張翔宇，許順海，王少萍，耿藝璇，石健，白林迎

(1.北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191；2.中鐵工程裝備集團(tuán)有限公司，河南鄭州 450016)

0 前言

軸向柱塞泵作為液壓系統(tǒng)的核心動(dòng)力元件，具有功率體積比大、結(jié)構(gòu)緊湊、變量方便等優(yōu)點(diǎn)[1]，廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶海工[2]、機(jī)械工程[3]等領(lǐng)域。但柱塞泵突然出現(xiàn)故障，將會(huì)影響整個(gè)系統(tǒng)的正常運(yùn)行，從而給企業(yè)帶來不必要的損失。因此，對柱塞泵進(jìn)行可靠性評估，為系統(tǒng)視情維修及健康管理奠定基礎(chǔ)，具有重要意義。

球面配流副具有結(jié)構(gòu)緊湊、承載面積大、抗傾覆力矩能力強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)[4]，被廣泛應(yīng)用于高壓大流量柱塞泵中。當(dāng)前，球面配流副的研究大多是針對油液及球面配流結(jié)構(gòu)展開的。對于球面配流副間隙的油液，許賢良等[5]在N-S方程和連續(xù)方程的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出球面縫隙流的基本運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而求出速度分布。向倫凱[6]、李小寧和畢諸明[7]通過引入歐拉角表征缸體位姿，建立球面配流副油膜分布的數(shù)學(xué)模型，并且建立了基于N-S穩(wěn)態(tài)層流的間隙流體動(dòng)力學(xué)模型，獲得了配流副密封區(qū)的壓力表達(dá)式。對于球面配流副的結(jié)構(gòu)，李小金等[8]推導(dǎo)出了基于球面坐標(biāo)系的貼體網(wǎng)格生成方程，基于雷諾方程得到了球面配流副的二維穩(wěn)態(tài)壓力場。鄧海順、許賢良[9]將球面配流副和平面配流副的油膜情況進(jìn)行了對比，并提出了球面配流副的最佳平均間隙的概念，進(jìn)一步完善了球面配流副的理論。薛亞峰[10]針對球面配流和平面配流2種不同的配流方式，分別推導(dǎo)了磨損量的預(yù)測公式，結(jié)果表明：球面配流副可以比平面配流副減少約50%的磨損量，可有效提高柱塞泵的使用壽命。關(guān)于可靠性，曹智等人[11]通過時(shí)域特征參數(shù)分析了火箭發(fā)射和航天器在軌等極端環(huán)境下循環(huán)泵的可靠性。張育洋、馬驥[12]根據(jù)威布爾分布壽命評估方法，對污染磨損的液壓柱塞泵進(jìn)行了可靠性評估。關(guān)新等人[13]對風(fēng)力葉片進(jìn)行ANSYS疲勞分析，并計(jì)算了風(fēng)力機(jī)葉片的疲勞可靠性。杜尊令等[14]在隨機(jī)攝動(dòng)理論和四階矩技術(shù)的基礎(chǔ)上，建立了軸向柱塞泵容積效率可靠性及可靠性靈敏度分析方法。RUHI和KARIM[15]通過Kolmogrov-Smirnov準(zhǔn)則建立了基于威布爾分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布三重混合模型的液壓泵可靠性模型。

上述學(xué)者從配流副的結(jié)構(gòu)和配流副間隙的油液出發(fā)，對球面配流副展開了研究，建立其力學(xué)模型和油膜分布模型；或者對其他機(jī)械結(jié)構(gòu)從數(shù)學(xué)理論和軟件分析兩方面進(jìn)行了疲勞和容積等可靠性的分析。配流副作為軸向柱塞泵最易磨損和失效的三大摩擦副之一，缸體受力大的地方在長時(shí)間的高壓大流量工作情況下會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的應(yīng)力集中，導(dǎo)致缸體表面出現(xiàn)裂紋，最終使軸向柱塞泵無法工作。而且球面配流副在高壓的情況下產(chǎn)生的磨損很大，所以球面配流副工作狀態(tài)是否良好是決定軸向柱塞泵是否能夠正常工作的關(guān)鍵因素之一，對其進(jìn)行疲勞和磨損可靠性計(jì)算十分必要。

考慮以上情況，本文作者以柱塞傾斜的球面配流軸向柱塞泵為研究對象，提出一種球面配流軸向柱塞泵的動(dòng)態(tài)疲勞裂紋可靠性和磨損可靠性評估方法。通過考慮柱塞傾斜和油液的影響，對軸向柱塞泵中球面配流副的受力情況進(jìn)行分析，并利用Miner準(zhǔn)則和逆高斯理論對球面配流軸向柱塞泵進(jìn)行可靠性分析[16]。

1 球面配流副的力學(xué)模型

1.1 柱塞傾斜的球面配流軸向柱塞泵

軸向柱塞泵主要由斜盤、缸體、配流盤和柱塞組成，此處研究的柱塞傾斜的球面配流軸向柱塞泵結(jié)構(gòu)如圖 1所示。其中，球面配流副由配流盤的凸球表面、缸體的凹球表面及兩者間的密封間隙組成，并且具有徑向結(jié)構(gòu)緊湊、承載面積大、抗傾覆力矩能力強(qiáng)等特點(diǎn)。

圖1 柱塞傾斜的球面配流軸向柱塞泵結(jié)構(gòu)

此研究以750 mL/r軸向柱塞泵為研究對象，軸向柱塞泵整體模型的主要參數(shù)如表 1所示。

表1 模型主要參數(shù)

1.2 球面配流副油液壓力及流速

軸向柱塞泵中的配流盤凸球表面與缸體凹球表面之間的間隙充滿了油液，在軸向柱塞泵運(yùn)動(dòng)時(shí)，缸體旋轉(zhuǎn)并且晃動(dòng)，此時(shí)會(huì)把油液旋入配流副間隙從而形成油膜。軸向柱塞泵中傾斜柱塞和油液壓力等變動(dòng)的力和力矩會(huì)造成油膜幾何形狀的時(shí)變，使得壓力場分布非常復(fù)雜，形成的油膜對于軸向柱塞泵的運(yùn)動(dòng)分析十分重要。因此，對軸向柱塞泵的球面配流副進(jìn)行受力分析時(shí)，主要考慮油液和柱塞產(chǎn)生的力，并且遵循以下假設(shè)條件：

(1)流體不可壓縮，假設(shè)流體定常?vr/?t=?vθ/?t=?vφ/?t=0；

(2)與液壓力相比，可忽略質(zhì)量力等，即ρg=0；

(3)油膜厚度較小，故忽略徑向移動(dòng)vr=0；

(4)環(huán)形槽φ對稱，假設(shè)vφ=0，?f/?φ=0。

查閱資料可知N-S方程為

(1)

對于球面配流副，以配流盤方向的圓心為原點(diǎn)，建立圖 2所示的球面坐標(biāo)系(r,θ,φ)。

圖2 缸體-球面配流副坐標(biāo)系

已知連續(xù)性方程為

(2)

動(dòng)量方程為

(3)

(4)

(5)

其中：vr、vθ、vφ分別為r、θ、φ3個(gè)方向的流體運(yùn)動(dòng)速度；?vr/?t、?vθ/?t、?vφ/?t分別為r、θ、φ3個(gè)方向的流體運(yùn)動(dòng)加速度；ρ、μ分別為液體密度和運(yùn)動(dòng)黏度。

根據(jù)動(dòng)量方程(3)(4)(5)以及假設(shè)(1)(2)(3)和(4)，推導(dǎo)簡化可得

(6)

(7)

(8)

再根據(jù)連續(xù)性方程(2)可得

(9)

所以

(10)

(11)

由于p和r、φ無關(guān)，則?p/?θ=dp/dθ；并且由平行平面間隙流理論可知，壓力p在間隙任意半徑的微環(huán)上服從線性分布規(guī)律，即dp/dθ與r無關(guān)，式(11)可進(jìn)一步簡化為

(12)

對式(12)積分可得

(13)

根據(jù)邊界條件vθ(R0)=vθ(R0+h)=0可求得

(14)

所以最終可得油液速度為

(R0≤r≤R0+h)

(15)

對圖3所示的球面配流副球面縫隙壓力進(jìn)行分析。

圖3 缸體-球面配流副縫隙壓力示意

在r、θ處取微元面積dA=rsinθdφdr，微流量為

r(2R+h)]sinθdφdr

(16)

由式(16)可知流量為

(17)

其中：φf=φ2-φ1=2π(z-1)α0/(2z)為配流盤上高壓流體作用范圍包角，α0為缸孔油窗口對應(yīng)的圓周角。

式(17)可變換為dp的微分式

(18)

對式(18)兩邊積分可得

(19)

球面配流副沿內(nèi)密封帶(r1～r2；θ1～θ2)的壓力邊界條件為θi=θ1、pi=pd和θ′i=θ2、p′i=ps，令Δp=ps-pd可得球面配流副內(nèi)密封帶的壓力分布表達(dá)式

(20)

同理，球面配流副外密封帶(r2～r3;θ2～θ3)的壓力邊界條件為θo=θ2、po=pd和θ′o=θ3、p′o=ps，可得球面配流副外密封帶的壓力分布表達(dá)式

(21)

1.3 球面配流副對柱塞的反推力

球面配流副所受油液的壓力不僅會(huì)反饋到缸體和配流盤上，也會(huì)反饋到傾斜的柱塞上面，因此需要對柱塞所受球面配流副的反推力進(jìn)行分析。將球面間隙內(nèi)油液的反推力F0分解為沿z軸方向(缸體軸向)的分力F0z和垂直z軸方向的缸體徑向分力F0r。球面配流副力學(xué)模型如圖4所示。

圖4 球面配流副力學(xué)模型

(1)軸向反推力

根據(jù)圖4可以計(jì)算球面配流副所受的軸向反推力為

(22)

軸向反推力矩為

(23)

(2)徑向反推力及總反推力矩

在球面結(jié)構(gòu)下，液壓力P的方向都指向曲率中心(球心)，且均為正壓力。由力的平衡四邊形法則和共點(diǎn)力系的合成定理可知，配流副對缸體的反推力合力F0的方向也必然通過球心。

根據(jù)上述特點(diǎn)和已知的軸向反推力F0z，可求出徑向反推力F0r。

由F0z和Mobz可知F0z的力臂為

Lbz=Mobz/Foz

(24)

sinβf=Lbz/R

(25)

(26)

其中：βf為F0和F0z的夾角。

根據(jù)公式(26)可知徑向反推力為

(27)

因?yàn)閺较蚍赐屏0r與缸體中心桿支點(diǎn)B處的距離為

Lbr=(Lco-Lb+R)-Rcosβf

(28)

所以徑向反推力對支點(diǎn)B的力矩為

Mobr=F0rLbr

(29)

因此總反推力矩為

Mob=Mobz+Mobr

(30)

1.4 柱塞孔對缸體的壓緊力

在軸向柱塞泵的工作過程中，柱塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)會(huì)對缸體產(chǎn)生一定的作用力，其大小為

(31)

假設(shè)m個(gè)柱塞在排油區(qū)，則柱塞孔對缸體的總壓緊力為

(32)

2 基于受力分析和疲勞裂紋的可靠性

2.1 柱塞泵的薄弱環(huán)節(jié)分析

基于上述對柱塞泵的受力分析，在軸向柱塞泵的工作壓力為35 MPa、柱塞傾角為5°的情況下，對于缸體所受的來源于柱塞副及配流副的壓力分布在ANSYS中進(jìn)行仿真，代入所得數(shù)據(jù)，得到缸體的應(yīng)變應(yīng)力云圖分別如圖5和圖 6所示。

圖5 缸體應(yīng)變ANSYS云圖

圖6 缸體應(yīng)力ANSYS云圖

由仿真結(jié)果可得：缸體所承受的最大應(yīng)變?yōu)?.330 4×10-3m/m，最大應(yīng)力約為212.75 MPa，最薄弱環(huán)節(jié)為高低壓腔孔交界的尖角處。長時(shí)間的高壓大流量工作將使得缸體高低壓腔孔交界的尖角處產(chǎn)生嚴(yán)重的應(yīng)力集中，導(dǎo)致缸體表面出現(xiàn)裂紋，最終使軸向柱塞泵無法工作。在正常工作情況下，球面配流副所受壓力較大，因而產(chǎn)生的磨損很大，所以球面配流副工作狀態(tài)是否良好是決定軸向柱塞泵是否能夠正常工作的關(guān)鍵因素之一，對其進(jìn)行可靠性計(jì)算十分必要。

2.2 基于Miner準(zhǔn)則的疲勞分析

當(dāng)應(yīng)力幅值低于疲勞極限，試件循環(huán)次數(shù)超過N0，若試件不發(fā)生損壞，則認(rèn)為在疲勞作用極限下，試件可以無數(shù)次循環(huán)而不發(fā)生失效，這就是Miner準(zhǔn)則，如圖7所示。

圖7 Miner準(zhǔn)則

其中：δ0stat為靜載荷強(qiáng)度；N代表應(yīng)力周期。1段是在靜強(qiáng)度區(qū)，不發(fā)生損壞；2段是在有限壽命區(qū)，其表達(dá)式為

(33)

式中：m和C為時(shí)間材料相關(guān)常數(shù)；Ni、δi表示斜線上任一點(diǎn)坐標(biāo)；Ni表示產(chǎn)生疲勞損壞總的循環(huán)次數(shù)。3段是在無線壽命設(shè)計(jì)區(qū)域。

累計(jì)損壞Miner準(zhǔn)則為

(34)

式中：ni為各應(yīng)力δi對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)；Ni為單一應(yīng)力作用下疲勞破壞總循環(huán)次數(shù)；D為應(yīng)力幅值變化情況下的累計(jì)總損傷；m為疲勞載荷數(shù)。

對于缸體所用的42CrMo材料而言，應(yīng)力疲勞是主要的作用形式，所以此處只考慮應(yīng)力壽命疲勞。基于上述的有限元模型和Miner準(zhǔn)則，將材料參數(shù)從ANSYS Workbench中映射實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)周期疲勞，用以得到準(zhǔn)確的應(yīng)力疲勞壽命。此處假設(shè)缸體的存活率為50%，得到缸體的壽命云圖如圖 8所示，這里設(shè)置存活率為90%作為參考，其壽命云圖如圖9所示。

圖8 存活率為50%的壽命

圖9 存活率為90%的壽命

上述云圖表明，在給定的應(yīng)力條件下，存活率為50%時(shí)，該設(shè)備的最低循環(huán)次數(shù)為4.839×109次，進(jìn)而計(jì)算得出缸體壽命為31 839.52 h。相應(yīng)地，存活率為90%時(shí)，缸體的最低循環(huán)次數(shù)為2.051×107，壽命為213 h。

2.3 疲勞可靠性計(jì)算

機(jī)械結(jié)構(gòu)的疲勞失效是疲勞損傷隨著載荷循環(huán)增加不斷累積造成的。采用S-N曲線和疲勞累積損傷模型對疲勞失效過程進(jìn)行建模，其表達(dá)式為

Nfσm=C

(35)

(36)

(37)

大多數(shù)金屬材料的壽命一般服從對數(shù)正態(tài)分布，一對一概率密度轉(zhuǎn)化法示意如圖10所示，其概率密度函數(shù)(Probability Density Function，PDF)[17]為

fn(Nf)dNf=fd(D)dD

(38)

累計(jì)損傷的概率密度函數(shù)為

lnD～N(rulnNf+lnη，(rσlnNf)2)

(39)

因此可知累計(jì)損傷和疲勞壽命具有類似的概率分布，累計(jì)損傷的對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為

σlnD=rσlnNf

(40)

循環(huán)次數(shù)n的對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σlnn在恒幅載荷下滿足公式[18]：

(41)

因此可得損傷D的對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σlnD為

(42)

總累積損傷對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為

(43)

(44)

關(guān)于累計(jì)損傷的功能函數(shù)為

ZD=lnDc-lnD

(45)

所以可靠度循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律為

(46)

式中：Nfi為根據(jù)S-N曲線獲得的疲勞壽命，若工作環(huán)境更為復(fù)雜，也可采用其他壽命預(yù)測模型獲得Nfi。

在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)匱乏、ri求解困難時(shí)，可令ri=1，疲勞累計(jì)損傷模型變成Miner模型，可靠度計(jì)算公式[19]可簡化為

(47)

圖10 一對一概率密度轉(zhuǎn)化法

根據(jù)以上得到的缸體疲勞損傷的概率分布函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，在已知缸體的最低循環(huán)次數(shù)和壽命的基礎(chǔ)上，得到缸體疲勞可靠性，如圖 11所示。

圖11 缸體疲勞可靠性曲線

3 基于逆高斯理論的可靠性模型

隨著液壓產(chǎn)品可靠性的研究投入，以及各類國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃的不斷開展和落實(shí)，核心機(jī)載部件液壓泵的可靠性研究得到了長足的發(fā)展。從早期對液壓泵失效機(jī)制的分析到通過加速試驗(yàn)獲得故障樣件和故障數(shù)據(jù)，之后進(jìn)一步完善了運(yùn)行過程中的狀態(tài)監(jiān)測，最終實(shí)現(xiàn)了利用實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)對液壓泵進(jìn)行評估。現(xiàn)從液壓泵的性能退化過程出發(fā)，研究軸向柱塞泵的可靠性。在研究性能退化過程中，逆高斯過程模型起到了十分重要的作用，參數(shù)意義清晰，且具有隨機(jī)效應(yīng)和協(xié)變量引入方便等特性。因此對于退化趨勢不可逆的退化過程，采用逆高斯模型分析軸向柱塞泵的性能退化過程。假設(shè)軸向柱塞泵的性能退化量{Y(t),t>0}服從一種參數(shù)μ、δ和形狀參數(shù)為Λ(t)的逆高斯過程，其具有以下性質(zhì)：

(1)Y(0)≡0；

(2)對于任意的t4>t3≥t2>t1有Y(t2)-Y(t1)和Y(t4)-Y(t3)為相互獨(dú)立的退化增量；

(3)對任意t2>t1≥0，退化增量Y(t2)-Y(t1)服從逆高斯分布gIG(μΔΛ(t),δΔ2Λ(t))，ΔΛ=Λ(t2)-Λ(t1)，且Λ(t)是單調(diào)遞增函數(shù)，Λ(0)=0，其中Λ(t)=t，是時(shí)間t>0的線性函數(shù)，gIG(a,b)(a,b>0)的概率密度函數(shù)和累計(jì)分布函數(shù)分別為

(48)

(49)

其中：Φ[·]為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)：

(50)

在逆高斯模型的基礎(chǔ)上，將ANSYS中相對應(yīng)的一對仿真算例生成9組加速退化數(shù)據(jù)的樣本W(wǎng)(t)(N=9)，如圖12所示。

圖12 加速退化數(shù)據(jù)

依照流程生成的仿真數(shù)據(jù)與真實(shí)的退化數(shù)據(jù)存在一定誤差，所以考慮一個(gè)退化樣本的測量誤差值，如圖13所示。因?yàn)樵谕嘶^程中，仿真數(shù)據(jù)的測量誤差不大，對后續(xù)的研究影響較小，所以在之后的可靠性分析中不考慮測量誤差的影響。

圖13 退化過程測量誤差仿真數(shù)據(jù)(1個(gè)樣本)

由于逆高斯過程單調(diào)遞增的特性，因此，缸體的可靠度函數(shù)可以通過對概率密度函數(shù)積分直接求得：

R(t|Λ(t),b)=P(Y(t)-Y(0)

(51)

其中：D為失效閾值。

根據(jù)磨損可靠度函數(shù)得到的缸體磨損可靠性曲線如圖14所示，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，可靠度的整體趨勢下降，但其可靠度始終位于其磨損可靠性95%的置信區(qū)間。在柱塞泵失效之前進(jìn)行重要零部件的更換，或者進(jìn)行一定的維修，可以有效延長軸向柱塞泵的壽命，使其具有更高的使用價(jià)值。

圖14 缸體磨損可靠性曲線

4 基于疲勞和磨損下的整體可靠性模型

軸向柱塞泵在復(fù)雜交變的載荷作用下，載荷、損傷和環(huán)境等不確定因素的分散性和隨機(jī)性會(huì)導(dǎo)致其球面配流副的可靠性呈現(xiàn)很大的分散性，因此從疲勞裂紋和磨損退化兩方面對柱塞泵的球面配流副進(jìn)行可靠性評估。結(jié)合上述對柱塞泵球面配流副疲勞和磨損的研究，為了分析其整體可靠性，將疲勞可靠性和磨損可靠性，即公式(47)和(51)直接相乘并計(jì)算仿真，繪制出圖15所示的缸體-球面配流副的整體可靠性變化曲線。圖中可靠性曲線光滑平緩，整體應(yīng)力循環(huán)次數(shù)的數(shù)量級與疲勞和磨損可靠性中循環(huán)次數(shù)數(shù)量級較低的一致，說明在考慮多種可靠性相結(jié)合時(shí)，會(huì)使得整體可靠性降低。

圖15 整體可靠性

5 結(jié)論

(1)考慮了球面配流副間隙的油液、缸體以及傾斜柱塞對球面配流副的作用，建立了配流副受力分析模型。

(2)結(jié)合有限元仿真，驗(yàn)證了缸體的疲勞失效環(huán)節(jié)，并利用Miner準(zhǔn)則進(jìn)行了球面配流副的疲勞可靠性計(jì)算。結(jié)果表明：最薄弱環(huán)節(jié)為高低壓腔孔交界的尖角處，在給定的應(yīng)力條件下，存活率為50%時(shí)，該設(shè)備的最低循環(huán)次數(shù)為4.839×109次，缸體壽命為31 839.52 h，到達(dá)最低應(yīng)力循環(huán)次數(shù)時(shí)可靠性有較為劇烈的下降。因此在最薄弱環(huán)節(jié)到達(dá)使用極限之前進(jìn)行必要的零部件更換，或者進(jìn)行一定的維修，可以延長軸向柱塞泵的壽命，使它具有更高的使用價(jià)值。

(3)考慮油液、缸體、柱塞對球面配流副綜合作用的情況，采用逆高斯理論計(jì)算球面配流副的可靠性，結(jié)果表明球面配流副可靠度隨時(shí)間逐漸下降，并且其循環(huán)次數(shù)相較疲勞可靠性的循環(huán)次數(shù)降低了一個(gè)數(shù)量級，但球面配流副的可靠性在壽命工作范圍內(nèi)仍較高，工作質(zhì)量有保證。

(4)結(jié)合疲勞裂紋和磨損退化兩方面對缸體進(jìn)行可靠性分析，對柱塞泵缸體-配流副的研究更為全面。文中的研究沒有考慮油液泄漏和油液溫度變化帶來的影響，退化數(shù)據(jù)較少，結(jié)果說服力較低，之后會(huì)在這方面繼續(xù)改進(jìn)。