巧解方程 事半功倍

文／季承潔

我們在遇到某些特殊的一元二次方程時，如果能根據(jù)其特征，采取特殊的方法，便可以迅速地解決問題。

一、巧用整體思想

例1若方程x2-4092529=0 的兩根為±2023，則方程x2-2x-4092528=0 的兩根為________。

【解析】兩個方程中常數(shù)項的數(shù)字都特別大。我們整體來看，兩個方程有關(guān)聯(lián)，第二個方程可變形為（x-1）2-4092529=0，把第二個方程中的（x-1）看成一個整體，則兩個方程一樣，所以x-1=±2023，易求出原方程的解是x1=2024，x2=-2022。

【點評】整體代入思想是數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法，用整體思想求解一元二次方程，就是把方程中的某些式子看成一個整體，尋找式子與方程之間的關(guān)聯(lián)，通過有針對性的整體處理，簡便快捷地求出方程的解。

二、巧用根與系數(shù)的關(guān)系

例2解方程：2023x2-1011x-1012=0。

【解析】方程中各項的系數(shù)的絕對值都很大，但仔細觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)，方程的各個系數(shù)之和等于0，即2023-1011-1012=0，所以原方程必有一個根等于1。根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有，所以

【點評】對于形如ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程，當(dāng)a+b+c=0 時，方程必有一個根等于1；當(dāng)a-b+c=0 時，方程必有一個根等于-1。

三、巧用ab=0

例3解方程：（19-x）2+x2=361。

【解析】觀察方程，發(fā)現(xiàn)（19-x）2+x2=［（19-x）+x］2。聯(lián)想完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2，令其中的ab=0，則a2+b2=（a+b）2，所以（19-x）x=0。所以x1=0，x2=19。

【點評】觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：如果a2+b2=（a+b）2，則ab=0。應(yīng)用到一元二次方程中，一元二次方程右邊冪的底數(shù)與左邊兩項的冪的底數(shù)的和相等時，此時存在ab=0。