沈建國,陳志東,張 強,沈永進

(1.天津大學微電子學院,天津300072;2.中國石油大學(華東)地球科學與技術學院,山東青島266580)

聲波測井理論研究中,井筒固有頻率的發(fā)現(xiàn)是第一個里程碑[1-2],復極點的貢獻和井內、外聲場分布的獲得是另外兩個里程碑[3-4]。固有頻率的發(fā)現(xiàn)使人們認識到井筒對聲波測井的頻率具有很強的選擇性;復極點的貢獻使我們跳出了認識上的局限:只有響應函數的實極點才描述聲波傳播,波數復平面上的所有極點都對響應有貢獻,復極點對應的泄漏模式波對近場影響大,不能忽略[5-6]。復極點的貢獻使得聲波測井理論與數字信號處理的線性系統(tǒng)函數(由所有復極點和零點的模和復角組成)理論建立了緊密的聯(lián)系。另外,復極點還進一步補充了井內液體模式波的雙曲線在低波數區(qū)域的分布[6]。

瞬態(tài)激發(fā)波形的頻譜連續(xù),在聲波測井、瞬變電磁測井[7-9]響應中,頻率是一個自變量,不是常數,聲波測井和瞬變電磁測井響應函數在波數復平面、頻率復平面上的所有極點都對響應有貢獻,特別是固有頻率附近的復極點,構成聲波測井地層縱波響應的主要成分。瞬變電磁測井的重點研究對象也是復極點的響應[8-9]。

瞬態(tài)激發(fā)的井內、外聲場分布使我們發(fā)現(xiàn)井內一次激發(fā),井外地層中有多個地層縱波和橫波向外傳播[6],這直觀地告訴我們:在井內液體中的一次激發(fā)在井壁被多次反射,每次反射在地層中都激發(fā)出縱、橫波,導致多個地層縱波和橫波在地層中傳播,當其沿井壁傳播時,通過邊界條件,在井內液體中有多個對應的縱、橫波耦合波,這些耦合波同相疊加(在固有頻率處)產生共振響應。瞬變電磁場在井內激發(fā)以后,同樣具有這種特征,每次在井壁反射都會在井內、外激發(fā)響應,所有反射響應和耦合響應的疊加構成最終的響應,即瞬變電磁響應也是在井壁被多次反射后由井內的反射響應和耦合響應疊加形成的[7-9]。

現(xiàn)有聲波測井理論采用頻率為常數時波數的單變量復變函數[1-5]進行分析,得到單頻正弦波激勵的響應[6,10-16]。根據Fourier變換原理,瞬態(tài)激發(fā)的所有頻率的響應(正弦穩(wěn)態(tài))疊加得到瞬態(tài)響應[6,13-18]。這個結果在單變量線性系統(tǒng)中成立,對于平面液-固界面的聲波傳播也成立[13-14],因為波數(k)與頻率(f)之間的關系只有縱波、橫波和液體波速度(v)組成的3個簡單的線性關系k=fv,三者均是連續(xù)的。在聲波測井中,井壁對徑向傳播的聲波多次反射導致徑向波數只能取離散值,構成井筒固有頻率。井內液體中的聲波還必須滿足液體波動方程,通過分離變量法得到頻率和波數之間的一個雙曲線關系。而井壁對徑向傳播聲波連續(xù)的無數次反射在地層中形成無數個縱、橫波,其頻率與波數是線性關系。井內液體中有無數個縱、橫波的耦合波,對應的雙曲線和直線相交,交點處這兩種關系都必須滿足,導致頻率和波數平面上特有的分布,同時,還產生瞬態(tài)響應。

圓柱邊界條件導致自變量k和f之間有多種函數關系,在f-k平面內表現(xiàn)為曲線或直線。這些關系對應于波動方程和單變量復變函數中的支點,并與井外地層中的縱、橫波(和套管波)的耦合波相對應。

頻率作為自變量后,瞬態(tài)聲波測井響應是兩個變量的復變函數。多復變函數與單復變函數有顯著的區(qū)別,因為多復變全純函數的性質在很大程度上由定義域的幾何和拓撲性質(自變量之間的函數關系)所制約,其研究也由局部性質到整體性質逐步轉移[19]。

井筒對徑向傳播聲波多次反射后導致其反射系數和透射系數只在固有頻率處有較大幅度,形成峰,產生共振響應,響應函數的極值沿雙曲線分布。本文從此入手,討論井筒固有頻率對聲波傳播的影響。用聲波測井響應的二維幅度譜的極值分布討論地層縱、橫波耦合波和套管井各種模式波的耦合波。沿地層縱波或套管波速度線取二維譜獲得地層縱波耦合波或套管波的頻譜,其在固有頻率附近有單峰,峰的附近頻譜是斷開的,兩側是不同的地層縱波模式波或套管井模式波,該斷開的頻譜峰構成地層縱波或套管波的共振響應,與井和地層參數有關,決定首波波形形狀,攜帶了井和地層的信息;用指數函數的頻譜擬合斷開的頻譜峰,可獲得縱波或套管波波形包絡線隨時間的衰減系數。該衰減系數綜合描述了地層的物理衰減和聲速,對巖性敏感,可用于固井質量和非常規(guī)油氣藏評價。改變套管井幾何參數,套管固體內各種模式波在f-k平面上將雙曲線形狀的極值分布以各種方式截斷,形成不同分布形態(tài)的耦合波。在截斷位置附近幅度大,形成峰,響應具有共振特征。

1 圓形井筒的反射、透射系數

裸眼井軸心激發(fā)的振動沿半徑方向在井內液體中傳播到井壁時,其反射和透射系數不是常數,隨頻率f變化,具有一系列峰。圖1a是裸眼井(其參數見表1)中聲波只沿徑向傳播時的廣義反射系數R、透射系數T(直接用軸對稱的徑向位移求解)。圖1b是平面界面和圓形界面反射、透射示意。平面波垂直入射到平面界面時只有一次反射、透射(反射系數R1D、透射系數T1D是常數),而軸心上激發(fā)的柱面波在圓柱界面上有無數次反射、透射,其反射系數和透射系數均隨頻率變化,在固有頻率處形成峰,即廣義反射和透射系數在此均達到極大值,其中反射系數R很大,除以10(R/10)以后與T繪制在一起。

圖1 平面界面和圓形界面反射系數和透射系數隨頻率的變化(a)和反射、透射示意(b)

表1 裸眼井參數

頻譜峰所在的頻率為井筒的固有頻率。二維圓形界面只對固有頻率有比較大的反射、透射系數,井和地層內的響應只在固有頻率處幅度大,構成共振響應。

在井內軸心激發(fā)的振動能量沿徑向傳播時同時到達井壁,同時反射,反射波(能量)在圓心聚焦后繼續(xù)沿半徑傳播到井壁,再次反射、透射,……。每次反射、透射均有能量進入地層,這樣的過程一直重復,直到井內液體的振動能量全部穿過井壁進入地層。井內液體中的這種多次反射、傳播過程導致了井筒固有頻率fs,用縱波勢函數求解時它由Bessel函數J1(x)的零點xs確定[1,5],直接用位移求解(1)直接用位移求解:對于聲波測井響應,通常用勢函數求解,因為勢函數分別滿足縱波和橫波波動方程,液體中點聲源激發(fā)的勢函數是球面波。實際的聲源激發(fā)位移和應力,只對徑向位移ur求解時,作為標量函數的ur也滿足縱波波動方程,是零階Bessel方程,出現(xiàn)J0的零點;將ur作為矢量函數urer時,其矢量波動方程為一階Bessel方程,出現(xiàn)J1的零點。一般情況下只用J1的零點,但是,最近將純數值解的聲波測井響應波形變換到f-k平面時發(fā)現(xiàn)了大量的零點。懷疑聲波測井響應波形中這兩個零點都可能存在,都構成共振響應。(對應球形聲源激發(fā)球面形狀的位移到達剛性壁井壁)時,xs是零階Bessel函數J0(x)的零點。這兩種零點不在一起,均能構成井筒的固有頻率,對應共振響應。

(1)

式中:vf是井內液體的聲波速度;a是井半徑。因為反射、透射系數只在固有頻率處形成峰,幅度大,因此,其對應的井內液體響應也只在固有頻率處幅度大、形成共振響應,其它頻率幅度小,頻譜峰的形狀決定了響應波形包絡線的形狀。該現(xiàn)象由聲波在井內液體中沿徑向傳播所導致,因此響應波形形狀和幅度受井內液體的衰減系數和地層與井內液體聲速的差等因素影響。

2 剛性壁井中聲波響應的二維譜

井內液體是圓柱形狀,聲波在其軸線上激發(fā)后,除了沿半徑方向傳播、反射形成固有頻率外,還沿z方向傳播,井內液體中的波數由徑向波數kr和z方向波數k組成,徑向波數(因為徑向邊界)取一系列的離散值,z方向的波數k(沒有z方向的界面)隨頻率f連續(xù)變化。用實軸積分方法[5]求解,井內液體的響應(勢函數)是k與角頻率ω的雙重積分:

(2)

其中,第一項積分是點源激發(fā)的球面波,第二項積分是井壁導致的廣義反射波。式中:r是柱坐標的半徑;H0和J0分別是零階Hankel函數和Bessel函數;A是廣義反射系數。(2)式中方括號內的函數是變量k,ω的(雙變量)復變函數,稱為二維譜。

先不考慮井外固體介質中傳播的聲波,只研究圓柱形狀的井內液體中聲波的傳播特征。設井壁為剛性壁(縱、橫波速度為無窮大)或圓周液體外是自由邊界、應力為0或薄壁管;它們都沒有沿z方向傳播的聲波。軸心上的點聲源在圓柱形井內液體中激發(fā)的聲波測井響應(壓強)的二維幅度譜如圖2所示,圖2a 對應的是5.5in的剛性壁,圖2b對應的是7.0in的薄壁管(1in≈2.54cm)。f-k平面上的二維幅度譜均沿一組雙曲線及其漸近線分布,漸近線是過原點的斜直線,其斜率為1/vf,是井內液體的聲波時差(液體聲速vf的倒數),對應液體直達波或Stoneley波在f-k平面內的分布;雙曲線與橫軸的交點是井筒的固有頻率((1)式)。雙曲線滿足的方程由液體的波動方程通過分離變量法獲得[6-14]:

圖2 圓柱形液體中傳播的模式波測井響應的二維幅度譜

(3)

式中:xs/a是離散的徑向波數,由剛性壁和薄壁管的邊界條件決定。其中,k和f均是自變量,構成f-k平面。當k=0(描述沿半徑方向傳播的聲波,在徑向產生多次反射)時,雙曲線與頻率軸相交,交點的頻率為井筒固有頻率fs。k>0時描述井內液體中沿傾斜方向(k,xs/2πa)傳播的聲波,k隨頻率改變,不同頻率的聲波傳播方向不一樣。井內液體響應的幅度譜只沿雙曲線和漸近線分布,只在這些位置響應幅度比較大,其它區(qū)域幅度很小;f-k平面內的雙曲線分布是圓柱形狀的液體中能夠傳播的聲波模式波——井內液體模式波,是圓柱邊界對井內液體中的聲波無數次反射后導致的自變量k,f之間的內在約束關系;雙曲線形狀的二維譜隨頻率連續(xù)變化,其漸近線是過原點斜率為1/vf的直線,是Stoneley波的頻譜,也隨頻率連續(xù)變化。

3 自由套管的二維譜

當井外是非剛性的固體介質時,其中有聲波傳播,例如地層縱波、套管波等;通過井壁邊界,在井內液體中存在與其耦合的聲波,該耦合聲波沿z方向的傳播速度v與井外固體的傳播速度相同(滿足邊界條件),其波數k=f/v,在f-k平面中,這是一條過原點的直線,其斜率為1/v。當聲速v大于井內液體聲速vf時,其斜率1/v小于1/vf,該直線與圖2的雙曲線相交,聲波測井響應的二維譜極值沿該直線分布。當聲速小于井內液體聲速vf時,其斜率1/v大于1/vf,位于圖2的雙曲線漸近線即Stoneley波斜線的上方,與雙曲線不相交。

圖3a是自由套管(參數見表2,套管內、外均只有液體)內聲波測井響應的二維幅度譜。與圖2相比,圖3a中多了兩個模式波。一個是以1/vt為斜率、過原點的直線,位于圖3a的下方,其速度vt大于液體聲速vf,與雙曲線相交。這是套管固體中的模式波沿z方向以套管波速度vt(接近常數)傳播時,通過邊界在井內液體耦合的聲波——聲波測井的套管波,簡稱套管波。另一個在低頻區(qū)域,其速度v小于液體聲速vf,位于Stoneley波斜線(井內液體聲速vf的斜直線)之上,是一段向上翹起的曲線,稱為第二Stoneley波,其相速度隨頻率連續(xù)變化。

圖3 套管波(直線)與井內液體模式波(雙曲線)的耦合以及套管波的幅度譜

表2 套管參數

從圖3a的二維幅度譜的極值分布可以看出:斜直線與雙曲線組相交,在井內液體中形成套管井模式波。其二維幅度譜表現(xiàn)為:在交點處極值分布的雙曲線和斜直線均被斷開。斷點兩側屬于不同的套管井模式波[12,15-16],從左到右觀察,從第1個雙曲線下面的部分(見A點周圍的分布)開始,沿雙曲線向上接近交點時向右轉彎到斜直線(B點周圍),沿斜直線到第2個雙曲線(見C點周圍)時,向上轉彎到第2條雙曲線,構成一個連續(xù)的套管井模式波分布[12,15-16]。在交點(見C點周圍)的斜直線下面,從D點周圍的極值分布開始,極值分布沿第2個雙曲線向上,在交點即斷開位置(見C點周圍)的下方向右轉彎到斜直線(見E點周圍),沿斜直線到第3個雙曲線后向上轉彎到第3個雙曲線,形成第2個套管井模式波,以此類推。每個套管井模式波均由相鄰的兩段雙曲線和一段斜直線組成,隨頻率連續(xù)變化,與套管井中套管模式波的頻散曲線對應[12,15-16]。在交點的上、下分別有兩個套管井模式波分別轉彎,一個從(斜直線下面的)雙曲線(見D點周圍的分布)向右轉向斜直線(見E點周圍),另一個從斜直線(B點周圍)向上轉向雙曲線,見C點周圍的極值分布。交點兩側沿斜直線的部分其速度等于或接近于套管波速度,是聲波測井的套管波;沿套管波斜直線(速度vt斜直線周圍)取二維譜的極值得到套管波的頻譜,其幅度在交點附近最大,離開交點后幅度快速減小,并且該頻譜在交點附近斷開,不連續(xù),如圖3b所示(套管井Ⅰ界面膠結差,不同水泥密度時的套管波頻譜);交點兩側沿斜率為1/vt的斜直線部分的二維譜隨頻率和波數的變化構成套管波(一個完整)的頻譜峰和波數峰。頻譜峰及其形狀決定了套管波的波形形狀,波數峰的形狀決定了陣列聲波測井波形幅度隨z的變化規(guī)律。

在雙曲線和斜直線的交點位置二維幅度譜沒有極值分布,斜線之上的雙曲線(見C點周圍的極值分布)與交點左側的斜直線(見B點周圍的極值分布)連在一起,并一直延伸到左邊的雙曲線下面(見A點周圍),構成一個連續(xù)的頻譜;斜線之下的雙曲線(見D點周圍)向右轉彎到斜直線(見E點周圍),并最終與右邊的雙曲線向上變化連接在一起,構成另一個連續(xù)的頻譜。在f-k平面上的這些極值分布刻畫了套管井內的聲波測井響應,描述了井筒的圓柱形狀液體對套管波的影響,是聲波測井響應函數(即(1)式)的雙變量復變函數自身的特征,或者說描述井內液體中的套管波的雙變量復變函數的極值分布自身進行了改變,其目的是實現(xiàn)套管波的耦合,也是套管固體內傳播的聲波在井內液體耦合后所形成的耦合波的存在方式,即在交點處二維幅度譜沒有極值分布,聲波測井響應為0[6]。文獻[6]指出:在交點位置存在孤立的實極點,對應正弦穩(wěn)態(tài)響應。在交點左右兩側沿套管波速度的斜線周圍有幅度較大的極值分布,其斜率與套管波時差接近(略有差別),隨著頻率的增加,相速度從大于套管波速度連續(xù)變化到小于套管波速度,在相鄰兩個雙曲線的中間位置與套管波的斜直線相交,該交點處的相速度等于套管波速度,但是幅度很小。幅度最大的位置在斜線與雙曲線的交點附近,但是其極值分布在此轉彎(相速度f/k變化小,極值分布的斜率(即群速度)劇烈變化),沿斜直線的極值分布被斷開。沿套管波速度斜線(周圍或在一定的區(qū)域內)由二維譜幅度得到聲波測井的套管波頻譜,其在幅度最大位置附近斷開,形成斷開的頻譜峰。這是聲波測井套管波頻譜的一個主要特點。裸眼井中地層縱波耦合波的頻譜也具有該特征,其頻譜峰值在斷開位置的右側。

上述套管波的斜直線與雙曲線交點處二維譜的極值分布與基于單變量復變函數的聲波測井理論所得到的頻譜[6]有較大的區(qū)別。在套管井中套管波的速度恒定,對應于二維譜中的斜直線,裸眼井中地層的縱波速度恒定,也對應于二維譜中的斜直線?；趩巫兞縦的聲波測井理論顯示,裸眼井響應中,雙曲線與直線的交點是孤立的實極點[6],響應幅度較大[5-6],在雙曲線與縱波斜直線的交點處達到極大值?？v波支點的垂直割線積分隨頻率變化,在固有頻率處形成峰值[5],這些響應都在縱波斜直線上。而圖3a所示的二維譜顯示,交點處的二維譜是錯開的,交點及周圍沒有極值分布,偏離縱波線或套管波線后才有極值分布,并且極值位置偏離交點,不在縱波或套管波斜線上。

對于裸眼井或膠結良好的套管井(套管波幅度小或沒有),二維譜中極值沿地層縱波速度線分布(以地層縱波速度的倒數為斜率)的幅度大,其單個頻譜峰形狀反映地層的物理衰減和縱波速度。用陣列聲波測井波形通過現(xiàn)代信號處理方法(Prony法)對測量波形建模,用指數函數的頻譜模擬斷開的單峰,將單峰的形狀轉換為綜合衰減系數(GAL),可直接指示地層的聲速和物理衰減,它對巖性變化靈敏,不同的巖性其幅度變化大。圖4是不同巖性的套管井固井質量好時的聲波測井波形以及用首波處理的時差和GAL。從左到右第1道是聲波時差(DT)的分布,比較集中;第3道是GAL的分布,比較分散;第4道是從第1道、第3道分布中分別提取的DT和GAL曲線(GAL曲線被平滑),第5道是第1個波形的變密度圖,最右邊是模型井示意圖。這是用“一發(fā)八收”的陣列聲波測井儀器測量的結果,接收探頭間距為0.5ft(1ft≈0.3048m),最近的源距為2.5ft。模型的第2層是砂巖含油、第3層是砂巖含水,兩者的物理衰減系數不同,其GAL差異明顯。GAL是個全新的測井曲線,綜合描述了測井波形中首波的單個頻譜峰形狀,展現(xiàn)了首波波形形狀所攜帶的地層物理衰減和縱波時差信息,該參數除了用于固井質量評價外,還可用于非常規(guī)油氣藏評價和裂縫識別。

圖4 套管模型井陣列聲波測井首波的聲波時差(DT)和綜合衰減系數(GAL)

套管厚度不同,聲波沿徑向在套管固體內無數次反射形成的模式波特征不一樣,沿井軸方向傳播的速度特征發(fā)生改變,自變量f,k之間的函數關系隨之改變,耦合到井內液體中的套管井模式波的分布也不一樣,在對應的f-k平面上聲波測井響應的二維幅度譜的極值分布發(fā)生明顯改變,即雙變量復變函數通過幅度和極值分布的變化展現(xiàn)了不同厚度套管內的套管模式波的速度和幅度特征。表3是套管內、外介質的參數(h是套管厚度)。圖5給出了套管井聲波測井響應的二維幅度譜分布。由圖5可以看出:當套管厚度為0.5mm時,二維譜中位于上面的Stoneley波和第二Stoneley波幅度小,套管波的斜直線將雙曲線截斷(圖5a);當厚度增加到4.0mm時,雙曲線的形狀發(fā)生了比較大的改變,在0～35kHz的頻率范圍內雙曲線由3個增加到4個,位于Stoneley波斜線上面的第二Stoneley波幅度增加(圖5b);當套管厚度為10.0mm時,二維譜中第二Stoneley波幅度明顯,低頻段相速度接近液體聲速(圖5c);當套管厚度為30.0mm時,二維譜中上部的雙曲線被截斷,Stoneley波幅度大,第二Stoneley波消失,在10kHz附近的兩個雙曲線之間的間距減小(圖5d);當套管厚度為100.0mm時,二維譜中上部截斷雙曲線的位置下移到橫波線vs之上,7kHz處的雙曲線逐漸消失,在28kHz處出現(xiàn)新的模式波分布(圖5e);當套管厚度為300.0mm時,二維譜中低波數段出現(xiàn)多個模式波,其在f-k平面的分布各異,將幅度大的黃色雙曲線截斷成很多段(圖5f);當套管厚度為500.0mm時,二維譜中截斷雙曲線的最上面的斜線位置下移到橫波線vs之下,橫波線vs以下出現(xiàn)更多的模式波分布,將3個雙曲線截斷成多個線段(圖5g);當套管厚度趨于無窮大時,變成圖5h所示的裸眼井的二維譜,雙曲線只被地層縱波線vc和地層橫波線vs截斷,其它位置均是連續(xù)的,其中沿橫波線vs截斷雙曲線的特征明顯,沿縱波線vc截斷雙曲線的位置在圖5h中顯示不明顯,需要放大后才能顯示該截斷的特征。

圖5 套管厚度不同時套管內液體響應的二維譜

表3 套管內外介質參數

4 自由套管內、外的聲場分布

為了對比圖5所示的自由套管內、外的聲波分布和傳播過程,圖6給出了2種套管厚度的自由套管井內、外液體和套管固體內的聲場分布。圖6a是套管厚度為300.0mm時的聲場分布,可以看到井內液體的反射波多次到達井壁產生的反射波和透射波,套管內的縱、橫波到達外邊界產生的透射波和反射波,以及套管外液體的透射波。隨著時間的增加,套管和井內外液體的聲波模式增多,疊加在一起形成復雜的聲場分布。圖6b是套管厚度為30.0mm時不同時刻的聲場分布。隨著套管厚度的減小,套管內傳播的聲波發(fā)生了巨大變化,以套管模式波為主,其在井內液體對應的耦合波(測井的套管波)的波陣面分布也隨之發(fā)生巨大變化。

5 套管井Ⅰ界面膠結差的二維譜

用套管井模型,將水泥環(huán)和地層的半徑增大,見表4中所示參數,改變套管厚度h計算井內液體的二維譜,結果如圖7所示。因為水泥環(huán)和地層半徑增大,其界面反射使得二維譜中有很多雙曲線形狀的模式波分布,它們的間距較小。隨著套管厚度的增加,套管的反射和套管內模式波的影響逐漸顯著,逐步與圖5的二維譜形狀接近。

表4 套管井Ⅰ界面膠結模型計算參數(一)

從圖7可以看出:當套管很薄,其厚度只有0.5mm時,套管井的響應主要是水泥環(huán)界面反射所引起的響應,因為半徑比較大,雙曲線分布的間距很近,雙曲線很多(圖7a);當套管厚度增加到4.0mm時,套管的作用明顯,在二維譜中低頻區(qū)域出現(xiàn)第二Stoneley波,高頻區(qū)出現(xiàn)幅度比較大、集中的雙曲線黃色帶(圖7b);當套管厚度增加到9.0mm時,二維譜中低頻處仍然能夠看到很多類似雙曲線形狀的模式波分布,而高頻段集中在兩個雙曲線周圍,雙曲線被套管波截斷(圖7c);當套管厚度為30.0mm時,低頻區(qū)域的模式波幅度減小,右上角出現(xiàn)黃色雙曲線分布被截斷的情況,截斷位置呈現(xiàn)鋸齒狀,水泥環(huán)界面的反射作用仍然有所體現(xiàn)(圖7d);進一步增加套管厚度到70.0mm時,套管井的模式波分布特征顯著,由水泥環(huán)和地層產生的密集雙曲線分布只在雙曲線被截斷的位置出現(xiàn)(圖7e);當套管厚度為100.0mm時,出現(xiàn)了新的模式波分布,截斷處仍然能夠看到密集分布的雙曲線痕跡(圖7f);當套管厚度為400.0mm時,水泥環(huán)的反射特征引起的鋸齒形狀的分布完全消失,在橫波線vs以上模式波分布是連續(xù)的,以液體速度線vf為漸近線,橫波線以下各種模式波將井內液體的雙曲線截斷成各種各樣的形狀,所有模式波幅度均在截斷位置(固有頻率)附近達到最大,形成頻譜峰,該頻譜峰的響應具有共振特征(圖7g);圖7h是同一尺寸和參數的裸眼井的二維譜,圖7g中被截斷的雙曲線分布形狀與裸眼井一致。

改變水泥環(huán)尺寸,見表5中所示參數,套管井內響應的二維譜如圖8所示。當套管很薄(厚度為

圖8 不同套管厚度時套管井響應的二維譜(二)

表5 套管井Ⅰ界面膠結模型計算參數(二)

0.5mm)時,二維譜仍然以雙曲線形式的模式波集中分布(圖8a),與圖7相比,模式波之間的間距加大了。薄套管的影響只表現(xiàn)在幾個模式波的幅度上(比較大)。當厚度增加到4.0mm時,套管引起的模式波分布集中在一起,形成黃色條帶(圖8b)。厚度進一步增加后,套管井的模式波越來越集中,雙曲線被模式波截斷的位置出現(xiàn)鋸齒狀的斷面(圖8c、圖8d)。隨著套管厚度的進一步增加,鋸齒狀的分布越來越少(圖8e、圖8f)。

在圖8f中,當套管厚度為100.0mm時,在25～30kHz的頻率范圍內,二維譜右下角出現(xiàn)一個明顯的彎曲形狀(鐮刀型)模式波,圖5e中也有。改變套管厚度(80.0～150.0mm),套管井內的二維譜變化如圖9所示,可以看出,在聲波測井的頻率區(qū)間內,二維譜分布有明顯的變化,截斷雙曲線的方式也有了新的變化(見圖9b右下角),圖9e、圖9f中出現(xiàn)雙曲線被豎直截斷的情況。

圖9 套管厚度為80.0～150.0mm之間的二維譜

當套管厚度改變時,套管固體內的模式波發(fā)生改變,耦合到井內液體的耦合波也隨之改變(圖6)。用套管厚度改變調整井內液體耦合波f,k之間的函數關系,研究了井內液體響應的雙變量復變函數隨該函數關系的變化(圖7、圖8、圖9)。函數幅度、極值及其分布隨套管內聲波傳播特征的改變而明顯變化。雙變量復變函數為了適應套管內傳播的各種模式波在井內液體的耦合(滿足邊界條件)做出了相應變化,這是聲波通過圓柱邊界條件耦合的結果,也是多變量復變函數的主要特點。聲波測井響應的二維譜具體刻畫了井內液體耦合波的特征。

6 聲波測井響應的二維譜與耦合波

6.1 聲波測井瞬態(tài)響應波形與固有頻率

聲波測井是在井內液體中進行的,測量的是瞬態(tài)聲源激發(fā)的瞬態(tài)響應波形,采用陣列方式接收,能夠獲得沿z方向不同源距的瞬態(tài)響應波形。

在井內液體軸心激發(fā)的瞬態(tài)聲波沿徑向傳播到井壁后發(fā)生反射和透射,反射波向軸心匯聚后繼續(xù)沿徑向傳播,再次到達井壁發(fā)生反射和透射[6],無數次的反射和透射形成駐波解(用Bessel函數J0(x)描述[6]),井內的響應有別于無限大液-固平界面的響應;圓柱形井筒對徑向傳播聲波的每次反射都有能量透射到地層,井內液體的振動能量以無數次透射的形式進入地層,不同于平界面的一次反射、透射(反射、透射系數為常數)。圓柱形界面的無數次反射對瞬態(tài)振動能量重新進行了分配:只有井筒固有頻率才產生較大的反射和透射系數,其它頻率的反射和透射系數很小,即軸對稱的聲波振動能量只能以固有頻率共振的形式穿過圓柱界面進入地層(套管、水泥環(huán)和地層)。聲源激發(fā)的其它頻率的能量在井內液體中被無數次反射后轉變?yōu)榫补逃蓄l率的能量,然后再透射到地層中,使得井內液體和地層中只有固有頻率的振動能量較大。井和地層中所有頻率的響應疊加構成瞬態(tài)響應,其中,固有頻率的響應大,其它頻率的響應小。井筒具有頻率選擇和頻率重新采樣的功能,也有振動能量重新分配的功能。就像沖擊有限長桿,聲波在其內無數次反射后只能以其固有頻率振蕩或傳播振動能量一樣,沖擊激勵中的所有激發(fā)頻率最后都只能以固有頻率的振動方式來表現(xiàn),這是聲波(和電磁波)傳播的基本規(guī)律,是波動方程解的基本特性。井內液體只能有固有頻率的振動能量和聲波傳播。在井內液體中用固有頻率為主頻的聲源激發(fā)產生共振響應,共振波的幅度大,用其它頻率為主頻的聲源激發(fā)也只能在固有頻率處產生共振響應,共振波的幅度小。

聲波沿徑向的無數次反射過程以及由此產生的頻率選擇性在基于幾何聲學(滑行波理論)的聲波測井理論中沒有得到充分的認識和討論,聲波測井傳統(tǒng)理論長期忽視這個基本規(guī)律。雖然用縱波支點的垂直割線積分也獲得了頻譜的共振峰,承認首波具有共振特征,但是,所獲得的共振峰是連續(xù)的。聲波測井響應函數中沿地層縱波線的極值分布對應以地層縱波速度傳播的聲波,其頻譜是斷開的,如圖3所示,而且在單峰附近斷開,峰兩側是連續(xù)的極值,合在一起構成首波頻譜的共振峰,但是峰兩側的分布并不屬于同一個井內模式波。因此,沿縱波支點的垂直割線積分并沒有完全描述裸眼井縱波的響應,多年來人們無法對首波波形形狀及其所攜帶的地層物理衰減、時差等信息進行有效開發(fā)利用。

井筒對沿z方向傳播的聲波同樣具有頻率選擇和過濾效應:位于井筒固有頻率附近的響應幅度大,偏離井筒固有頻率響應幅度小,所有的響應均圍繞著固有頻率。地層或套管中傳播的各種模式波其傳播速度恒定時,在f-k平面是直線,耦合到井內液體后,在f-k平面上直線和井內液體模式波的雙曲線相交,形成的極值分布是:井內液體模式波的雙曲線和直線均被截斷,沿直線的響應頻譜在其斷點附近形成峰,單個頻譜峰的響應具有共振特征,響應波形形狀完全由頻譜峰形狀決定。

當激發(fā)探頭的頻帶較寬,在其頻率區(qū)間內包含多個固有頻率時,頻譜仍然只在固有頻率附近幅度大,形成峰;離散的頻譜峰合在一起類似于頻率采樣。多個頻譜峰響應疊加后形成一個整體,此時頻譜中單個峰的響應特征不變,整體頻譜的響應是這些單個頻譜峰響應的疊加,所形成的波陣面是連續(xù)的。激發(fā)頻帶越寬,頻譜峰越多,波陣面形狀越接近平面液-固界面的形狀,幾何聲學的條件逐步被滿足。當激發(fā)的主頻較高,頻帶內包含很多頻譜峰時,響應滿足幾何聲學條件,得到圖6所示的井內液體耦合波波陣面(見圖6 中的斜直線),與井壁兩側界面相交形成X形,沿z方向以套管波速度傳播,波陣面形狀在傳播過程中保持不變。被井內接收探頭接收時,其波陣面在套管或地層中已經超過了接收探頭所在源距,響應波形所測量的地層位置不是滑行波所描述的地層位置,比接收探頭所在的源距稍遠。實際儀器所測量的波形還受探頭半徑與井半徑的影響,因此,這些測量位置不同所引起的深度誤差很小,在實際應用的1∶200的曲線圖中誤差不到1mm,通過簡單的校深或初始值設定就能將其掩蓋。

6.2 井內液體中的耦合波

井外地層縱、橫波(面波)和套管的模式波沿界面在z方向傳播時,通過邊界會耦合到井內液體,各種耦合波和井內液體中傳播的各次反射波疊加形成測井響應。井壁邊界條件使得各個耦合波沿z方向以地層縱波、橫波或以套管模式波的速度傳播,在f-k平面是直線分布。同時,圓柱形液體中的各個耦合波還滿足井內液體的波動方程以及邊界對徑向傳播聲波無數次反射導致的徑向離散波數,波動方程和徑向離散波數也構成了自變量k,f的內在關系:在f-k平面是雙曲線。井內液體中的聲波測井響應受這些關系影響,最終表現(xiàn)為:描述響應的雙變量復變函數的極值沿雙曲線和直線分布,在雙曲線和直線的交點附近極值分布發(fā)生改變,出現(xiàn)新的二維幅度譜極值分布。這些改變后的極值分布與現(xiàn)有聲波測井理論(單變量k的復變函數)相比:①支點處的積分為0得到體現(xiàn),即在雙曲線與地層縱波支點對應的縱波線k=f/vc的交點處二維幅度譜沒有極值分布;②沿縱波支點的垂直割線積分(以地層縱波速度vc傳播)對應二維譜中的地層縱波斜直線f=kvc,井內液體中的地層縱波耦合波或套管波耦合波的二維譜極值分布稍微偏離該縱波線f=kvc和套管波線f=kvt,沿地層縱波和套管波線得到的二維譜隨頻率變化不連續(xù)。

聲波測井的瞬態(tài)響應是連續(xù)頻譜的響應,頻率是自變量、不是常數,是雙變量復變函數的整體特征。現(xiàn)有的聲波測井理論假設頻率為常數,用單變量k的復變函數描述,對k積分所得到的解是井筒內的正弦激勵響應,只包含單頻的穩(wěn)態(tài)響應,即能夠在井內長期存在的所有響應,不包含那些在井內不能長期存在的瞬態(tài)響應,因此,它還不是完整的瞬態(tài)響應,需要向雙變量復變函數在f-k平面的整體響應過渡[14]。雙變量復變函數的積分本身還有瞬態(tài)響應,不在單頻的穩(wěn)態(tài)響應中,因此,只用連續(xù)的單頻穩(wěn)態(tài)響應疊加得到的瞬態(tài)響應不包括積分本身的瞬態(tài)響應。

雙變量復變函數整體響應特征受雙變量之間的函數關系(約束、定義域、f-k平面的曲線)影響,在約束所對應的曲線取極值,這些曲線刻畫了地層中傳播的聲波通過邊界與井內液體中傳播聲波的耦合。耦合的結果使得井筒固有頻率發(fā)生偏移,固有頻率附近模式波相互轉換,幅度較大,在f-k平面的分布變化明顯。而(井內液體模式波的)雙曲線與(井外聲波的)斜直線的交點處無法存在模式波,雙變量復變函數沒有極值分布。

井內液體中的聲波沿徑向多次反射后形成的離散徑向波數在聲波測井響應的二維譜中對應雙曲線形狀的極值分布。它從橫軸的各個固有頻率開始,隨著z方向波數k(或頻率)的增加,極值分布沿雙曲線變化,響應的能量均集中在雙曲線上。而地層縱、橫波耦合波和套管模式波耦合波的頻譜需要一定的頻率范圍才能形成瞬態(tài)波形,需要二維譜極值從交點兩側分別沿地層縱波斜直線或套管波的斜直線延伸,使耦合波頻譜沿直線延伸,對應頻率以地層縱波或套管模式波速度傳播,形成連續(xù)的頻譜(需要有響應能量從雙曲線分散到斜直線),這個矛盾是聲波測井瞬態(tài)響應所特有的。雙變量復變函數在此以交點處極值分布轉彎(見圖3a的C點周圍的極值分布),交點處直線和雙曲線均斷開、斷開位置的雙曲線幅度沿斜直線分布,將其能量分散到了地層縱波耦合波或套管波耦合波,即以這種極值分布改變的方式有效地解決了這個矛盾并實現(xiàn)了井內聲波的耦合。結果導致沿斜直線的地層縱波和套管波耦合波的頻譜斷開,斷點兩邊為不同的模式波、其頻譜連續(xù),在斷點附近沿斜直線周圍的二維幅度譜形成極值,并沿斜線向兩側延伸(圖3a的B點、E點)形成地層縱波耦合波和套管波的頻譜,沿縱波線或套管波線得到的頻譜是斷開的。聲波測井首波(地層縱波或套管波)的幅度和相位(到時)主要由頻譜斷開處的頻譜峰形狀(圖3b)決定,而頻譜峰處的極值分布轉彎(見圖3雙曲線斷開位置C點周圍的分布),其斜率隨頻率快速變化,群速度急劇減小,不等于地層縱波速度或套管波速度,響應出現(xiàn)在后續(xù)波形中;離開峰值后沿直線的分布與地層縱波、套管波速度接近甚至相等(見圖3a的B點、E點),響應出現(xiàn)在首波位置,但是頻譜的幅度小,響應波形的幅度也較小。

頻譜幅度隨頻率減小越快,頻譜峰越尖銳,響應的共振特征越明顯,首波響應的振蕩周期越長。這些地層縱波耦合波和套管波的頻譜特征刻畫了其響應波形的形狀,導致聲波測井首波波形形狀隨地層變化,使得測井過程中首波幅度和形狀千變萬化,包含了豐富的地層信息。

現(xiàn)有聲波測井滑行波理論對這些結果并沒有完整的描述,井內液體中傳播的地層縱波耦合波和套管波不能用滑行波解釋。

6.3 與現(xiàn)有聲波測井理論的區(qū)別

上述特征從雙變量復變函數的角度來分析是正常的,即井內外傳播的聲波分別構成雙變量之間的函數關系,在f-k平面構成曲線和直線,通過邊界耦合,曲線和直線相交,雙變量復變函數的極值在交點位置改變分布,滿足相應的邊界條件。但是從單變量復變函數的角度分析,頻率視為常數,只有波數k一個變量,縱波支點處的垂直割線積分對應于聲波測井響應中以地層縱波速度傳播的聲波。垂直割線積分在井筒固有頻率處取得極值[5],該極值是嚴格按照地層縱波速度傳播的首波的幅度[5]。對應的二維譜應該在f-k平面的固有頻率(直線與雙曲線的交點)處取得極值。實際上,在該頻率位置二維譜沒有極值分布[5-6],幅度也很小(與圍繞該支點的積分為0的結論一致)。

垂直割線積分所描述的地層縱波響應實際上是二維譜中的縱波線兩側響應函數的差異產生的。地層縱波經過井壁耦合后在二維譜中已經分裂為沿縱波線的模式波,表現(xiàn)為響應函數的極值。因此,垂直割線積分給出的單頻激勵解只能描述縱波線兩側響應函數的差,并不能完整地描述聲波測井首波的瞬態(tài)響應,它只是首波響應一部分,縱波線周圍的極值才構成首波的主要響應。

聲波測井瞬態(tài)響應的頻率是連續(xù)的,有一個區(qū)間。但是沿地層縱波速度和套管波速度線從二維譜中取出的頻譜是斷開的,斷點周圍是頻譜峰,頻譜峰兩側還屬于不同的模式波。即沿地層縱波線或套管波線取出的頻譜幅度是一段一段的,分別屬于不同的模式波、只在特定的頻率位置幅度大,離開該位置幅度快速減小。這些一段段的二維譜組成地層縱波耦合波、套管波的頻譜,合在一起做Fourier逆變換得到響應波形和連續(xù)的地層縱波耦合波或套管波波陣面(圖6井內與井壁相交的X形的斜直線),它們是這些斷開頻譜共同作用的結果。

多個斷開的頻譜峰構成連續(xù)的耦合波波陣面,這是井內液體中縱、橫波和套管波耦合波的主要特征。對于高頻(85kHz)激發(fā)源,頻帶很寬時,包含多個固有頻率的頻譜峰,構成圖6所示的井內液體X形的波陣面。而聲波測井的頻率范圍(1～25kHz)只能包含一個或兩個固有頻率的響應,響應波形完全由單個斷開的頻譜峰形狀所決定(圖3b),是典型的共振響應。并且在頻譜幅度最大位置二維譜分布轉彎,群速度突變,因此,其瞬態(tài)響應具有特殊的形狀,沿z的幅度分布具有特殊的包絡線,這些均表現(xiàn)在聲波測井首波的波形形狀中,構成首波豐富的形狀變化。

6.4 聲波測井響應函數與耦合方式

聲波測井響應函數是雙變量復變函數,其極值分布于雙變量約束關系對應的曲線上,這些極值刻畫了聲波測井的響應特征,即井內各種聲波沿z方向的相速度和群速度以及幅度。這是井壁邊界和井內、外的聲波相互耦合后產生的頻率f和波數k之間的約束關系、定義域分布的具體表現(xiàn),極值在f-k平面的分布還受制于各聲波之間的耦合特征。

剛性壁的井內液體中其二維譜呈雙曲線形狀,描述井內液體中圓柱界面對徑向傳播的聲波無數次反射后引起的共振特征,稱為井內液體的模式波。地層或套管中存在沿z方向快速傳播的地層縱波或套管波,其二維譜極值沿斜直線分布。它們都通過井邊界與井內液體中的共振聲波耦合,雙曲線和斜直線在f-k平面相交,在交點處,響應函數的極值與分布均被改變,對應的相速度、群速度均發(fā)生變化,形成連續(xù)的模式波分布,該模式波在交點處轉彎,極值分別從交點的上、下(變化的)雙曲線轉彎到左右(變化)的斜直線(見圖5、圖6、圖7中的黃色雙曲線斷開位置和圖3a的C點周圍的分布),或從斜直線轉彎到雙曲線,轉彎過程是連續(xù)的。交點位置沒有極值分布,因為交點既屬于雙曲線又屬于斜直線,交點處的相速度相同,但沿斜直線和雙曲線的斜率即群速度差異大,沿雙曲線和沿斜直線的兩種聲波能量的傳播方向和傳播速度完全不同。所以該交點所代表的頻譜能量不能屬于任何一種聲波,即既不能屬于斜直線沿z方向快速傳播,也不能屬于雙曲線沿傾斜方向以液體共振波的慢群速度傳播。因此,交點處沒有極值。響應函數必須做出改變以適應井內、外聲波耦合的需要。或者說,井外地層的縱波或套管波在井內液體的耦合波在雙曲線與斜直線的交點處(固有頻率處)不能夠存在極值分布。

雙變量復變函數通過幅度和極值分布的這些變化,適應了聲波耦合和邊界條件對f和k取值的限制,完成了聲波之間的耦合,實現(xiàn)耦合波與邊界條件的統(tǒng)一。雙變量復變函數在稍稍偏離縱波線的位置取得極值,極值分布偏離縱波線后其對應的群速度和相速度均與地層縱波速度有小的差異(見圖3a從A點位于縱向線以下,經過B點與縱波線相交再到C點位于縱向線之上)。

從圖3a中還可以看到:單頻的響應是正弦波激勵的響應,其頻率固定。當正弦波的頻率與井筒固有頻率接近時,響應幅度逐漸增大達到峰值。實際上井內液體中單個頻率的激勵有多個模式波響應(對應圖3a 二維譜的豎線遇到的極值),它們都是同一頻率的正弦波,幅度和相位不同,疊加后形成一個幅度和相位差,構成單頻正弦波的穩(wěn)態(tài)響應。它們不像瞬態(tài)響應那樣,不同類型的模式波因為相位不同形成到達時間的差異以及波形形狀的差異,即使疊加在一起也能通過不同源距的波形和頻散曲線進行區(qū)分。

另外,從能量的角度分析,單頻的激勵是無限能量信號,有持續(xù)的后續(xù)能量提供,隨著時間的增加,能量一直提供,保障其響應所需要的能量,共振時幅度可以趨于很大。瞬態(tài)響應的激勵只有一個瞬態(tài)沖擊(連續(xù)的頻帶,頻帶內每個頻率的幅度都是有限的),其總能量是有限的,沒有正弦穩(wěn)態(tài)持續(xù)提供的再激發(fā)能量。單頻的地層縱波耦合波響應的頻譜在二維譜中只是一個點(頻率豎線與縱波線的交點),而瞬態(tài)響應在二維譜中是一段頻率區(qū)間。

通常情況下,連續(xù)的單頻響應疊加(積分)得到瞬態(tài)響應。注意,這里的單頻響應是二維譜所描述的響應,并不是單變量k的復變函數積分,因為,k積分時,頻率f也隨著極值分布改變,并不是常數。單變量復變函數沿縱波支點的垂直割線的積分在二維譜中表現(xiàn)為:在給定的頻率和波數位置跨越縱波線,因縱波線兩側響應函數不同,在跨越時產生響應。該響應以地層縱波速度傳播。

裸眼井中,通過單變量k的復變函數發(fā)現(xiàn):單頻激勵的響應函數在固有頻率處存在獨立的實極點,實極點周圍沒有沿縱波線的連續(xù)分布[6],構不成瞬態(tài)響應的頻譜。單頻的正弦波激勵在波數復平面上有復極點,對應泄露模式,沿雙曲線分布于低波數區(qū)域(在圖3a中是A、D周圍的分布位置,橫波線下方的雙曲線),這些分布只影響近源距的響應波形,是井壁對徑向傳播的聲波沿徑向反射所造成的,并不構成地層縱波耦合波瞬態(tài)波形所需要的頻譜。

實際測量的首波波形是瞬態(tài)的,有一個連續(xù)的頻率段,其頻譜也是連續(xù)的。這就要求響應函數即二維譜沿縱波線周圍有連續(xù)的極值分布,圖3a中交點兩側的二維譜極值沿套管波(縱波線)周圍的連續(xù)分布提供了這樣的瞬態(tài)響應頻譜,而現(xiàn)有的聲波測井理論——單變量復變函數沿垂直割線的積分提供了縱波耦合波的連續(xù)頻譜,其幅度較小;沒有提供沿縱波線連續(xù)分布的極值,實際上,這些極值構成了地層縱波耦合波瞬態(tài)響應連續(xù)頻譜的主要成分。井中瞬變電磁場的響應也具有雙變量復變函數的這些特征。

6.5 井的影響

對聲波測井來講,井的影響主要表現(xiàn)為井筒固有頻率。地層縱波耦合波、套管波均是瞬態(tài)響應,頻譜是連續(xù)的,在固有頻率附近有峰值,離開固有頻率,響應幅度快速減小。圖1所示裸眼井中的反射系數和透射系數同時達到峰值,瞬態(tài)激發(fā)的連續(xù)頻譜在井中轉化為離散的固有頻率后穿過井壁進入套管和地層?？紤]沿z方向傳播(井壁為剛性壁)時,在f-k平面中,k>0,從固有頻率開始井內液體模式波對應的響應函數極值沿雙曲線分布,離開雙曲線,響應幅度快速減小。

井壁是非剛性壁時,井外地層中有縱、橫波或套管波傳播,通過邊界在井內液體中產生耦合波,在f-k平面中沿斜直線分布,與雙曲線相交,地層縱波耦合波或套管波極值越靠近雙曲線其幅度越大,離開雙曲線幅度快速減小。

耦合波傳播時,振動最先在井壁的液體中出現(xiàn),沿井壁和半徑反方向傳播。振動能量以地層縱波速度沿井壁快速傳播,在f-k平面的二維譜中這個能量表現(xiàn)為:雙曲線與斜直線交點處的響應函數極值被移動,沿縱波、套管波斜線有極值分布,將雙曲線截斷,截斷處雙曲線上原有的能量被地層縱波或套管波沿井壁傳播帶走,分散到縱波線或套管波斜線上,構成沿縱波線和套管波線(周圍)分布的耦合波的瞬態(tài)響應所需要的連續(xù)頻譜。

7 分析與討論

聲波測井波形中的地層縱波和套管波均是瞬態(tài)波形,波形形狀在測井過程中變化明顯,均具有共振特征。該波形形狀主要由斷開的頻譜峰決定,與激發(fā)波形的形狀差異很大,受井內液體和地層參數影響。這是井壁對徑向傳播的聲波無數次反射后形成的固有頻率的響應。無論是井內還是井外,其響應只在固有頻率附近幅度大,離開固有頻率,幅度快速減小。聲波測井響應的二維譜中沿地層縱波和套管波的速度線均有極值分布,極值的幅度變化取決于地層縱波或套管波速度與井內液體速度的差和井內液體、地層或套管的物理衰減系數,該極值分布構成瞬態(tài)首波響應的頻譜。

Stoneley波的頻譜連續(xù),是井內液體模式波的雙曲線的漸近線,沒有共振特征,與Stoneley波分布越接近,共振特征越弱,例如橫波線附近的響應;相反,遠離Stoneley波速度的地層縱波和套管波響應共振特征明顯。

在橫波線附近,井內液體中的橫波和偽瑞利波耦合波的極值幅度大,其斜率和分布與Stoneley波接近,橫波線與雙曲線相交位置的二維譜沒有極值,橫波線之上是實極點產生的極值分布,極值幅度大,橫波線之下是復極點產生的極值分布,極值幅度小,交點位置上、下的兩個模式波分布相距比較遠,均是連續(xù)的。沿橫波線(在一定的速度范圍內)取出的頻譜同樣是斷開的,或者說橫波的頻譜也是由一段段斷開的頻譜所構成。斷點之間的距離較大,斷開的雙曲線分布區(qū)域大。因為其頻譜分布連續(xù),離漸近線Stoneley波較近,通常人們將其作為不同的模式波看待,并用截止頻率描述。橫波頻譜的斷點兩側也是連續(xù)的模式波分布,橫波線以上部分的實極點極值幅度大,構成橫波響應的主要成分(頻散曲線),橫波線以下部分的復極點的極值幅度小,對響應貢獻小,兩段共同作用形成模式波的頻譜,共振特征不明顯。

地層縱波和套管波速度遠離Stoneley波速度,只在雙曲線周圍(固有頻率)有幅度較大的響應頻譜,形成頻譜峰,響應波形主要由頻譜峰決定,具有共振特征。隨著套管厚度的增加,出現(xiàn)很多模式波將雙曲線分布以不同斜率和形狀截斷,形成多種極值分布,它們是套管內多種不同速度分布的模式波在井內液體的耦合波。

聲波測井響應中,不論是哪種模式波的耦合波,其速度是多少,隨頻率怎么變,在f-k平面上只要分布靠近雙曲線,其幅度就較大,離開雙曲線則幅度快速減小。每個模式波的耦合波響應均將雙曲線截斷,沿截斷的斜率取該模式波的耦合波的二維譜得到其頻譜,在截斷(固有頻率附近)位置兩側極值幅度均快速減小,形成斷開的頻譜峰,所有模式波的波形形狀均由斷開的頻譜峰決定。頻譜峰斷開是聲波測井響應波形的主要特征之一。其速度一定,頻譜峰附近不連續(xù)。

聲波測井的首波(縱波或套管波)通常由一個或兩個固有頻率附近斷開的頻譜峰響應組成,單個固有頻率的瞬態(tài)響應是共振響應,其波形特點是:以峰值所在的頻率振蕩,單峰的頻譜形狀決定響應波形形態(tài),即包絡線形狀由單個頻譜峰的形狀決定。高頻寬帶激發(fā)時,在激發(fā)探頭的頻帶范圍內有多個這樣的頻譜峰,它們彼此分開,形成離散的頻率,共同構成連續(xù)的耦合波響應和波陣面,此時,共振特征不明顯,單個頻譜峰的響應不突出,其整體響應滿足幾何聲學的規(guī)律。

聲波測井測量瞬態(tài)波形,通過不同源距瞬態(tài)波形的時間延遲(相位)確定地層的縱波速度。從基于幾何聲學的滑行波理論到基于單變量復變函數的解析解理論以及實軸積分方法,人們在對聲波測井響應認識深入的同時帶動了聲波測井技術的快速發(fā)展。

上述聲波測井理論上的認識突破和改變對聲波測井波形的應用表現(xiàn)在:對于聲波時差測井,從頻率域入手,用多個頻率的相速度分布,特別是頻譜較低的相速度分布構成的相速度頻散曲線獲得的聲波時差精度比較高。還可以利用斷開的頻譜峰形狀生成首波綜合衰減系數曲線,顯示地層時差與物理衰減系數,評價非常規(guī)油氣藏以及裂縫油藏。對于套管井測井,根據套管波的共振特征可以構造固井質量評價曲線GAL。

8 結論

實軸積分方法計算的響應一直作為其它數值算法的標準解使用,因為它給出了雙變量復變函數的解,是對聲波測井瞬態(tài)響應完整的描述。其中套管波和地層縱波耦合波的頻譜峰揭示了井筒固有頻率對響應的影響。井外固體中沿井壁傳播的聲波通過邊界耦合到井內液體,其耦合波沿z方向的傳播速度與固體中的傳播速度相同。它與井壁的無數次反射波耦合,構成了雙變量f和k之間的函數關系,影響或改變雙變量復變函數的極值分布,形成了f-k平面的二維譜。沿地層縱波和套管波速度斜線獲取二維譜的極值得到地層縱波耦合波和套管波的頻譜,其在峰值附近是斷開的,單個斷開的頻譜峰構成共振響應。套管井中每個速度比液體速度快的模式波與井內液體耦合后均將雙曲線截斷,沿其速度線取出頻譜,均是斷開的頻譜峰,響應具有共振特征。沿z方向傳播的速度越快,頻譜峰越尖銳,共振響應特征越明顯。一般的聲波測井僅僅涉及到一個或兩個固有頻率,只有一個或兩個頻譜峰,其響應具有共振特征,利用該特征可獲得綜合衰減系數,描述聲波測井首波形狀所包含的豐富地質信息,用于固井質量評價、巖性識別和地層裂縫評價。