刁小娟

2022年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對作圖的學(xué)習(xí)要求有所提高，這一指導(dǎo)思想已滲透在各地的中考命題之中. 現(xiàn)對這類問題的特點與解法加以分析，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考.

一、已知尺規(guī)作圖，解決有關(guān)問題

解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的尺規(guī)作圖的步驟，準(zhǔn)確判定尺規(guī)作圖的類型.

例1 （2022·湖北·鄂州）如圖1，直線l1[?]l2，點C，A分別在l1，l2上，以點C為圓心、CA長為半徑畫弧，交l1于點B，連接AB. 若∠BCA = 150°，則∠1的度數(shù)為（ ）.

A. 10° ? ? B. 15°

C. 20° ? ? ? D. 30°

分析：由題意可得AC = BC，則∠CAB = ∠CBA. 由∠BCA = 150°和三角形的內(nèi)角和等于180°，可得∠CAB與∠CBA的度數(shù)，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得到∠1的度數(shù)．

解：由尺規(guī)作圖得AC = BC，∴∠CAB = ∠CBA.∵∠BCA = 150°，∠BCA + ∠CAB + ∠CBA = 180°，∴∠CAB = ∠CBA = 15°.∵l1[?]l2，∴∠1 = ∠CBA = 15°. 故選B．

點評：能根據(jù)尺規(guī)作圖得出BC = AC是解題的關(guān)鍵．

例2 （2022·吉林·長春）如圖2，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（ ）.

A. AF = BF B. AE = [12]AC

C. ∠DBF + ∠DFB = 90° D. ∠BAF = ∠EBC

分析：由尺規(guī)作圖得到DF垂直平分AB，BF平分∠ABC，再利用線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，即可得到結(jié)論.

解：由尺規(guī)作圖可知DF垂直平分AB，∴AF = BF，∠FDB = 90°，∠BAF = ∠EBA，∴∠DBF + ∠DFB = 90°；由尺規(guī)作圖可知，BF平分∠ABC，∴∠ABE = ∠EBC，∴∠BAF = ∠EBC. 由于BE不一定平分AC，∴AE = [12]AC 不一定正確. 故選B.

點評：準(zhǔn)確判斷基本尺規(guī)作圖的類型是解題關(guān)鍵.

二、根據(jù)題目要求，完成相關(guān)作圖

解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握基本作圖的步驟，通過推理分析，將問題轉(zhuǎn)化為基本作圖來解決.

例3 （2022·湖北·湛江）如圖3，已知四邊形ABCD為矩形，點E是邊AD的中點，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

（1）在圖3①中作出矩形ABCD的對稱軸m，使m[?]AB；

（2）在圖3②中作出矩形ABCD的對稱軸n，使n[?]AD．

分析：（1）如圖4，連接AC，BD交于點O，作直線OE即可；（2）如圖5，同（1）中的方法作出直線OE，連接BE交AC于點T，連接DT并延長交AB于點R，作直線OR即可.

解：（1）如圖4中，直線m即為所求；（2）如圖5中，直線n即為所求.

點評：解題的關(guān)鍵是靈活運用直線的基本性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和三角形重心的概念及其性質(zhì)來解決問題，

三、先尺規(guī)作圖，再解決問題

例4 （2022·江蘇·無錫）如圖6，△ABC為銳角三角形．

（1）請在圖中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點D，使∠DAC = ∠ACB，且CD⊥AD（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，若∠B = 60°，AB = 2，BC = 3，則四邊形ABCD的面積為_____________．

分析：（1）利用平行線的內(nèi)錯角相等來作圖，然后過點C作AD的垂線即可；（2）過點A作AH⊥BC于點H，求出AH，AD，利用梯形面積公式即可求解．

解：（1）如圖6中，點D即為所求.

（2）過點A作AH⊥BC于點H. 在Rt△ABH中，AB = 2，∠B = 60°，∴∠BAH = 30°，∴BH = 1，AH = [3]，CH = BC - BH = 2. ∵∠DAC = ∠ACB，∴AD[?]BC. ∵AH⊥CB，CD⊥AD，∠AHC = ∠ADC = ∠DCH = 90°，∴四邊形AHCD是矩形，AD = CH = 2，∴S四邊形ABCD = [12] × （2 + 3） × 2 = 5.

點評：解題的關(guān)鍵是通過分析，將復(fù)雜的作圖轉(zhuǎn)化為基本尺規(guī)作圖來處理．

（作者單位：江蘇省泰興市大生初級中學(xué)）