濾波器階數(shù)對(duì)導(dǎo)航接收機(jī)時(shí)域抗干擾的影響分析*

孫廣富,宋 捷,魯祖坤,李柏渝,肖志斌,郭海玉

(國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

時(shí)域抗干擾是衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)的常用抗干擾技術(shù),其利用信號(hào)與干擾在頻譜上存在的差異特點(diǎn),設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器在時(shí)域?yàn)V除干擾信號(hào),是窄帶干擾的主要抑制技術(shù)之一[1]。由于在實(shí)際應(yīng)用中常常面臨速度、規(guī)模、功耗等硬件問(wèn)題,高抗干擾需求對(duì)抗干擾濾波器性能提出了更高要求[2]。因此,基于時(shí)域自適應(yīng)抗干擾濾波器的復(fù)雜度研究是導(dǎo)航接收機(jī)應(yīng)用的重要課題。在導(dǎo)航接收機(jī)時(shí)域抗干擾中應(yīng)用的自適應(yīng)算法,如最小均方(least mean square,LMS)算法、遞歸最小二乘(recursive least squares, RLS)算法、Levinson-Durbin算法以及Burg算法等,都在抗窄帶干擾中取得了良好的效果[3-4]。該四種算法都采用最小均方誤差 (minimum mean square error, MMSE) 準(zhǔn)則來(lái)設(shè)計(jì)濾波器,LMS算法和RLS算法更為常見(jiàn)[5-8]。其中,LMS算法由于其算法簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、易收斂等優(yōu)點(diǎn),常應(yīng)用于實(shí)際工程應(yīng)用中[9]。

自適應(yīng)濾波器長(zhǎng)度對(duì)LMS算法的影響涉及計(jì)算復(fù)雜度、收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差,但是目前關(guān)于自適應(yīng)算法基于濾波器長(zhǎng)度對(duì)濾波性能影響的研究?jī)H局限于定性分析[10]。早期研究中濾波器長(zhǎng)度僅作為影響收斂速度等指標(biāo)的一個(gè)因素參與談?wù)?過(guò)短自適應(yīng)濾波器的性能發(fā)散得到了證明,控制濾波器長(zhǎng)度也被反復(fù)討論,并出現(xiàn)了幾種動(dòng)態(tài)控制濾波器長(zhǎng)度的算法[11-13]。但是,相關(guān)的階數(shù)研究基本從收斂時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差等算法性能出發(fā),實(shí)用于導(dǎo)航接收機(jī)抗干擾性能研究的自適應(yīng)濾波器階數(shù)分析和控制算法并不完善。

當(dāng)前導(dǎo)航接收機(jī)中時(shí)域自適應(yīng)抗干擾濾波器的階數(shù)選取嚴(yán)重依賴(lài)工程經(jīng)驗(yàn)而影響分析不足,通常在工程中將濾波器階數(shù)設(shè)置為一個(gè)較大值以滿(mǎn)足抗干擾需求,但會(huì)大大增加硬件復(fù)雜度。本文針對(duì)實(shí)用于導(dǎo)航接收機(jī)的濾波器階數(shù)分析不足的問(wèn)題,開(kāi)展了時(shí)域自適應(yīng)濾波器階數(shù)對(duì)抗干擾性能的影響研究:首先建立導(dǎo)航接收機(jī)數(shù)字中頻信號(hào)抗干擾模塊的數(shù)學(xué)模型,在時(shí)域分別采用自適應(yīng)LMS算法對(duì)干擾信號(hào)進(jìn)行抑制;然后針對(duì)不同干擾環(huán)境分析濾波器階數(shù)對(duì)抗干擾性能的影響;通過(guò)軟件接收機(jī)和實(shí)物平臺(tái)對(duì)各類(lèi)時(shí)域自適應(yīng)抗干擾算法進(jìn)行仿真和實(shí)測(cè),驗(yàn)證理論推導(dǎo)和分析的準(zhǔn)確性;最后簡(jiǎn)易提出一種基于抗干擾需求的最優(yōu)階數(shù)設(shè)計(jì)方法。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 時(shí)域自適應(yīng)抗干擾數(shù)學(xué)模型

如圖1所示,抗干擾型導(dǎo)航接收機(jī)的基帶數(shù)字信號(hào)處理器包含區(qū)別于其他類(lèi)型導(dǎo)航接收機(jī)的抗干擾模塊。其接收來(lái)自數(shù)字下變頻的數(shù)字信號(hào),用于完成窄帶干擾等常規(guī)干擾信號(hào)抑制[14]。

圖1 導(dǎo)航接收機(jī)信號(hào)處理器Fig.1 Navigation receiver signal processor

假設(shè)導(dǎo)航信號(hào)經(jīng)數(shù)字下變頻后的信號(hào)、干擾和噪聲互不相關(guān),分別為s(n)、j(n)和nnoise(n),抗干擾前信號(hào)為:

x(n)=s(n)+j(n)+nnoise(n)

(1)

無(wú)干擾條件下的載噪比為:

(2)

即為導(dǎo)航信號(hào)抗干擾后的理想載噪比。式中,Ss(f)和Sn(f)分別為導(dǎo)航中頻信號(hào)與噪聲的功率譜密度,Bn為噪聲帶寬。

導(dǎo)航接收機(jī)的時(shí)域抗干擾技術(shù)是通過(guò)自適應(yīng)濾波器在時(shí)域上對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波,來(lái)達(dá)到抑制干擾的目的[14]。假設(shè)M階濾波器的抽頭輸入量為:

xn=[x(n),x(n-1),…,x(n-M+1)]T

(3)

濾波權(quán)向量為:

WM=[w0,w1,…,wM]

(4)

則時(shí)域?yàn)V波器抗干擾后的輸出為:

(5)

自適應(yīng)濾波器最常用最小均方算法,其利用梯度最陡下降使誤差信號(hào)均方值達(dá)到最小,具有計(jì)算量小、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的特性[15]。如圖2所示,抗干擾濾波器的輸出信號(hào)y(n)與期望信號(hào)d(n)之間存在誤差信號(hào)e(n):

圖2 時(shí)域自適應(yīng)濾波器Fig.2 Time-domain adaptive filter

(6)

基于LMS自適應(yīng)算法的抗干擾濾波器根據(jù)誤差信號(hào)調(diào)整WM,均方誤差的梯度向量為:

(7)

設(shè)置WM的初始值為WM,0,通過(guò)迭代使濾波權(quán)向量以步進(jìn)μ沿負(fù)梯度方向變化:

(8)

式中,l為自適應(yīng)迭代次數(shù)。

將式(7)代入式(8)得:

(9)

在實(shí)際應(yīng)用中通常使用瞬時(shí)均方誤差代替均方誤差,最終得到LMS算法的遞推公式為:

(10)

自適應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)為:

H(f)=D(WM)

(11)

式中,D(·)表示離散時(shí)間傅里葉變換。

載噪比是抗干擾型衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)的重要技術(shù)指標(biāo),抗干擾后載噪比估計(jì)值體現(xiàn)了抗干擾濾波器對(duì)干擾信號(hào)的抑制能力和對(duì)導(dǎo)航信號(hào)的完好保存能力,是對(duì)濾波器抗干擾性能的量化評(píng)估指標(biāo)[16-17]?？垢蓴_后載噪比估計(jì)值為:

(12)

式中,Sy(f)是導(dǎo)航接收機(jī)抗干擾后信號(hào)的功率譜密度。

1.2 改進(jìn)型LMS算法

LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差與步長(zhǎng)成正比,而收斂速度與步長(zhǎng)成反比,變步長(zhǎng)LMS算法是改進(jìn)型LMS算法的一個(gè)重要研究分支,通過(guò)在初始收斂階段選取較大步長(zhǎng),在算法接近收斂時(shí)選取較小步長(zhǎng),可以解決這兩個(gè)性能指標(biāo)之間的權(quán)衡,改善穩(wěn)態(tài)誤差和不同階數(shù)濾波器下的收斂性[18]。改進(jìn)型LMS算法的研究包括變步長(zhǎng)LMS算法、變階數(shù)LMS算法、部分更新LMS算法和稀疏LMS算法等主要方向,并衍生出許多改進(jìn)的方法,其中變步長(zhǎng)LMS算法是最主要的算法改進(jìn)方向[19-20]。

歸一化最小均方 (normalized least mean square,NLMS) 算法通過(guò)對(duì)抽頭向量進(jìn)行歐式范數(shù)平方的歸一化,實(shí)現(xiàn)了步長(zhǎng)隨時(shí)間變化:

(13)

歸一化變步長(zhǎng)最小均方 (normalized variable step size least mean square,NVLMS)算法在LMS算法和NLMS算法的基礎(chǔ)上對(duì)時(shí)變步長(zhǎng)進(jìn)行了改進(jìn):

(14)

還有其他不同的改進(jìn)型變步長(zhǎng)LMS算法,例如文獻(xiàn)[21]提出的新變步長(zhǎng)LMS算法中:

μ(l)=β(1-e-α|e(n)|2)

(15)

式中,μ0、α和β都是影響算法收斂性的可調(diào)參數(shù)。

2 基于復(fù)雜度的抗干擾性能分析

2.1 濾波器階數(shù)對(duì)抗干擾性能的影響

基于LMS算法的抗干擾濾波器代價(jià)函數(shù)為:

ζM(W)=E{e2(n)}

(16)

其表征為抗干擾后信號(hào)與預(yù)期導(dǎo)航信號(hào)的最小均方誤差。當(dāng)代價(jià)函數(shù)越小時(shí),抗干擾模塊對(duì)于導(dǎo)航信號(hào)的保存完好性越強(qiáng),而對(duì)除導(dǎo)航信號(hào)以外的干擾的濾除效果越好,即代價(jià)函數(shù)是評(píng)價(jià)LMS算法抗干擾效果的根本指標(biāo)[22]。

LMS算法采用的最優(yōu)準(zhǔn)則為MMSE準(zhǔn)則,其收斂后的最優(yōu)權(quán)向量趨近于經(jīng)典的Wiener-Hopf方程的解[23]:

(17)

得到抗干擾濾波器最優(yōu)時(shí)的維納濾波器最小代價(jià)函數(shù):

(18)

當(dāng)LMS算法可收斂且自適應(yīng)循環(huán)次數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí),抗干擾濾波器的解接近于維納解Wopt,但是與維納解之間存在額外均方誤差(excess mean square error, EMSE),因此LMS算法具有次優(yōu)性[24]?？垢蓴_算法收斂后的均方誤差可以表示為最小均方誤差和額外均方誤差之和:

ξM=minζM+ζex(∞)

(19)

將minζM和ζex(∞)的比值定義為失調(diào),表征抗干擾后的穩(wěn)態(tài)誤差與維納解的差別:

(20)

經(jīng)典LMS算法中,失調(diào)量ΜM已由Widrow推導(dǎo)出:

(21)

其中,算法收斂需滿(mǎn)足的條件為:

(22)

式中,tr(Rx)為輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的跡,即為輸入信號(hào)的總功率,可用集平均特征值λav表征:

(23)

(24)

式中,r(0)為Rx主對(duì)角線元素,τav為算法收斂的平均時(shí)間常數(shù)。

失調(diào)與濾波器階數(shù)以及收斂速度之間的關(guān)系可以表示為:

(25)

由式(24)和式(25)即可得到抗干擾后的導(dǎo)航信號(hào)均方誤差:

(26)

最小均方誤差minζM是關(guān)于濾波器階數(shù)的單調(diào)非遞增函數(shù),因此隨著濾波器階數(shù)增加,抗干擾濾波器的代價(jià)函數(shù)減小,即抗干擾性能不斷提升。當(dāng)濾波器階數(shù)過(guò)小時(shí),濾波器處于欠擬合狀態(tài),導(dǎo)致LMS算法發(fā)散,會(huì)引起較大的抗干擾誤差。而當(dāng)濾波器足夠長(zhǎng)時(shí),由階數(shù)增加引起的最小均方誤差減小微乎其微,其增加了復(fù)雜度的同時(shí)還會(huì)使得穩(wěn)態(tài)誤差變大。

但由式(26)可知,均方誤差表達(dá)式中含有同比參數(shù)M,使代價(jià)函數(shù)存在以濾波器階數(shù)的二次速率下降的可能性,即產(chǎn)生自適應(yīng)噪聲。在同輸入導(dǎo)航信號(hào)和同迭代步長(zhǎng)時(shí),階數(shù)增加使得輸入信號(hào)總功率增加,生成更大穩(wěn)態(tài)誤差。

因此,時(shí)域抗干擾濾波器性能與濾波器階數(shù)呈整體遞增然后趨于平穩(wěn)的關(guān)系,并在性能增加時(shí)存在穩(wěn)態(tài)誤差和局部最優(yōu)性導(dǎo)致的數(shù)據(jù)波動(dòng)。如圖3所示,基于LMS算法的抗干擾濾波器在時(shí)間域內(nèi)對(duì)信號(hào)特征做相關(guān),在干擾信號(hào)所在頻帶形成零陷,當(dāng)濾波器階數(shù)增加時(shí),濾波器過(guò)渡帶壓縮,阻帶向干擾信號(hào)頻帶集中,因此有用信號(hào)損耗減小,且幅頻響應(yīng)的零陷加深,對(duì)干擾信號(hào)的抑制比增加,從而獲得更好的抗干擾性能;當(dāng)濾波器長(zhǎng)度繼續(xù)增加時(shí),零陷與過(guò)渡帶改善不明顯,抗干擾性能的提升效果降低。

圖3 幅頻響應(yīng)Fig.3 Amplitude frequency response

由式(22)和式(23)得到,迭代步長(zhǎng)滿(mǎn)足的收斂條件同濾波器階數(shù)呈反比,當(dāng)階數(shù)增大時(shí),迭代步長(zhǎng)滿(mǎn)足收斂的最大值降低,使得收斂條件更加嚴(yán)格:

(27)

因此,當(dāng)濾波器階數(shù)增加而步長(zhǎng)不變時(shí),算法收斂時(shí)間變長(zhǎng),當(dāng)收斂速度減緩到一定程度而無(wú)法在規(guī)定迭代次數(shù)實(shí)現(xiàn)收斂時(shí),則會(huì)影響抗干擾性能以及抗干擾是否實(shí)現(xiàn)。如圖4所示,對(duì)于規(guī)定的步長(zhǎng)值,抗干擾濾波器在階數(shù)為8時(shí)快速收斂,隨著階數(shù)增加,收斂時(shí)間變長(zhǎng),當(dāng)濾波器階數(shù)為48時(shí),濾波器權(quán)值在迭代結(jié)束時(shí)仍在繼續(xù)收斂,可見(jiàn)其抗干擾性能明顯變差;當(dāng)步長(zhǎng)增加時(shí),同長(zhǎng)度抗干擾濾波器的穩(wěn)態(tài)噪聲變大,收斂條件更為嚴(yán)格,導(dǎo)致抗干擾性能下降;當(dāng)步長(zhǎng)增加到20×10-6時(shí),抗干擾濾波器在48階時(shí)發(fā)散。

(a) μ=5×10-6

(b) μ=17×10-6

(c) μ=20×10-6圖4 濾波器階數(shù)與步長(zhǎng)的相互影響Fig.4 Interaction between filter order and step size

2.2 濾波器階數(shù)面向不同干擾的影響差異分析

導(dǎo)航信號(hào)的擴(kuò)頻特性導(dǎo)致抗窄帶干擾表現(xiàn)為帶阻濾波器,當(dāng)濾波器階數(shù)相同時(shí),LMS算法抗干擾性能面向不同功率、不同帶寬干擾表現(xiàn)出不同的阻帶衰減特征[25]。

p(j)=E{x(n)s*(n-j)}

(28)

r(i)=E{x(n)x*(n-i)}

(29)

則最小代價(jià)函數(shù)可以表示為:

minζ(W)=E{s2(n)}-

(30)

由于信號(hào)、干擾和噪聲互不相關(guān),p(·)即為期望信號(hào)的自相關(guān)函數(shù):

p(j)=E{s(n)s*(n-j)}

(31)

因此,rxd在導(dǎo)航信號(hào)不變的前提下不受干擾信號(hào)參數(shù)影響,最小代價(jià)函數(shù)受干擾影響的可調(diào)項(xiàng)僅為Rx[26]。

干擾信號(hào)功率峰值與噪底的差值用干信比JSR表示,信號(hào)與噪聲功率的差值用信噪比SNR表示,窄帶干擾信號(hào)的干擾相對(duì)帶寬為η,當(dāng)干擾相對(duì)帶寬小于20%時(shí),干擾信號(hào)為窄帶信號(hào)[27]。

自相關(guān)矩陣的對(duì)角線元素可以表示為:

(32)

當(dāng)干擾信號(hào)功率或帶寬增加時(shí),r(0)增大,自相關(guān)矩陣的其他矩陣元素也有同樣的變化趨勢(shì),則最小代價(jià)函數(shù)增大,即抗干擾性能降低[28]。

干擾信號(hào)功率越高,同長(zhǎng)度濾波器的抗干擾效果越差,且有限長(zhǎng)濾波器能達(dá)到的抗干擾極限性能越低。圖5是不同干信比條件下同長(zhǎng)濾波器抗干擾前后的頻譜圖和幅頻響應(yīng):當(dāng)干擾功率增大時(shí),抗干擾后的零陷深度基本一致,但濾波器頻率響應(yīng)的過(guò)渡帶明顯拉寬,導(dǎo)航信號(hào)損耗增多導(dǎo)致抗干擾性能下降。

(a) JSR=40 dB

(b) JSR=50 dB

(c) 幅頻響應(yīng)對(duì)比(c) Comparison of amplitude-frequency response圖5 干信比對(duì)同長(zhǎng)濾波器性能的影響Fig.5 Influence of JSR on the anti-jamming performance of the filter with same length

干擾信號(hào)的相對(duì)帶寬越大,干擾信號(hào)逐漸喪失窄帶特征而向?qū)拵Ц蓴_過(guò)渡,導(dǎo)航信號(hào)損耗導(dǎo)致的抗干擾效果降低程度逐漸超出抗干擾實(shí)際需求,因此自適應(yīng)濾波器的抗干擾效果越差,且抗干擾極限性能降低。圖6是干擾相對(duì)帶寬分別為5%和10%下的抗干擾前后頻譜圖和幅頻響應(yīng):干擾相對(duì)帶寬增加對(duì)自適應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)過(guò)渡帶和零陷不造成明顯影響,但是由于在干擾頻帶范圍內(nèi)的導(dǎo)航信號(hào)和加性噪聲被損耗,實(shí)際抗干擾效果明顯變差,且抗干擾極限性能降低。

(a) η=5%

(b) η=10%

(c) 幅頻響應(yīng)對(duì)比(c) Comparison of amplitude-frequency response圖6 干擾相對(duì)帶寬對(duì)同長(zhǎng)濾波器性能的影響Fig.6 Influence of interference bandwidth on the anti-jamming performance of the filter with same length

3 抗干擾性能驗(yàn)證

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1.1 經(jīng)典LMS算法

當(dāng)原始信號(hào)載噪比為45 dB-Hz時(shí),首先分析維納濾波器的抗干擾性能,設(shè)定干信比為50 dB。如圖7所示:維納濾波器的抗干擾性能隨階數(shù)變化呈整體遞增趨勢(shì),隨著濾波器階數(shù)持續(xù)增加,載噪比提升空間受干擾限制,抗干擾性能趨于穩(wěn)定,不再有明顯改善;由于不同階數(shù)濾波器的維納解之間相互獨(dú)立,其濾波權(quán)向量之間不存在必然聯(lián)系,因此存在數(shù)據(jù)波動(dòng)。

圖7 維納濾波器抗干擾性能Fig.7 Interference suppression performance of Wiener filter

LMS自適應(yīng)濾波器的收斂程度和抗干擾性能受濾波器階數(shù)、迭代次數(shù)和收斂步長(zhǎng)等因素影響,最優(yōu)權(quán)向量難以徹底收斂到維納解,因此其抗干擾性能與濾波器長(zhǎng)度并不是單調(diào)遞增關(guān)系,而是趨向圖7中所示的關(guān)系,且抗干擾性能低于維納解。如圖8所示:基于經(jīng)典LMS算法的抗干擾性能隨濾波器階數(shù)的變化趨勢(shì)整體遞增,但存在一定的數(shù)據(jù)波動(dòng);當(dāng)干擾相對(duì)帶寬和干信比增大時(shí),抗干擾需求增大且干擾帶來(lái)的不確定性增加,導(dǎo)致數(shù)據(jù)波動(dòng)也隨之增大。

(a) 不同干擾帶寬 (JSR=50 dB)(a) Different bandwidth (JSR=50 dB)

(b) 不同干信比(η=5%)(b) Different JSR(η=5%)圖8 濾波器階數(shù)對(duì)抗干擾性能的影響Fig.8 Influence of filter order on the interference suppression performance

當(dāng)濾波器階數(shù)足夠長(zhǎng)時(shí),抗干擾性能提升空間忽略不計(jì),而相同干擾環(huán)境下不同長(zhǎng)度濾波器可獲得的最大載噪比估計(jì)值即為抗干擾極限性能。圖9為時(shí)域抗干擾在不同干擾環(huán)境中的抗干擾極限性能,無(wú)干擾載噪比為45 dB-Hz。如圖9所示,隨著干擾相對(duì)帶寬和干信比增加,導(dǎo)航信號(hào)的損耗不斷增長(zhǎng),時(shí)域抗干擾的極限性能降低;時(shí)域抗干擾只能抑制窄帶干擾,當(dāng)干擾帶寬超出導(dǎo)航信號(hào)帶寬的20%時(shí),抗干擾逐漸失效。

圖9 抗干擾極限性能Fig.9 Ultimate interference suppression performance

為驗(yàn)證自適應(yīng)算法收斂不足導(dǎo)致的數(shù)據(jù)波動(dòng)問(wèn)題,通過(guò)LMS算法不同階數(shù)濾波器的權(quán)向量補(bǔ)零迭代,分析濾波器階數(shù)對(duì)時(shí)域抗干擾的影響。此時(shí),M階濾波器的權(quán)向量初始值通過(guò)M-1階濾波器收斂后的最優(yōu)權(quán)向量補(bǔ)零獲得:

(33)

式中,濾波器階數(shù)M的初始值選取最小值2。

圖10為濾波器權(quán)向量補(bǔ)零迭代后的抗干擾性能曲線,已知干信比為50 dB。該圖表明,抗干擾性能隨濾波器階數(shù)變化曲線的數(shù)據(jù)波動(dòng)源于各階濾波器參數(shù)間的獨(dú)立推導(dǎo);當(dāng)通過(guò)濾波權(quán)向量補(bǔ)零迭代使濾波器系數(shù)與每一階濾波器相關(guān)時(shí),抗干擾性能隨濾波器階數(shù)呈單調(diào)遞增趨勢(shì),抗干擾性能出現(xiàn)迭代增加的特點(diǎn),且優(yōu)于LMS算法,但是權(quán)向量迭代使得收斂速度大大降低。

3.1.2 改進(jìn)型LMS算法

變步長(zhǎng)LMS算法的改進(jìn)重點(diǎn)是減小穩(wěn)態(tài)誤差和加快收斂速度,穩(wěn)態(tài)誤差決定了抗干擾性能而收斂速度反映信息處理速度,但其理論最優(yōu)仍是維納解。對(duì)幾種改進(jìn)型LMS濾波器的階數(shù)對(duì)抗干擾性能的影響關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證,其抗干擾性能隨濾波器階數(shù)的變化趨勢(shì)應(yīng)和維納濾波器以及LMS算法保持基本一致。假設(shè)仿真實(shí)驗(yàn)中的窄帶干擾干信比為50 dB,干擾帶寬為5%,同一算法的步長(zhǎng)參數(shù)μ0不變,對(duì)不同改進(jìn)算法在不同濾波器階數(shù)下的抗干擾性能進(jìn)行驗(yàn)證。

當(dāng)步長(zhǎng)參數(shù)不變時(shí),濾波器抗干擾能力受濾波器階數(shù)的影響,且影響程度受制于步長(zhǎng)導(dǎo)致的收斂程度。圖11～13是NLMS算法、NVLMS算法和新變步長(zhǎng)LMS算法在濾波器階數(shù)為10和30時(shí)的頻率響應(yīng)和收斂性能。各圖表明,同一步長(zhǎng)參數(shù)可使長(zhǎng)濾波器更快收斂,短濾波器由于未收斂而抗干擾性能變差;當(dāng)濾波器增加同樣長(zhǎng)度時(shí),新變步長(zhǎng)LMS算法的幅頻響應(yīng)優(yōu)化程度小于NLMS算法和NVLMS算法,但其低階濾波器收斂性明顯優(yōu)于另外兩者。

(a) 幅頻響應(yīng)(a) Amplitude-frequency response

(b) 收斂性能(b) Convergence performance圖11 NLMS算法性能Fig.11 Performance of NLMS algorithm

(a) 幅頻響應(yīng)(a) Amplitude-frequency response

(b) 收斂性能(b) Convergence performance圖12 NVLMS算法性能Fig.12 Performance of NVLMS algorithm

(a) 幅頻響應(yīng)(a) Amplitude-frequency response

(b) 收斂性能(b) Convergence performance圖13 新變步長(zhǎng)LMS算法性能Fig.13 Performance of new variable-step LMS algorithm

不同改進(jìn)算法在不同濾波器階數(shù)下的抗干擾性能如圖14所示,不同的改進(jìn)型LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差各有差異,但抗干擾性能與濾波器階數(shù)關(guān)系仍保持總體上升、存在數(shù)據(jù)波動(dòng)的變化趨勢(shì)。NLMS算法和NVLMS算法都有較好的抗干擾性能,且性能曲線波動(dòng)較小,而新變步長(zhǎng)LMS算法由于受到多個(gè)可變參數(shù)制約,在恒參數(shù)條件下產(chǎn)生了較大的曲線波動(dòng)。

綜上所述,表1基于濾波器階數(shù)影響分析對(duì)文中幾種自適應(yīng)算法的性能進(jìn)行了總結(jié),包括抗干擾性能隨濾波器階數(shù)增加是否穩(wěn)定、除濾波器階數(shù)外的可變參數(shù)數(shù)量以及參數(shù)復(fù)雜度導(dǎo)致的抗干擾性能是否可控。

3.2 實(shí)測(cè)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)在導(dǎo)航接收機(jī)實(shí)際場(chǎng)景下的適用性,在多種窄帶干擾環(huán)境下進(jìn)行了實(shí)測(cè),所采數(shù)據(jù)為從北斗導(dǎo)航系統(tǒng)7號(hào)星發(fā)回的B3民用信號(hào)。此次共測(cè)試干擾帶寬與干信比為1 MHz/40 dB、1 MHz/50 dB、2 MHz/40 dB、2 MHz/50 dB的四個(gè)場(chǎng)景,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1 ms,采樣率為75.12 MHz,無(wú)干擾信號(hào)載噪比為58 dB-Hz。搭建的實(shí)測(cè)平臺(tái)如圖15所示。

圖15 實(shí)測(cè)平臺(tái)Fig.15 Platform of the practical test

抗干擾性能隨濾波器階數(shù)的變化曲線如圖16所示,主要采用NLMS算法:性能影響曲線呈現(xiàn)總體遞增趨勢(shì),但恒步長(zhǎng)限制了算法的收斂程度,從而產(chǎn)生了數(shù)據(jù)波動(dòng);帶寬和功率更小的干擾更易快速收斂,從而不易受到恒步長(zhǎng)制約,例如,2 MHz/50 dB干擾場(chǎng)景下的抗干擾性能曲線比其他干擾有更明顯的波動(dòng)走勢(shì)。

針對(duì)上述寬帶寬、高功率干擾場(chǎng)景下的抗干擾性能曲線波動(dòng)問(wèn)題,對(duì)步長(zhǎng)制約因素進(jìn)行驗(yàn)證,主要針對(duì)不同恒步長(zhǎng)下NLMS算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn),對(duì)2 MHz/50 dB干擾進(jìn)行抑制。如圖17所示,步長(zhǎng)分別為0.01、0.02、0.05、0.08時(shí),性能曲線下降處的濾波器階數(shù)不同,極限抗干擾性能處的濾波器階數(shù)也不同;此外,有限長(zhǎng)濾波器的極限抗干擾性能最大差值為2.21 dB,這是由恒步長(zhǎng)可能無(wú)法滿(mǎn)足有限長(zhǎng)濾波器的收斂條件導(dǎo)致的。

圖17 恒步長(zhǎng)對(duì)抗干擾性能曲線的影響Fig.17 Influence of constant step size on the interference suppression performance

由于算法結(jié)構(gòu)的不同,持續(xù)增加濾波器階數(shù)并不能保證穩(wěn)定的性能提升,圖18對(duì)經(jīng)典LMS算法和三種改進(jìn)型的LMS算法的抗干擾性能曲線進(jìn)行了對(duì)比。對(duì)比幾種算法采用有限長(zhǎng)濾波器階數(shù)時(shí)的極限抗干擾性,NLMS算法和NVLMS算法的收斂性都要優(yōu)于傳統(tǒng)LMS算法,其中NVLMS算法受恒參數(shù)制約影響更大。新變步長(zhǎng)LMS算法則呈現(xiàn)較大的數(shù)據(jù)波動(dòng),由于可變參數(shù)多,且無(wú)法自適應(yīng)地隨干擾信號(hào)以及濾波器階數(shù)進(jìn)行調(diào)整,無(wú)法在恒參數(shù)條件下始終通過(guò)增大濾波器長(zhǎng)度來(lái)提高抗干擾性能。

4 最優(yōu)濾波器階數(shù)

現(xiàn)有已知的變階數(shù)LMS算法雖然在自適應(yīng)領(lǐng)域?yàn)V波器階數(shù)控制方面取得了較大發(fā)展,但在導(dǎo)航接收機(jī)領(lǐng)域應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)了工程不易實(shí)現(xiàn)、無(wú)法直接體現(xiàn)抗干擾需求等缺陷[29]。例如,分割濾波器LMS算法(segment filter LMS, SF-LMS)需要高速改變硬件結(jié)構(gòu),在工程上很難實(shí)現(xiàn),且可變參數(shù)多導(dǎo)致難以控制性能,無(wú)法應(yīng)對(duì)復(fù)雜多變的干擾環(huán)境[30];梯度下降LMS算法(gradient descent LMS, GD-LMS)相對(duì)前者簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)[31],分?jǐn)?shù)階數(shù)LMS算法(fractional tap-length LMS, FTLMS)的分?jǐn)?shù)原則增加了算法靈活性和收斂性,但應(yīng)用到導(dǎo)航接收機(jī)仍無(wú)法將濾波器設(shè)計(jì)與抗干擾需求直接關(guān)聯(lián)[32]。

導(dǎo)航時(shí)域抗干擾濾波器的最優(yōu)階數(shù)選取需要以滿(mǎn)足抗干擾需求為目的,而通過(guò)第2節(jié)的分析可知,復(fù)雜干擾條件下所需的濾波器階數(shù)也是變化的。因此,需要根據(jù)干擾信號(hào)特征自適應(yīng)調(diào)整抗干擾濾波器階數(shù),窗函數(shù)法是一種有效的時(shí)域數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法。

窗函數(shù)法通過(guò)采用不同有限時(shí)寬的窗函數(shù)截短無(wú)限長(zhǎng)序列,從而得到有限長(zhǎng)序列,實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的有限沖激響應(yīng)濾波器。在眾多窗函數(shù)中,凱澤窗法可以通過(guò)階數(shù)調(diào)整主瓣寬度和旁瓣衰減,因此能設(shè)計(jì)滿(mǎn)足抗干擾需求的最短濾波器[33]。

凱澤窗由貝塞爾函數(shù)構(gòu)成,含有復(fù)雜可變的窗形參數(shù)α,但是可以實(shí)現(xiàn)同等性能下最陡峭的窗函數(shù)過(guò)渡帶:

(34)

式中:α為可調(diào)窗形函數(shù),可以同時(shí)調(diào)整主瓣寬度和旁瓣衰減;Ι0(α)是第一類(lèi)變形零階貝塞爾函數(shù)。其傅里葉變換為W(ω)。

結(jié)合導(dǎo)航信號(hào)特點(diǎn),凱澤窗法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器階數(shù)與干信比JSR、過(guò)渡帶寬Δf、采樣率fs的關(guān)系為:

(35)

由式(35)可知,可以通過(guò)調(diào)節(jié)階數(shù)控制濾波器性能:

(36)

并由此得到濾波器的歸一化上下截止頻率ωa1、ωa2。

理想抗干擾濾波器頻響為:

(37)

則抗干擾濾波器的頻率響應(yīng)為:

(38)

抗干擾性能通常用載噪比損耗這一指標(biāo)量化,當(dāng)無(wú)干擾條件下的載噪比與抗干擾后載噪比估計(jì)值的差值小于實(shí)際需求時(shí),即滿(mǎn)足抗干擾需求:

ΔCNR=[C/N]0-[C/N]ajm

(39)

Mmin=min{M|ΔCNR≤κ}

(40)

Mmin即為可變干擾環(huán)境下的自適應(yīng)最優(yōu)濾波器階數(shù)。

5 結(jié)論

針對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)時(shí)域抗干擾中,基于抗干擾性能的濾波器階數(shù)影響分析不足的現(xiàn)狀,面向不同干擾環(huán)境和相關(guān)算法,分析了濾波器階數(shù)對(duì)時(shí)域抗干擾性能的影響,并簡(jiǎn)易提出了一種自適應(yīng)的最優(yōu)濾波器階數(shù)設(shè)計(jì)方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,導(dǎo)航接收機(jī)的時(shí)域抗干擾性能受濾波器階數(shù)的影響如下:

1) 時(shí)域抗干擾性能隨濾波器階數(shù)的變化趨勢(shì)呈整體遞增、存在數(shù)據(jù)波動(dòng)的趨勢(shì)。適當(dāng)提升濾波器長(zhǎng)度,可以有效提升時(shí)域自適應(yīng)濾波器的抗干擾性能。

2) 抗干擾性能隨濾波器階數(shù)變化的數(shù)據(jù)波動(dòng)來(lái)源于步長(zhǎng)參數(shù)導(dǎo)致的收斂性不夠。

3) 改進(jìn)型LMS算法的性能提升受濾波器階數(shù)影響各不相同,但性能變化趨勢(shì)同維納濾波器保持基本一致。

本文可以為導(dǎo)航接收機(jī)低復(fù)雜度的時(shí)域抗干擾研究提供明確的理論支撐,解決工程中階數(shù)選取嚴(yán)重依賴(lài)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)而影響分析不足的問(wèn)題,可以為導(dǎo)航接收機(jī)抗干擾模塊的硬件優(yōu)化提供借鑒。后續(xù)工作可根據(jù)第4節(jié)中提出的思路,進(jìn)一步研究導(dǎo)航接收機(jī)時(shí)域抗干擾的最優(yōu)濾波器階數(shù),即根據(jù)實(shí)際抗干擾需求,自適應(yīng)地調(diào)整濾波器階數(shù),使其靈活應(yīng)對(duì)復(fù)雜多變的干擾環(huán)境。