基于彈簧剛度法的螺栓分布研究

聶星月，施雷，王健剛，馮定，邵雪，楊江懷

(1.長江大學機械工程學院，湖北荊州 434023；2.中石化機械工程公司第四機械廠，湖北荊州 434024)

0 前言

與常規(guī)螺栓連接不同的是，鉸制孔螺栓連接是采用過盈配合連接兩個零部件的一種連接方式。由于鉸制孔螺栓與被連接件之間緊密配合，因此可以承受較大的剪切作用。在重載設備的緊固連接中，通常采用多鉸制孔螺栓連接來承受較大的徑向載荷。螺栓的分布問題是多鉸制孔螺栓連接載荷分布均勻與否的關鍵。因螺栓分布不均而導致的振動與螺栓損壞問題屢見不鮮[1-3]。但在現(xiàn)有的螺栓組設計技術資料中，并未對鉸制孔螺栓的分布提出明確的要求[4-6]。

目前，國內外研究學者針對螺栓的數(shù)量、尺寸、被連接件的材料、剛度等問題對多螺栓分布進行了研究。NOROOZI等[7]對單軸加載條件下單排和交錯排兩種不同螺栓分布情況進行了試驗研究和比較，發(fā)現(xiàn)螺栓分布方式對承載能力和失效形式有顯著影響。KIYOKAWA等[8]對螺栓的間距進行了實驗研究，結果表明螺栓間距減小會導致螺栓極限強度降低。KONKONG、PHUVORAVAN[9]建立了多螺栓連接的彈簧模型，研究了不同螺栓直徑、板厚和板厚比對螺栓載荷分布的影響。XIANG等[10]考慮了孔隙和摩擦效應，改進了現(xiàn)有的理論剛度方法，該方法縮短了建模時間，對載荷預測具有更好的時效性。LIU等[11-13]提出了改進的三級彈簧法，在考慮螺栓孔拉伸變形的基礎上，提出了孔變形對應的附加剛度概念及計算方法，研究了復合材料多螺栓節(jié)點載荷的分布規(guī)律，結果表明：改進的方法對多螺栓節(jié)點載荷的分布具有更高的預測精度。

通過對上述文獻的研究發(fā)現(xiàn)，目前常采用彈簧剛度法對多螺栓的載荷分布進行預測。該方法將連接件與被連接件簡化為矩形板，然后用單一的剛度計算方法計算其剛度。但用多螺栓連接復雜的零部件時，沒有針對復雜的結構提出剛度計算方法。在井架、起重機等復雜結構中，多螺栓連接不僅僅依靠矩形板提供剛度，還需考慮其復雜的桁架結構。在重載條件下進行簡單的簡化會導致分析結果與實際情況產生較大的差異。因此，本文作者在原有剛度法的基礎之上，針對復雜的結構，提出了一種桁架結構剛度的計算方法，用于研究多螺栓載荷分布的預測。

1 螺栓載荷分布計算方法

1.1 多螺栓連接模型

在齒輪齒條鉆機中，通常采用多鉸制孔螺栓連接齒條與井架。鉆機井架是斷面形狀為“K”形、截面為П形的空間桁架結構。井架大腿、人字架等主要受力件采用H形鋼制造[14]。該特殊結構使井架擁有足夠的強度、剛度和整體穩(wěn)定性。常規(guī)的剛度計算方法僅將連接件簡化為矩形板，考慮板寬和板厚對剛度的影響，并未研究其復雜的空間桁架結構對剛度的影響。

以六螺栓連接的重載齒輪齒條鉆機為例，采用整體彈簧剛度法建立鉆機齒條-螺栓-井架系統(tǒng)動力學模型。在簡化過程中，按照質心不變的原則，將齒條和井架均離散為采用N段無質量的彈簧連接的集中質量。圖1為鉸制孔螺栓連接齒條時載荷分布的彈簧模型。圖中所示的特殊模型是用于六螺栓連接的，但可以針對任意數(shù)量的鉸制孔螺栓進行修改。如圖2所示，其中上板(齒條)稱為拼接板，下板(井架)稱為外板。拼接板的厚度和材料可以與外板的厚度和材料不同，每個螺栓可以有不同的直徑和材料。

圖1 六螺栓連接的彈簧單元模型

圖2 螺栓連接的兩種模型

1.2 螺栓受力分析

Kb1、Kb2、Kb3、Kb4、Kb5、Kb6表示螺栓剛度；Ksk1表示螺栓1～2之間齒條的等效剛度，Ksk2表示螺栓2～3之間齒條的等效剛度，Ksk3表示螺栓3～4之間齒條的等效剛度，Ksk4表示螺栓4～5之間齒條的等效剛度，Ksk5表示螺栓5～6之間齒條的等效剛度；Kspl1、Kspl2、Kspl3、Kspl4、Kspl5與上述類似，表示井架之間的等效剛度；Ksple表示螺栓6與井架自由長度末端之間的井架等效剛度；Kske表示螺栓1與齒條自由長度另一端之間的齒條等效剛度。

關于圖1中的模型，應注意以下幾點：

(1)模型只能在水平方向上自由移動。

(2)所有的彈簧(包括螺栓彈簧)只有水平方向的剛度。

假設摩擦效應可以忽略不計。

如圖1所示，圖中所有彈簧的剛度均已知，可直接確定給定載荷下每個質量的位移，可以確定模型中每個元件的受力圖。例如，圖3中顯示了井架1號件和齒條4號件的受力分析圖，以及其運動方程。

圖3 井架和齒條的受力圖

井架1號件的運動方程為

(1)

齒條4號件的運動方程為

(2)

則可得到如下形式的線性方程組：

(3)

對于準靜態(tài)加載，加速度可以忽略，得到如下方程：

(4)

式中：A1=Ksple+Ksp5+Kb6；A2=Kb6+Ksk5；A3=Ksple+Kspl4+Kb5；A4=Kb5+Ksk5+Ksk4；A5=Kspl3+Kspl4+Kb4；A6=Ksk3+Ksk4+Kb4；A7=Kspl3+Kspl2+Kb3；A8=Ksk3+Ksk2+Kb3；A9=Kspl2+Kspl1+Kb2；A10=Ksk2+Ksk1+Kb2；A11=Kspl1+Kb1；A12=Ksk1+Kske+Kb1。

通過載荷向量P與剛度矩陣K的逆相乘，可以計算出每個質量的位移。

聯(lián)立各節(jié)點的運動方程，可得到基于彈簧剛度法的六螺栓平衡方程矩陣。

KX=F

(5)

整體位移

X=[x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13]T

(6)

以螺栓1為例，計算齒輪齒條鉆機工作時，連接齒條與井架的鉸制孔螺栓所受的剪切應力：

F1=Kb1(x12-x11)

(7)

(8)

式中：x11為質量11的位移；x12為質量12的位移；F1為螺栓1所受的力；τ1為螺栓所受的剪切應力。

單個螺栓的預緊力P1：

(9)

式中：σs為螺栓的屈服應力；d1為外螺紋中徑；d2為外螺紋計算直徑(d2=d3-H/6，即計算直徑為螺紋小徑的基本尺寸d3減去螺紋原始三角形高度H的1/6值)。

1.3 彈簧剛度的計算

步驟1，齒條剛度。

齒條的等效剛度是直接計算的。以螺栓1和2之間的剛度為例：

(10)

式中：Esk為齒條在縱向或加載方向的彈性模量；wsk和tsk分別為齒條的寬度和厚度；p為螺栓之間的間距；d為螺栓的直徑。Ksk2、Ksk3、Ksk4、Ksk5和Kske也使用類似的表達式。

步驟 2，螺栓剛度。

對螺栓剛度的計算，NELSON等提出了以下單搭接螺栓剛度的修正方程[15]：

(11)

式中：下標b、spl、sk分別表示螺栓、外板、拼接板；t表示厚度；E、G分別為彈性模量和剪切模量；Ab表示螺栓的橫截面積；EL、ET分別表示橫向與縱向的彈性模量；系數(shù)β表示連接件上承受應力所產生的螺栓彎矩百分數(shù)。當β=0.15時，與實驗的載荷-應力曲線有很好的一致性。

步驟 3，井架剛度。

圖4(a)為桁架結構橫截面的簡化模型，所示的特殊模型適用于四面封閉的板條結構，但它可修改為任意數(shù)量板條的疊加。圖4(b)為其簡化的計算模型，將板條兩端固定，任意一點處擾度可簡化為正交板條擾度的疊加。假設正交板條寬度分別為B1、B2，依據(jù)材料力學的擾度疊加法，可計算出任意載荷作用下桁架結構的變形量。

對于單位長度的兩端固定單板條，提出了以下的剛度計算公式：

(12)

式中：E為板條的彈性模量；h′為板條高度；l為板條長度；B為板條寬度。

由此可用疊加法計算出任意桁架結構的剛度，板條的長、寬、高以及放置角度均可更改。以圖4(a)所示的四面封閉的板條為例，其單位長度的剛度計算方程為

(13)

圖4 井架應力分析

以螺栓1與螺栓2之間的井架剛度為例：

(14)

h=kh′

(15)

式中：E為井架的彈性模量；l1、l2為井架截面的長度[如圖4(d)所示]；B1、B2為井架截面的寬度[如圖4(e)所示]；h′為井架的實際高度；h為井架的等效高度。Kspl2、Kspl3、Kspl4、Kspl5和Ksple也使用類似的表達式。其中k為等效高度系數(shù)，該系數(shù)表示單位長度的桁架在外力作用下，受力方向的變形量之比，該系數(shù)可采用整體有限元法進行計算，也可以通過實驗求得。

2 試驗部分

2.1 試驗材料

基于齒輪齒條鉆機的對稱式提升箱，考慮部分齒輪失效的特殊情況(單根齒條僅一個齒輪正常工作)，依據(jù)其結構形式及工作原理，重點研究了鉸制孔螺栓在不同分布下，螺栓所受剪切應力的情況。為降低計算復雜度，忽略齒輪與螺紋細節(jié)，建立了兩種齒條固定在井架連接板的幾何模型，如圖5所示。

圖5 井架和齒條的幾何模型

(1)螺栓布置方式是均勻分布，取螺栓間距為a，左端第一個螺栓孔形心與齒條左端距離為p1。

(2)螺栓布置方式是兩側螺栓對稱分布，同一側取螺栓間距為b，左端第一個螺栓孔形心與齒條左端距離為p2。

進行試驗的鉆機名義鉆井深度為4 000 m，鉆機最大鉤載為 2 500 kN，提升裝置可施加的最大下壓力為 625 kN。根據(jù)該鉆機的設計要求，對其進行了相關分析，最終確定鉆機提升裝置中的齒輪材料采用 20CrMnTi，齒條材料采用 40CrNi2Mo，兩種材料具體的屬性參數(shù)如表1所示。同時對齒輪和齒條的表面進行淬火和調質處理。

表1 材料的機械性能

研究的齒輪齒條鉆機，運行速度低，承受載荷大。為減小鉆機整體結構，同時滿足工廠齒輪加工能力，在齒輪齒條傳動系統(tǒng)的設計中，齒輪采用了標準漸開線直齒輪，具體設計參數(shù)如表2所示。

表2 齒輪和齒條基本參數(shù)

分別在齒條上6個不同位置加載，用以模擬齒輪齒條在不同位置嚙合。所有試件的幾何形狀如圖6所示，圖中還顯示了此處使用的螺栓編號。所有試驗均采用鉸制孔螺栓，添加扭矩為39 kN·m。

圖6 帶有螺栓編號的井架連接試件幾何形狀

2.2 試驗方法

試驗是基于自主搭建的齒輪齒條鉆機提升實驗裝置進行的。該實驗裝置由機械系統(tǒng)、控制加載系統(tǒng)、信號采集處理系統(tǒng)幾部分組成。為了測量載荷分布，每個螺栓外部(齒條)安裝了應變片，如圖7所示。結合現(xiàn)場實際情況，試驗最終選擇了BE120-4AA單軸應變片，該應變片為膠基箔式應變片，電阻值較小，受外界干擾較少，適合室外試驗。每個測點需要2個應變片，分別與齒條節(jié)線成0°和90°，其中成90°的應變片在另一應變片上方。

將每個測點上的應變片依次與橋盒(1/4 橋接法)、靜態(tài)應變儀、數(shù)據(jù)采集器、計算機相連，并通過測試軟件進行靈敏度和工作方式的設置，通過調整應變儀使其處于平衡位置。在正式試驗加載前，需先進行預加載，反復加載鉤載 2～3 次，載荷負荷值不超過2×105N，觀察試驗裝置和儀器是否正常工作，如果表現(xiàn)正常，則測試已經處于最佳狀態(tài)，可以開始測試。

此次試驗的齒輪齒條嚙合點有6個，嚙合點分別位于兩相鄰螺栓之間以及第一個螺栓上方。通過控制油缸壓力來模擬鉆桿負載，進行最大設計載荷作用下螺栓剪切應力的測試。通過釋放齒輪離合器模擬可能出現(xiàn)的齒輪失效工況。試驗采用等增量法加載，分別記錄齒輪齒條在不同嚙合點時齒條的靜態(tài)應變狀態(tài)。采集時間設置為10 s。重復此步驟3次，即每組載荷記錄3次應變值，以確保試驗結果的準確性。試驗裝置如圖7所示。

由于螺栓張力在最初的24 h內大約發(fā)生90%的下降，為了考慮螺栓松弛的影響，在裝配后一周進行了測試。螺栓的應變和螺栓的剪切應力兩者呈線性相關。利用這種相關性，可以確定螺栓的剪切應力。

圖7 螺栓剪應力測量試驗

2.3 試驗結果

試驗完成后，對試驗采集的數(shù)據(jù)進行記錄與分析，考慮到使用儀器、設備會受到精度制約，以及所采用的測試辦法存在缺陷，甚至試驗時會受到環(huán)境條件的影響和人為因素的約束，所以試驗得到的應變值存在一定的誤差，故必須對所測得的數(shù)據(jù)進行適當?shù)姆治龊瓦M一步的處理，以減少誤差得到反映實際試驗規(guī)律的物理量。

表3與表4記錄了螺栓在均勻分布與非均勻分布時，齒條上螺栓孔橫向與縱向的微應變ε。

表3 螺栓均勻分布時的應變ε 單位：10-6

表4 螺栓非均勻分布時的應變ε 單位：10-6

由于表中記錄的應變數(shù)據(jù)為微應變，根據(jù)廣義胡克定律可知空間應力狀態(tài)下應力與應變之間的關系：

σ=εE

(16)

則可以計算處各個應變片方向的正應力。為了使分析更加直觀，根據(jù)上述表格繪制了螺栓的剪切應力，如圖8和圖9所示。

圖8 螺栓分布均勻時螺栓的剪應力

圖9 螺栓非均勻分布時螺栓的剪切應力

試驗結果表明：當其中一個螺栓距離載荷位置最近時，該螺栓所受的剪切應力相較于其他5個螺栓更大。兩側對稱分布的螺栓連接中，端部螺栓承受的載荷波動大于更靠近中間螺栓的載荷。3號和4號螺栓位置關于單節(jié)齒條的幾何中心對稱分布，螺栓載荷幅度最為均衡。隨著載荷位置向下移動，1-6號螺栓的剪切應力的平均值逐漸增大，研究認為齒條下端螺栓不僅承受傳動系統(tǒng)傳遞的載荷，同時還需要承受齒條以及系統(tǒng)的自重載荷。當螺栓均勻分布時，螺栓的應力方差大于非均勻分布時螺栓的應力方差，研究認為，螺栓非均勻分布條件下，螺栓組載荷分布更均勻。在材料力學性能恒定的情況下，齒條與螺栓的剛度不同，在承受相同載荷時，兩者產生的彈性形變也存在差異。

3 有限元分析

3.1 模型基本假設

試驗結果表明，螺栓的分布方式對螺栓所受剪切應力會產生影響。為了更詳細地闡明它們的影響，采用簡單的模型進行有限元分析。

基于所設計的井架結構，采用鉸制孔螺栓連接。當被連接件間有相對滑動時，依靠螺栓本身的抗剪作用，防止其運動。其力學模型為一個高度非線性接觸問題。其三維有限元模型網(wǎng)格單元通常高達百萬個單元，數(shù)量巨大，因此需要簡化模型以減少運算。采用有限元軟件對鉸制孔螺栓進行模擬分析，對鉸制孔螺栓連接的模型做如下假設[16]：(1)螺栓材料為各向同性材料；(2)忽略鉆機上其他裝置對螺栓應力的影響。

3.2 模型網(wǎng)格

在此研究中，作者建立了一個多螺栓連接的有限元模型，并分別對每個螺栓施加相同的載荷，計算各個螺栓的剪切應力。以鉸制孔螺栓為研究目標，考慮井架結構和載荷關于中間截面對稱的特點，建立多螺栓連接的有限元模型(只選取對稱軸的一側)。為了更好地考慮三維方向上載荷位置、接觸與結構剛度對鉸制孔螺栓剪應力的影響，旨在使用有限元軟件對考慮載荷位置的齒條多螺栓緊固模型進行有限元方法類分析設計。為了提高計算精度，對齒條螺栓孔附近采取了局部加密的方式。如圖10所示，網(wǎng)格劃分時采用六邊形八節(jié)點單元，生成網(wǎng)格的雅克比均大于0.7。以在齒條上均勻分布的螺栓為例，繪制其三維有限元模型，其模型網(wǎng)格單元為150萬。其中螺栓與齒條的接觸、齒條與井架連接板的接觸、螺母與連接板的切向接觸被定義為摩擦接觸，摩擦因數(shù)分別設為0.2、0.4、0.2，并對螺栓施加39 kN的預緊力。

圖10 鉸孔螺栓連接的三維有限元模型網(wǎng)格劃分

3.3 有限元計算結果

為研究齒輪齒條傳動過程中載荷位置對螺栓承載情況的影響，選取齒輪在齒條上的6個嚙合齒進行分析。通過計算螺栓所受剪切應力的大小作為評估螺栓緊固效果指標。根據(jù)結構對稱特點，僅需對一根齒條上的應變情況進行研究。

依據(jù)上文可知，在齒輪齒條嚙合傳動的過程中，嚙合位置下端最近的螺栓剪切應力最大。為了研究螺栓在不同分布情況下，螺栓所受的最大剪切應力，分別在第一個螺栓上方及兩螺栓之間施加載荷，以模擬齒輪齒條鉆機的動態(tài)工況，然后對嚙合位置下端最近的螺栓進行有限元分析。圖10與圖11顯示了螺栓在不同分布情況下所受的最大剪切應力情況。即使被連接件之間的摩擦力將橫向載荷抵消，螺栓最大剪切應力在不同分布位置下依舊發(fā)生了顯著的變化，證實了螺栓分布情況對螺栓最大剪切應力的影響明顯。且三維有限元法考慮了螺栓Z方向的載荷、接觸和結構剛度等因素，能夠很好地驗證鉸制孔螺栓所受剪切應力情況。

圖11 不同螺栓分布情況下的螺栓最大剪應力

從圖11可以看出：當螺栓均勻分布時，螺栓所受的最大剪切應力平均值為133.94 MPa，方差為163.56 MPa；間隔分布時螺栓所受的最大剪切應力平均值為108.11 MPa，方差為4.41 MPa。因此，在齒輪齒條鉆機提升裝置運行過程中，螺栓組采用非均勻分布時，單個螺栓所受剪切應力較小且齒條受載比較平穩(wěn)。表5與表6表明：通過有限元計算獲得的各鉸制孔螺栓的剪切應力與計算結果十分接近，誤差在10%以內，表明彈簧剛度法具有較高的精度。進一步對比螺栓在兩種不同分布方式下的最大剪切應力，可以看出有限元計算結果大于理論計算結果，主要是由于在理論計算過程中，未充分考慮預緊力以及齒條本身重力對螺栓剪切應力的影響。且在對齒條施加載荷時，也不能完全與理論設計的位置保持一致。使得兩者間存在微小的誤差。但齒輪齒條鉆機在載荷移動過程中，有限元分析得到的螺栓最大剪切應力與理論計算出的最大剪切應力隨螺栓位置變化規(guī)律一致。所以有限元分析所得結果與理論數(shù)據(jù)具有一致性。

表5 螺栓均勻分布時螺栓最大剪切應力

表6 螺栓非均勻分布時螺栓最大剪切應力

4 結論

螺栓分布策略會影響大型重載機構的安全穩(wěn)定，本文作者基于彈簧剛度法，給出了考慮結構復雜連接件的多螺栓連接載荷計算方法。計算了螺栓應力的分布規(guī)律，并通過對多螺栓連接實例的準靜態(tài)試驗與有限元仿真分析對該方法的準確性進行了驗證，得到以下結論：

(1)根據(jù)準靜態(tài)試驗結果，螺栓載荷分布與螺栓的分布策略密切相關。在相同結構尺寸時，非均勻螺栓分布的承載分布均勻性要優(yōu)于均勻分布的螺栓。

(2)采用所建立的多螺栓連接模型，并對模型參數(shù)進行適當?shù)恼{整，可以對不同螺栓間距的螺栓載荷分布情況進行預測。試驗與有限元結果表明：所提出的螺栓載荷計算方法具有較高的準確性。

(3)提出了復雜空間桁架結構的剛度計算方法，為了便于計算，引入了等效高度系數(shù)，根據(jù)該系數(shù)可計算出螺栓載荷波動最小的螺栓間距。但在螺栓之間桁架結構不同時吻合程度相對較差，因而在進一步對模型精細化研究時需對不同結構進行考慮。