三體糾纏態(tài)的糾纏目擊

王文華

（陜西師范大學(xué)民族教育學(xué)院，西安 710062）

量子糾纏是量子信息中的一個(gè)基本而又奇特的現(xiàn)象，它是量子力學(xué)區(qū)別于經(jīng)典力學(xué)的一個(gè)本質(zhì)特點(diǎn)，體現(xiàn)了量子態(tài)的非局域性，違背了Bell 不等式，卻是量子通信與量子計(jì)算中的重要資源，用于實(shí)現(xiàn)許多經(jīng)典信息理論中無(wú)法完成的任務(wù)，例如，量子態(tài)的遠(yuǎn)程傳輸、量子密鑰分配、量子隱形傳態(tài)、量子濃縮編碼、量子轉(zhuǎn)換、量子計(jì)算等。量子糾纏存在于復(fù)合系統(tǒng)中，是指復(fù)合系統(tǒng)中的量子態(tài)不能寫(xiě)成子系統(tǒng)的量子態(tài)的張量積的形式［1］。糾纏與可分是對(duì)應(yīng)的，即一個(gè)量子態(tài)不是可分的就是糾纏的。如何區(qū)分糾纏態(tài)與可分態(tài)是糾纏理論的一個(gè)重要內(nèi)容，糾纏檢測(cè)也一直是量子信息理論的一個(gè)基本問(wèn)題。

目前，已有許多檢測(cè)糾纏態(tài)的糾纏準(zhǔn)則，比如定義了一些糾纏度量［2-4］，得到了一些糾纏判據(jù): PPT 準(zhǔn)則、CCNR 準(zhǔn)則、值域準(zhǔn)則、正映射準(zhǔn)則、約化準(zhǔn)則及糾纏目擊等［5-9］。其中PPT 準(zhǔn)則在系統(tǒng)維數(shù)小于等于5的情況下是充分必要條件，但在高維系統(tǒng)僅是必要條件。在這些糾纏檢測(cè)準(zhǔn)則中，糾纏目擊準(zhǔn)則是通用的方法之一。事實(shí)上，糾纏目擊是一種特殊的自伴算子，它可以用來(lái)判斷給定的量子態(tài)是否為糾纏態(tài)。隨后，人們又提出了最優(yōu)糾纏目擊，可分解的糾纏目擊和不可分解的糾纏目擊，并對(duì)糾纏目擊進(jìn)行了一系列的討論［10］。文獻(xiàn)［10］根據(jù)糾纏目擊又提出了馬爾科夫目擊，用來(lái)判斷量子系統(tǒng)的馬爾科夫性。由于一個(gè)量子態(tài)是糾纏的當(dāng)且僅當(dāng)它可由某個(gè)糾纏目擊檢測(cè)，但是不存在一個(gè)糾纏目擊可以檢測(cè)所有的糾纏態(tài)，因而構(gòu)造盡可能多的糾纏目擊用于檢測(cè)同一糾纏態(tài)是很有必要的，并且構(gòu)造糾纏目擊仍是一件很困難的任務(wù)［11-15］。本文討論三體復(fù)合系統(tǒng)C2C2C2上的糾纏純態(tài)中的態(tài)和態(tài)，分別構(gòu)造其糾纏目擊，驗(yàn)證其是糾纏態(tài)，并且建立了Werner 態(tài)的糾纏目擊。

1 預(yù)備知識(shí)

本文用H表示有限維的復(fù)Hilbert 空間，單位向量表示系統(tǒng)的純態(tài)，其矩陣表示為，跡為1 的正算子ρ表示系統(tǒng)的混合態(tài)，S（H），D（H）及Dsep（H）分別表示H上的全體純態(tài)、量子態(tài)和可分態(tài)，BHer（H）表示H上的全體自伴算子。

定義1［1］若兩體復(fù)合量子系統(tǒng)H=H1H2上的純態(tài)可以表示為分量子系統(tǒng)Hi中的態(tài)的張量積,即，則稱狀態(tài)是可分態(tài),否則為糾纏態(tài)。

若兩體復(fù)合量子系統(tǒng)H=H1H2上的混合態(tài)ρ可以表示為分量子系統(tǒng)Hi中的混合態(tài)ρi的張量積的凸組合,即

則稱狀態(tài)ρ是可分態(tài),否則為糾纏態(tài)。

定義2［1］設(shè)W∈BHer（HAHB），若

（1）對(duì)任意的ρ∈Dsep（HAHB），有Tr（Wρ）≥0；

（2）存在ρe∈D（HAHB），使得Tr（Wρe）＜0，則稱W為糾纏目擊。

定義2 中的條件（1）和（2）都有等價(jià)刻畫(huà)：

定理1［1］設(shè)W∈BHer（HAHB），則

（1）對(duì)任意的ρ∈Dsep（HAHB），有Tr（Wρ）≥0 當(dāng)且僅當(dāng)，有≥0；

（2）存在ρe∈D（HAHB），使得Tr（Wρe）＜0 當(dāng)且僅當(dāng)W至少存在一個(gè)負(fù)的特征值當(dāng)且僅當(dāng)∈S（HAHB），使得＜0。

關(guān)于糾纏目擊的刻畫(huà)，文獻(xiàn)［10］給出了如下結(jié)論：

定理2［10］若W∈BHer（HAHB）是糾纏目擊，則Tr（W）＞0。

定義3設(shè)，若在任意比特置換下都不變, 則稱為對(duì)稱態(tài)。例如，。

2 三比特量子系統(tǒng)的糾纏目擊

N體量子系統(tǒng)中量子態(tài)的可分性比較復(fù)雜,以三體為例,則有下面的定義。

定義4設(shè)為三體量子系統(tǒng)HaHbHc中的純態(tài)，

定理3設(shè)為W類態(tài)中的對(duì)稱態(tài), 即存在可逆算子A，B，C，