借助數(shù)學(xué)抽象 培養(yǎng)關(guān)鍵能力①
——以“數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題”為例

潘竹樹 李 祎

(1.福建省泉州市第九中學(xué) 362000；2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 350108)

按照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》，抽象能力主要是指通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力[1].史寧中教授指出：數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，抽象包括數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形與圖形關(guān)系的抽象[2].本文以初一年級(jí)數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題為例，對(duì)照數(shù)學(xué)抽象能力分析水平框架，分析學(xué)生抽象能力培養(yǎng)方面存在問題及其原因，在此基礎(chǔ)上結(jié)合實(shí)例分析如何提升學(xué)生的抽象水平，從而實(shí)現(xiàn)從會(huì)解一個(gè)題，到會(huì)解一類題，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

1 依據(jù)理論框架，開展教學(xué)診斷，挖掘抽象價(jià)值

1.1 數(shù)學(xué)抽象能力分析框架

數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力測(cè)評(píng)的重要依據(jù)，數(shù)學(xué)抽象能力雖然不能被直接觀測(cè)，但可以通過學(xué)生在具體任務(wù)中的實(shí)際表現(xiàn)加以推測(cè).有關(guān)初中生數(shù)學(xué)抽象能力的測(cè)評(píng)依據(jù)與水平劃分，盡管在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中并未具體給出，但由于初高中的數(shù)學(xué)抽象具有本質(zhì)的一致性和特征的相似性，因此我們可以參考和借鑒包括高中學(xué)段在內(nèi)的現(xiàn)有研究成果，對(duì)初中生的數(shù)學(xué)抽象能力進(jìn)行水平劃分和測(cè)評(píng)研究.

數(shù)學(xué)抽象能力作為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力之一，涵蓋數(shù)量關(guān)系與空間圖形兩個(gè)橫向維度，可以劃分為歸納與釋義、關(guān)聯(lián)與構(gòu)建、拓展與普適三個(gè)縱向水平[3].據(jù)此，我們根據(jù)以下數(shù)學(xué)抽象能力分析框架，以作為判斷初中生數(shù)學(xué)抽象能力水平的參考.

橫向維度縱向水平歸納與釋義關(guān)聯(lián)與構(gòu)建拓展與普適數(shù)量關(guān)系空間形式在不同情境中形成數(shù)學(xué)概念并對(duì)其內(nèi)涵進(jìn)行解釋,借助特例獲得簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)命題,發(fā)現(xiàn)情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題.將數(shù)學(xué)命題推廣至一般形式,理解并構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,能利用適切語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá).在獲得的數(shù)學(xué)結(jié)論上拓展出新的命題,能夠創(chuàng)造通性通法解決數(shù)學(xué)問題.

1.2 一節(jié)同課異構(gòu)課的教學(xué)診斷

日前，筆者在聽初一的兩節(jié)“同課異構(gòu)”的數(shù)學(xué)課時(shí)，兩位教師讓學(xué)生做了如下同一道練習(xí)題.

如圖1，數(shù)軸上點(diǎn)A、B分別表示-2和6，動(dòng)點(diǎn)P以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)向負(fù)半軸方向移動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)向負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng).在A處有一個(gè)擋板，點(diǎn)Q碰到擋板后，立刻按原速返回.設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求當(dāng)t取何值時(shí)，A、P兩點(diǎn)間的距離與A、Q兩點(diǎn)間的距離相等.

問題1歸納與釋義方面，無(wú)法對(duì)P、Q兩點(diǎn)間的距離及其內(nèi)涵進(jìn)行解釋.

問題2關(guān)聯(lián)與構(gòu)建方面，無(wú)法用含參數(shù)的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)P、Q的一般形式，無(wú)法構(gòu)建“兩點(diǎn)間的距離”與“數(shù)軸上的兩動(dòng)點(diǎn)間的距離”之間的聯(lián)系.

問題3拓展與普適方面，無(wú)法從“一般數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)”拓展到“變向”問題，無(wú)法創(chuàng)造通性通法解決實(shí)際問題.

1.3 數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題的抽象價(jià)值

教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生抽象起點(diǎn)過高、過程不充分和缺乏層次性，是導(dǎo)致學(xué)生抽象能力存在問題的主要原因.

數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題的抽象，有兩重抽象性：數(shù)量到數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形到圖形關(guān)系的抽象.

抽象一：從“數(shù)”到“字母”的抽象，從“字母”到“單項(xiàng)式”的抽象，從“字母”到“多項(xiàng)式”的抽象.

抽象二：從“數(shù)”到“數(shù)軸上的點(diǎn)”的抽象，從“數(shù)軸上的點(diǎn)”到“點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”的抽象，從“點(diǎn)到原點(diǎn)的距離”到“兩點(diǎn)間距離”的抽象.

兩重抽象之間還存在關(guān)聯(lián)：“數(shù)軸上的點(diǎn)”可以用“字母”表示，“點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離”可以用代數(shù)式表示，“兩點(diǎn)間的距離”可以用代數(shù)式表示.

2 還原抽象原型，鋪設(shè)抽象臺(tái)階，培養(yǎng)抽象能力

由于數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)的抽象具有復(fù)雜性、層次性和拓展性，在大單元教學(xué)理念的指導(dǎo)下，通過幾個(gè)不同專題，還原數(shù)學(xué)抽象原型，細(xì)化抽象過程，從直觀感知到理性思維，這是提升學(xué)生抽象水平的重要方式.

2.1 還原回到絕對(duì)值的意義，抽象兩點(diǎn)間距離的本質(zhì)

學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)軸，把小學(xué)階段的“數(shù)”，抽象為初中階段數(shù)軸上的“點(diǎn)”，實(shí)現(xiàn)從“數(shù)”到“形”的飛躍，數(shù)軸是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的良好載體.

出現(xiàn)問題1的主要原因，在于教學(xué)中教師認(rèn)為數(shù)軸上“兩點(diǎn)間的距離”很簡(jiǎn)單，“忽略”了知識(shí)的形成過程，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷完整的知識(shí)形成過程，教學(xué)上的“跳躍”給學(xué)生造成抽象基礎(chǔ)不穩(wěn)固，而解決這個(gè)問題需要回到“絕對(duì)值的意義”這一概念.

如圖2，我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)A與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|.借助絕對(duì)值的定義，可理解AO=|a-0|，這里寫成|a-0|，為學(xué)生理解兩點(diǎn)間距離做鋪墊.

圖2

若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)A、數(shù)b的點(diǎn)B位于原點(diǎn)兩側(cè)、左側(cè)和右側(cè)，通過這三種不同情況的探究，讓學(xué)生親歷抽象過程，得到A、B兩點(diǎn)間的距離AB=|a-b|，當(dāng)a≥b時(shí)，AB=a-b.

數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離建立在絕對(duì)值意義的基礎(chǔ)上，有利于學(xué)生從認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“根部”建構(gòu)所學(xué)知識(shí)，并通過分類討論點(diǎn)A、B三種不同位置情況，形成對(duì)數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象、圖形與圖形關(guān)系的抽象.

2.2 還原回到動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)開始移動(dòng)，抽象到動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)以外其它點(diǎn)開始移動(dòng)

出現(xiàn)問題2，主要有以下兩個(gè)方面原因：其一，移動(dòng)的點(diǎn)不是從原點(diǎn)出發(fā)，給學(xué)生的抽象帶來障礙；其二，學(xué)生抽象水平停留在“數(shù)”的階段，不理解如何用含“字母”的代數(shù)式表示數(shù)軸上的點(diǎn).

解決這個(gè)問題，需還原數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步幫助學(xué)生抽象出如何用字母表示移動(dòng)的點(diǎn).

2.2.1 還原從原點(diǎn)出發(fā)的移動(dòng)

學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)生成的過程，積累從具體到抽象的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能夠更好地理解知識(shí)的含義，提升數(shù)學(xué)抽象能力和抽象水平.

如圖3，當(dāng)從原點(diǎn)O出發(fā)的點(diǎn)向正半軸方向移動(dòng)5個(gè)單位后到達(dá)點(diǎn)A，點(diǎn)A可以表示為0+5=5；同理，當(dāng)從原點(diǎn)O出發(fā)的點(diǎn)向負(fù)半軸方向移動(dòng)b個(gè)單位后到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)B可以表示為0-b=-b.

圖3

2.2.2 拓展到動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)以外其它點(diǎn)開始移動(dòng)

如圖4，點(diǎn)C表示1，如果點(diǎn)C向負(fù)半軸方向移動(dòng)n個(gè)單位到點(diǎn)B，則點(diǎn)B表示為1-n；如果點(diǎn)C以2個(gè)單位/秒的速度向正半軸方向移動(dòng)到點(diǎn)A，移動(dòng)t秒后點(diǎn)A表示為1+2t.

圖4

層次一：從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，過渡到從原點(diǎn)以外其它點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，起始位置產(chǎn)生變化；

層次二：用字母表示點(diǎn)C向負(fù)半軸方向移動(dòng)到點(diǎn)B所表示的數(shù)，結(jié)合了運(yùn)動(dòng)的方向與距離；

層次三：除了結(jié)合運(yùn)動(dòng)方向外，還結(jié)合路程公式s=vt，抽象層次進(jìn)一步提升，對(duì)學(xué)生的抽象能力要求更高.

2.3 還原到“臨界點(diǎn)”為動(dòng)點(diǎn)的出發(fā)點(diǎn)，抽象“反彈”類型的一般情況

出現(xiàn)問題3的主要原因，在于移動(dòng)時(shí)遇到擋板“反彈”，學(xué)生無(wú)法用代數(shù)式表示“反彈”后的動(dòng)點(diǎn)，“反彈”后動(dòng)點(diǎn)的位置與運(yùn)動(dòng)的“方向”、“速度”、“時(shí)間”相關(guān)，對(duì)學(xué)生的抽象能力提出了更高層次的要求.

2.3.1 還原到動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)返回

如圖5，動(dòng)點(diǎn)Q從表示6的點(diǎn)B以2個(gè)單位/秒的速度向負(fù)半軸方向移動(dòng)，在原點(diǎn)O處有一個(gè)擋板，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q碰到擋板后立即按原速返回，則動(dòng)點(diǎn)Q出發(fā)t(t>3)秒后在數(shù)軸上的位置怎么用含t的代數(shù)式表示？

圖5

2.3.2 拓展到動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)以外的其它點(diǎn)返回

如圖6，動(dòng)點(diǎn)Q從數(shù)軸上表示6的點(diǎn)B以2個(gè)單位/秒的速度向負(fù)半軸方向移動(dòng)，在表示-2的點(diǎn)A處有一個(gè)擋板，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q碰到擋板后立即按原速返回，則動(dòng)點(diǎn)Q出發(fā)t(t>4)秒后在數(shù)軸上的位置怎么用含t的代數(shù)式表示？

圖6

3 變式拓展問題，提升抽象層次，培養(yǎng)抽象能力

學(xué)生的抽象水平在歸納與釋義、關(guān)聯(lián)與構(gòu)建、拓展與普適等三個(gè)方面得到逐級(jí)提升之后，這樣學(xué)生就可以輕松解決如上的“反彈”問題，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展，在大單元教學(xué)理念的引領(lǐng)下，還可以進(jìn)一步解決“變速”等問題.

3.1 提升抽象水平后，輕松解決“反彈”問題

當(dāng)學(xué)生抽象水平提升后，學(xué)生能夠輕松解決本文開頭的問題.

當(dāng)4≤t≤6時(shí)，因?yàn)锳P=-2-(-2-t)=t，點(diǎn)Q表示為-2+2(t-4)=2t-10，AQ=2t-10-(-2)=2t-8，所以t=2t-8，t=8.

3.2 變式拓展問題，進(jìn)一步提升抽象層次

圖7

假設(shè)在“折坡數(shù)軸”上，上坡時(shí)的移動(dòng)速度變?yōu)樗铰肪€上移動(dòng)速度的一半，下坡時(shí)的移動(dòng)速度變?yōu)樗铰肪€上移動(dòng)速度的2倍.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處沿“折坡數(shù)軸”以2個(gè)單位/秒的速度向正半軸方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O后，再上坡移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，立即掉頭返回(掉頭時(shí)間不計(jì))；在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C處沿“折坡數(shù)軸”以1個(gè)單位/秒的速度向負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后，再下坡移動(dòng)到點(diǎn)O，然后再沿OA方向移動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P重新回到點(diǎn)A時(shí)所有運(yùn)動(dòng)結(jié)束，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，在移動(dòng)過程中，

(1)點(diǎn)P在第幾秒時(shí)回到點(diǎn)A；

解析：(1)18÷2+6÷1+6÷4+18÷2=25.5(秒).

(2)①當(dāng)0

②當(dāng)9≤t<12時(shí)，點(diǎn)P、Q都在線段OB上，點(diǎn)P表示為0+(t-9)=t-9，點(diǎn)Q表示為6-2(t-9)=24-2t，由t-9=24-2t，得t=11，此時(shí)P、Q相遇；

(i)當(dāng)9≤t<11時(shí)，點(diǎn)P、Q都在線段OB上，且還未相遇，點(diǎn)P表示為t-9，點(diǎn)Q表示為24-2t，因?yàn)镻Q=(24-2t)-(t-9)=33-3t，PO=t-9-0=t-9，所以33-3t=2(t-9)，t=10.2.

(ii)當(dāng)11≤t<12時(shí)，點(diǎn)P、Q都在線段OB上，且已相遇，點(diǎn)P表示t-9，點(diǎn)Q表示24-2t，因?yàn)镻Q=(t-9)-(24-2t)=3t-33，PO=t-9，所以3t-33=2(t-9)，t=15，不在11≤t<12范圍內(nèi)，不符合題意，應(yīng)舍去.

③當(dāng)12≤t<15時(shí)，點(diǎn)P尚未到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)P、Q分別在線段OB、OA上，點(diǎn)P表示t-9，點(diǎn)Q表示0-(t-12)=12-t，因?yàn)镻Q=(t-9)-(12-t)=2t-21，PO=t-9，所以2t-21=2(t-9)，方程無(wú)解，這種情況不成立.

④當(dāng)15≤t<16.5時(shí)，點(diǎn)P從點(diǎn)B返回，點(diǎn)P、Q分別在線段OB、OA上，點(diǎn)P表示為6-4(t-15)=66-4t，點(diǎn)Q表示為12-t，因?yàn)镻Q=(66-4t)-(12-t)=54-3t，PO=66-4t，所以54-3t=2(66-4t)，t=15.6.

⑤當(dāng)16.5≤t<21時(shí)，點(diǎn)P、Q都在線段OA上，點(diǎn)P表示為0-2(t-16.5)=33-2t，點(diǎn)Q表示為12-t，因?yàn)镻Q=(33-2t)-(12-t)=21-t，PO=0-(33-2t)=2t-33，所以21-t=2(2t-33)，t=17.4.

⑥當(dāng)21≤t≤25.5時(shí)，點(diǎn)P、Q都在線段OA上，點(diǎn)P表示為0-2(t-16.5)=33-2t，點(diǎn)Q表示為12-t，因?yàn)镻Q=(12-t)-(33-2t)=t-21，PO=0-(33-2t)=2t-33，所以t-21=2(2t-33)，t=15，不合題意舍去.

4 借助數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)關(guān)鍵能力的若干思考

4.1 回歸抽象起點(diǎn)，重視抽象過程

數(shù)學(xué)抽象是相對(duì)的，高級(jí)抽象是在低級(jí)抽象基礎(chǔ)上進(jìn)行的[4].教學(xué)中，教師不能只關(guān)注復(fù)雜的抽象過程，而應(yīng)回歸簡(jiǎn)單的抽象，不應(yīng)輕易跳過初步感知、建立模型、一般化和符號(hào)化的抽象過程，要夯實(shí)抽象的基礎(chǔ).在挑戰(zhàn)難度較大的抽象問題時(shí)，回歸抽象起點(diǎn)很有必要，好像一群在森林中迷路的人，回到出發(fā)點(diǎn)，有利于下一次重新確定行進(jìn)方向，以擺脫困境.

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷完整的抽象過程、參與完整的抽象活動(dòng)——感知與識(shí)別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化[5].在數(shù)學(xué)抽象的過程中，基本知識(shí)、基本技能相對(duì)容易獲得，學(xué)生最欠缺、最需要的是基本思想的指導(dǎo)和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，這是提高學(xué)生抽象水平的重要手段；注重引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察、直觀感知、思辨確認(rèn)，讓學(xué)生更深入地理解抽象對(duì)象，這是提高學(xué)生抽象水平的關(guān)鍵；在抽象過程中加強(qiáng)學(xué)生間的交流，讓學(xué)生在交流中取長(zhǎng)補(bǔ)短，注重學(xué)生思維的碰撞，這樣可以強(qiáng)化抽象能力的培養(yǎng).

4.2 注重整體設(shè)計(jì)，提升抽象層次

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在教學(xué)建議中指出：?jiǎn)卧w教學(xué)設(shè)計(jì)要整體分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，合理整合教學(xué)內(nèi)容，確定單元教學(xué)目標(biāo)，并落實(shí)到教學(xué)活動(dòng)各個(gè)環(huán)節(jié)，整體設(shè)計(jì)，分步實(shí)施[1].設(shè)計(jì)出體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性的系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象獲得數(shù)學(xué)研究對(duì)象，構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑.

數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的基本步驟為：分離屬性與建構(gòu)模型——概括與一般化——定義與符號(hào)化——系統(tǒng)化[6]．在有關(guān)數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的教學(xué)中，教師同樣要有大單元理念的指導(dǎo)，弄清知識(shí)的來龍去脈，理清本單元知識(shí)間的聯(lián)系，厘清與其他章節(jié)的關(guān)系.教學(xué)中先布好局，對(duì)關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)進(jìn)行必要的拓展，開展必要的項(xiàng)目式專題學(xué)習(xí)，有層次地串聯(lián)知識(shí)，讓學(xué)生擁有全局眼光、開闊視野，幫助學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)知識(shí)體系，在循序漸進(jìn)地逐級(jí)發(fā)展學(xué)生的抽象能力的同時(shí)，避免學(xué)生知識(shí)的碎片化，避免教學(xué)中出現(xiàn)亡羊補(bǔ)牢，以及頭痛醫(yī)頭、腳痛醫(yī)腳的現(xiàn)象.

4.3 重視抽象評(píng)價(jià)，優(yōu)化抽象活動(dòng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在評(píng)價(jià)建議中指出，在關(guān)注“四基”“四能”達(dá)成的同時(shí)，要特別關(guān)注核心素養(yǎng)的相應(yīng)表現(xiàn).不僅要關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握，還要關(guān)注學(xué)生對(duì)基本思想的把握、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，全面考核和評(píng)價(jià)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展[1].教學(xué)中，要細(xì)化每一項(xiàng)關(guān)鍵能力的評(píng)價(jià)指標(biāo)，便于教師評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，再根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)，調(diào)整教學(xué)，優(yōu)化過程，更有針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力.

在有關(guān)數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的教學(xué)中，課前教師要對(duì)相關(guān)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的抽象性進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，力求讓學(xué)生制定策略，明確路徑，經(jīng)歷完整的抽象過程；課中要對(duì)學(xué)生的抽象意識(shí)和抽象思維進(jìn)行評(píng)估，做出及時(shí)調(diào)整，以更好地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象活動(dòng)，積累抽象活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；課后要根據(jù)學(xué)生的作業(yè)情況所反饋的信息做出評(píng)估，要制定并逐步完善評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)，通過考試等手段長(zhǎng)期跟蹤學(xué)生的抽象能力發(fā)展水平，分析、比較與評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，根據(jù)學(xué)生學(xué)情并在理論指導(dǎo)下開展數(shù)學(xué)抽象活動(dòng).

4.4 研究抽象本體，關(guān)注人的發(fā)展

課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)使學(xué)生獲得“四基”，發(fā)展“四能”，形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀[1].數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，它不僅能幫助人們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)技能從具體情境中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)予以表征，而且數(shù)學(xué)抽象還是滿足個(gè)體自身發(fā)展需要的必備能力及思維品質(zhì)[7].

數(shù)學(xué)抽象是人必備的能力，通過抽象，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)事物的特征，揭示事物的本質(zhì)，把握事物之間的聯(lián)系.數(shù)學(xué)抽象是學(xué)習(xí)的需要，在學(xué)習(xí)中通過抽象的過程，學(xué)習(xí)基本知識(shí)、基本技能，感悟基本思想，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，深刻理解數(shù)學(xué)概念、命題以及知識(shí)結(jié)構(gòu)與體系.數(shù)學(xué)抽象能夠培養(yǎng)人的思維，教會(huì)人們抽取對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和圖形特征，辨析異同點(diǎn)，甄別有效信息，剔除干擾因素，抽象得到對(duì)象的本質(zhì)屬性，達(dá)到知行與思維的統(tǒng)一.

數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)不是一朝一夕就能實(shí)現(xiàn)的，需要教師長(zhǎng)期關(guān)注抽象素材，教學(xué)中細(xì)化抽象過程，實(shí)踐中指導(dǎo)抽象方法，活動(dòng)中積累抽象經(jīng)驗(yàn).抽象能力是學(xué)好數(shù)學(xué)最基本的能力之一，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要抓手，需要教師從初一起始年級(jí)就開始滲透抽象思想，讓學(xué)生感悟抽象過程，掌握抽象方法.