立體幾何中軌跡問題的方程解法探究

? 湖北省武漢市馬房山中學(xué) 魯前國 ? 湖北省武漢市武昌區(qū)教育局教研培訓(xùn)中心 劉 欣

立體幾何中的動點(diǎn)軌跡問題,在每年的高考復(fù)習(xí)備考中絕對是一個(gè)不會被遺忘的專題,在高考試題中也時(shí)有出現(xiàn),多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn),立足于知識的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題,題型新穎靈活,考查各部分知識間的縱向和橫向聯(lián)系,考查學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力,滲透數(shù)學(xué)思想方法,體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,突顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).由于這類問題往往具有較為復(fù)雜的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,因此很多學(xué)生常常束手無策.下面以兩道高考真題為例,探究兩種不同模式的解題途徑,通過對比體驗(yàn)方程解法的魅力!

1 解法探究

思路一:要求交線長,首先必須明確交線是何種幾何圖形.球面與平面相交時(shí),交線一定是圓,在本題中,球面與側(cè)面BCC1B1的交線就是圓在側(cè)面BCC1B1上的一部分,因此解決問題的關(guān)鍵,就是找到圓心的具體位置,求出半徑和圓弧所對圓心角的大小.

解法1:如圖1,取B1C1的中點(diǎn)E,BB1的中點(diǎn)F,CC1的中點(diǎn)G.

圖1

又因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1為直四棱柱,所以BB1⊥平面A1B1C1D1,于是所以BB1⊥D1E.而BB1∩B1C1=B1,所以D1E⊥側(cè)面B1C1CB.

圖2

在坐標(biāo)平面xBz內(nèi),令x=0,得F(0,1);令x=2,得G(2,1).

試題二(2006年北京卷)平面α的斜線AB交α于點(diǎn)B,過定點(diǎn)A的動直線l與AB垂直,且交α于點(diǎn)C,則動點(diǎn)C的軌跡是( ).

A.一條直線 B.一個(gè)圓

C.一個(gè)橢圓 D.雙曲線的一支

解法1:如圖3,設(shè)l與l′是過定點(diǎn)A與AB垂直的任意兩條直線,則這兩條直線確定平面β,且斜線AB⊥平面β.過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直,可知過定點(diǎn)A與AB垂直的所有直線都在平面β內(nèi),故動點(diǎn)C在平面β與平面α的交線上,問題轉(zhuǎn)化為兩平面的交線問題.

圖3

故選擇:A.

解法2:以B為原點(diǎn),建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系,其中x軸、y軸在平面α內(nèi),z軸垂直于平面α.

圖4

設(shè)直線l上任意點(diǎn)P(x,y,z),A(a,b,c),則

所以a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0.

即ax+by+cz-(a2+b2+c2)=0.

令z=0,得坐標(biāo)平面xBy即平面α內(nèi)動點(diǎn)的軌跡方程為ax+by-(a2+b2+c2)=0,是一條直線.

故選:A.

解題思考:解法1中,動直線l形成過點(diǎn)A與AB垂直的平面β這一思維過程難度較大;解法2中用方程反映動直線上任意一點(diǎn)的空間變化規(guī)律,通過令z=0轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的變化規(guī)律,顯得輕而易舉!

2 解法應(yīng)用

例題在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,且PA=2.若點(diǎn)E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),則直線EF被四棱錐P-ABCD的外接球所截得的線段長為______.

以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系,則E(1,0,0),F(0,1,0),O(1,1,1).

圖5

“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休”,這是華羅庚先生對數(shù)形結(jié)合思想的精辟描述.本文中筆者從方程的角度出發(fā),將復(fù)雜的立體幾何問題代數(shù)化,數(shù)形結(jié)合,相得益彰!