能夠抽象出畫高的原理與本質(zhì)。

（2）強(qiáng)化學(xué)生的技能訓(xùn)練，獲得操作能力

技能是指通過(guò)一定的練習(xí)，能完成一定的任務(wù)。技能學(xué)習(xí)與知識(shí)的學(xué)習(xí)相比，顯得更加復(fù)雜，程序更多，技能不僅包括對(duì)動(dòng)作認(rèn)識(shí)，還存在對(duì)動(dòng)作的實(shí)際執(zhí)行等問(wèn)題［３］。基于此，畫高作為一種作圖技能，顯然比理論知識(shí)的教學(xué)更復(fù)雜，技能訓(xùn)練一般可從以下兩方面進(jìn)行：

一方面，基于基本認(rèn)識(shí)的訓(xùn)練，就是理解與操作結(jié)合的訓(xùn)練，教師引導(dǎo)學(xué)生邊理解邊操作，邊操作邊理解。例如，要求學(xué)生用三角板畫高前，可以添加說(shuō)一說(shuō)、指一指高的位置的環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生從認(rèn)知上建立準(zhǔn)確的概念，然而后執(zhí)行操作，可有效減少失誤的發(fā)生。

另一方面，基于執(zhí)行的技能訓(xùn)練，技能屬于一種動(dòng)作，以程序化的操作為表現(xiàn)。在三角形畫高中，主要體現(xiàn)在如何擺放三角板上。當(dāng)學(xué)生對(duì)畫高的原理及方法有了明確的認(rèn)識(shí)后，一定量的練習(xí)訓(xùn)練可強(qiáng)化學(xué)生的操作技能。

總之，學(xué)生想要突破思維障礙，提高畫高能力，單純地從操作著手無(wú)法達(dá)到相應(yīng)的目的。學(xué)生只有從問(wèn)題的本質(zhì)出發(fā)，站在一定的高度，系統(tǒng)地看待并處理問(wèn)題，通過(guò)切身感知與體驗(yàn)，才能從真正意義上突破思維障礙，掌握畫高的技能，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 朱智賢，林崇德. 思維發(fā)展心理學(xué)［Ｍ］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，２００２.

［２］ 讓·皮亞杰. 結(jié)構(gòu)主義［Ｍ］. 倪連生，王琳，譯. 北京：商務(wù)印書館，１９８４.

［３］ 科斯塔，卡利克. 思維習(xí)慣［Ｍ］. 李添，趙立波，張樹(shù)東，胡曉毅，等譯.北京：中國(guó)輕工業(yè)出版社，２００６.