厘清要點(diǎn) 突破難點(diǎn)

文／趙軍（正高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師）

在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)，同學(xué)們偶爾會(huì)遇到一些困惑。那么，我們?cè)撊绾握覝?zhǔn)方法，突破難點(diǎn)，解除困惑，使自己的思維和能力得以提升呢？下面，我們一起來(lái)盤點(diǎn)本章的難點(diǎn)問(wèn)題，并對(duì)這些典型問(wèn)題進(jìn)行剖析與歸納，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、配方法和根與系數(shù)關(guān)系的靈活應(yīng)用

例1已知關(guān)于x的方程x2-（2k+1）x

（1）求證：無(wú)論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2滿足x1-x2=3，求k的值。

【問(wèn)題剖析】（1）首先表示出根的判別式b2-4ac=2k2+4k+9，然后運(yùn)用配方法證明這個(gè)代數(shù)式大于0，即證明2k2+4k+9=2（k2+2k+1-1）+9=2（k+1）2+7 大 于0，因?yàn)椋╧+1）2≥0，所以2（k+1）2+7＞0，問(wèn)題得證。

（2）由根與系數(shù)之間的關(guān)式，得x1+。將x1-x2=3 的等號(hào)兩邊平方，得（x1-x2）2=9，再將其轉(zhuǎn)化為（x1+x2）2-4x1x2=9，最后把兩根之和、兩根之積代入，即可求得k=0或-2。

【方法歸納】運(yùn)用配方法的第一步是處理二次項(xiàng)系數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則要提到括號(hào)外，然后在括號(hào)內(nèi)完成配方。其關(guān)鍵是根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)配出“尾平方”，即配出的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，所以難點(diǎn)是如何找出這個(gè)“常數(shù)項(xiàng)”。運(yùn)用根與系數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，要將條件向兩根之和、兩根之積轉(zhuǎn)化，最終還要注意檢驗(yàn)方程是否有實(shí)數(shù)根。

二、含字母系數(shù)的因式分解

例2已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC=5。當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是直角三角形？

【問(wèn)題剖析】仔細(xì)分析，常數(shù)項(xiàng)為k2+3k+2=（k+1）（k+2），故可運(yùn)用“十字相乘”法進(jìn)一步因式分解，即［x-（k+1）］［x-（k+2）］=0，所以x1=k+1，x2=k+2。因?yàn)閗+1＜k+2，所以斜邊可能是k+2 或5。①當(dāng)（k+1）2+52=（k+2）2時(shí)，k=11，此時(shí)k+1=12，k+2=13，符合題意；②當(dāng)（k+1）2+（k+2）2=52時(shí)，k1=2，k2=-5，經(jīng)檢驗(yàn)：k=-5 不符題意。所以k=11或2時(shí)，△ABC是直角三角形。

【方法歸納】本題中，我們視k為常量，以“我的眼中只有你（x）”進(jìn)行拆分，觀察能否運(yùn)用“十字相乘”法進(jìn)行因式分解，在用含k的代數(shù)式表示出方程的根之后，再依據(jù)條件列方程求k，同時(shí)要注意將所求結(jié)果代到題目中進(jìn)行檢驗(yàn)。

三、應(yīng)用題中的“每……每”問(wèn)題

例3某公司8 月份銷售A品牌汽車，在一定范圍內(nèi)，每輛汽車的進(jìn)價(jià)與銷售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1 輛汽車，則該汽車的進(jìn)價(jià)為27 萬(wàn)元，每多售出1 輛，所有售出的汽車每輛的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬(wàn)元。月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給公司，銷售10 輛以內(nèi)（含10輛），每輛返利0.5 萬(wàn)元；銷售10 輛以上，每輛返利1 萬(wàn)元。若每輛汽車的售價(jià)為28 萬(wàn)元，該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12 萬(wàn)元，則需要銷售多少輛汽車？

【問(wèn)題剖析】所謂“每……每”問(wèn)題，即題目中的條件：“每多售出1 輛，所有售出的汽車每輛的進(jìn)價(jià)均降低0.1 萬(wàn)元?！比粼O(shè)售出x輛汽車，則售出的汽車每輛進(jìn)價(jià)為［27-0.1（x-1）］元，結(jié)合返利，分兩種情況列方程。

①當(dāng)x≤10 時(shí)，［28-27+0.1（x-1）］x+0.5x=12，解得x1=6，x2=-20（舍去）；

②當(dāng)x＞10時(shí)，［28-27+0.1（x-1）］x+x=12，解得x1=5，x2=-24（均不符題意，舍去）。

所以，當(dāng)銷售6 輛汽車時(shí)，當(dāng)月盈利12萬(wàn)元。

【方法歸納】解決“每……每”問(wèn)題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是理清進(jìn)價(jià)與銷量之間的關(guān)系，當(dāng)銷量為x輛時(shí)，如何用含x的代數(shù)式表示進(jìn)價(jià)；二是如何計(jì)算利潤(rùn)。而在列出方程、解出方程后，我們還要注意檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義。

事實(shí)證明，只要我們對(duì)疑難問(wèn)題剖析深刻，理解到位，那么，“原本的問(wèn)題”將不再成為問(wèn)題，而會(huì)變成我們成長(zhǎng)的階梯。