包恒嘉,周禮剛,肖 箭,石學(xué)成

(1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院, 合肥 230026;2.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,合肥 230601;3.安徽大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)中心,合肥230601)

多屬性群決策(MAGDM)是在一組評價指標(biāo)的基礎(chǔ)上,利用一定的決策方法選擇出最優(yōu)方案的決策過程,是當(dāng)代決策科學(xué)研究的一個重要焦點.但是,受到事物本身的不確定性以及專家自身主觀性的影響,在對問題進(jìn)行評價的過程中會存在一定的模糊性.因此,如何通過對方案模糊信息的處理并排序以確定最優(yōu)方案成為一個熱門的研究課題.

為了解決人類在面對復(fù)雜問題提出的模糊評價結(jié)果,Zadeh[1]在1965年提出了模糊集(FS)的理論.眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入研究,如Atanassov[2]提出了直覺模糊集(IFS)的概念,在區(qū)間[0,1]上定義了隸屬度和非隸屬度的概念;Yager[3]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊集(PFS)的概念,來描述隸屬度和非隸屬度的平方和小于1的情況,例如0.6+0.7>1,但是在畢達(dá)哥拉斯模糊集下0.62+0.72<1;對于更復(fù)雜的現(xiàn)實問題,Yager[4]又提出了q-rung orthopair模糊集的概念來描述隸屬度和非隸屬度的q次方和小于1的情況.隨后,Ju等[5]將q-rung orthopair模糊集推廣到區(qū)間形式,從而將隸屬度與非隸屬度引申到區(qū)間形式.

在多屬性決策過程中,經(jīng)常會用到一些經(jīng)典的決策方法,例如VIKOR方法[6],TOPSIS方法[7],ELECTRE方法[8]等.Benayoun等[9]在1966年提出了ELECTRE方法,該方法基于超越關(guān)系以及一致性和不一致性的概念[10],通過使用一致性指數(shù)和不一致性指數(shù)分析對方案進(jìn)行排序[11].在ELECTRE方法提出不久后,許多學(xué)者對其進(jìn)行研究改進(jìn)和推廣,于是出了對ELECTRE Ⅱ、ELECTRE Ⅲ、ELECTRE Ⅳ、ELECTRE IS和ELECTRE TRI等[12-15]多種方法.

目前來說,ELECTRE Ⅲ因其使用偽準(zhǔn)則以及能處理不精確的初始數(shù)據(jù)等優(yōu)點,被廣泛應(yīng)用于區(qū)間直覺模糊集[16]、區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集[17]中.考慮將ELECTRE Ⅲ與區(qū)間q-rung orthopair模糊集結(jié)合,提出q-rungorthopair ELECTRE Ⅲ方法,并利用Chebyshev距離測度、最大偏差法進(jìn)行決策,最終結(jié)合證券投資的多屬性決策案例分析方法的有效性和準(zhǔn)確性.

1 預(yù)備知識

定義1[18]設(shè)X為一論域,則X上的一個q-rung orthopair模糊集(q-ROFS)可定義為:

G={x,uG(x),vG(x)|x∈X},

(1)

其中:函數(shù)uG(x)∶x→[0,1],vG(x)∶x→[0,1]分別為元素x屬于X的隸屬度和非隸屬度,并滿足約束條件0<(uG(x))q+(vG(x))q≤1,(q≥1),則q-ROFS的猶豫度可表示為:

πG(x)=(1-(uG(x))q+(vG(x))q)1/q,

(2)

其中:πG(x)∈[0,1].

特別地,當(dāng)q=1時,G為直覺模糊集;當(dāng)q=2時,G為畢達(dá)哥拉斯模糊集.同時,為了方便起見,稱(uG(x),vG(x))為q-rung orthopair模糊數(shù)(q-ROFN),表示為(uG,vG).

定義2[19]設(shè)X為一論域,則X上的一個區(qū)間q-rung orthopair模糊集(q-RIVOFS)可定義為:

(3)

(4)

(5)

1)加法運算

2)乘法運算

3)數(shù)乘運算

4)冪運算

(6)

(7)

2 一種新的區(qū)間q-rung orthopair模糊距離測度

(8)

證明：1)、2)顯然成立,下證3).

定理證畢.

3 基于新的區(qū)間q-rung orthopair模糊距離測度的ELECTRE Ⅲ方法

(9)

步驟 3:求解屬性權(quán)重向量Ω=(ω1,ω2,…,ωn)T,可構(gòu)建如下偏差最大化模型:

(10)

利用拉格朗日乘數(shù)法可求得:

(11)

標(biāo)準(zhǔn)化即可得到:

(12)

步驟4:利用式(13)構(gòu)造屬性cj下,方案ai與al之間的和諧系數(shù):

(13)

步驟5:根據(jù)式(14)計算方案ai與al的一致優(yōu)先度:

(14)

步驟6:利用式(15)計算屬性cj下,方案ai與al之間的不和諧系數(shù):

(15)

步驟7:利用式(16)計算方案ai與al的超序度:

(16)

步驟8:利用式(17)計算方案ai的一致可信度:

(17)

利用式(18)計算方案ai的不一致可信度:

(18)

利用式(18)計算方案ai的凈可信度:

Φ(ai)=Φ+(ai)-Φ-(ai),i=1,2,…,n.

(19)

凈可信度Φ(ai)反映了ai排序的級別優(yōu)先性,即Φ(ai)越大,ai的排序越靠前.

4 案例分析

在經(jīng)濟(jì)空前繁榮的大背景下,證券投資是熱門話題之一.三位基金分析人(dk,k=1,2,3)針對5項基金購買屬性指標(biāo):基金收益能力(c1)、風(fēng)險控制能力(c2)、業(yè)績持續(xù)能力(c3)、經(jīng)理擇股能力(c4)以及經(jīng)理擇時能力(c5)進(jìn)行綜合評估,運用區(qū)間q-rung orthopair模糊數(shù)表示.

表1 專家d1的區(qū)間q-rung orthopair模糊評價矩陣

表2 專家d2的區(qū)間q-rung orthopair模糊評價矩陣Table 2 Interval q-rung orthopair fuzzy evaluation matrix of expert d2

表3 專家d3的區(qū)間q-rung orthopair模糊評價矩陣Table 3 Interval q-rung orthopair fuzzy evaluation matrix of expert d3

表4 區(qū)間q-rung orthopair模糊評價矩陣Table 4 Interval q-rung orthopair fuzzy evaluation matrix

表5 不和諧系數(shù)Table 5 Discordance index

步驟 3:根據(jù)式(12)計算每個方案的屬性權(quán)重向量Ω,得到

Ω=(0.204 5,0.149 9,0.301 2,0.202 4,0.142 0)T.

步驟6:由式(16)計算方案ai與al的超序度,得到如下超序度矩陣:

步驟7:根據(jù)式(19)計算各方案的凈可信度,得到:

Φ(a1)=0.718 8,Φ(a2)=-3.520 0,
Φ(a3)=0.578 9,Φ(a4)=-0.162 9,
Φ(a5)=0.2385 2.

顯然,Φ(a5)?Φ(a1)?Φ(a3)?Φ(a4)?Φ(a2),故a5?a1?a3?a4?a2,即最優(yōu)方案為方案a5,說明購買第5種證券投資基金收益最大.

為了考察不同的q值變化對決策方案的影響,分別取q=1,2,…,10,凈可信度圖像如圖1所示.

圖1 凈可信度Φ(ai)隨q值變化圖Figure 1 Change of net credibility Φ(ai) with value q

從圖1可以看出隨著q值變化對決策方案的影響,隨著參數(shù)q的取值變化,決策結(jié)果的方案排序有所變化,但最優(yōu)方案都是a5,最劣方案都是a2,其他方案的排序略有波動,與文獻(xiàn)[7]中的排序結(jié)果基本相同,說明提出的基于新的區(qū)間q-rung orthopair模糊距離測度的ELECTRE Ⅲ方法的有效性和實用性.

對于多屬性群決策問題,除了考慮客觀的屬性指標(biāo)對決策結(jié)果的影響,還要考慮到專家對閾值的考量.新的區(qū)間q-rung orthopair模糊的ELECTRE Ⅲ方法使用偽準(zhǔn)則,使得其具有能處理不精確初始數(shù)據(jù)能力.文獻(xiàn)[16]和[17]分別提出了基于區(qū)間直覺與區(qū)間Pythagorean模糊的ELECTRE Ⅲ方法,相比較而言,提出的方法能解決實際問題的范圍更廣泛,可根據(jù)不同情況調(diào)節(jié)參數(shù)q的大小.

5 結(jié) 語

本文提出了一種基于區(qū)間q-rung orthopair模糊的Chebyshev距離測度、最大偏差法以及ELECTRE Ⅲ的多屬性群決策方法.首先提出了基于區(qū)間q-rung orthopair模糊的Chebyshev距離測度,并討論其性質(zhì);在其基礎(chǔ)上提出求屬性權(quán)重的最大偏差模型,在權(quán)重未知的情況下求解屬性權(quán)重;最后利用區(qū)間q-rung orthopair模糊的ELECTRE Ⅲ方法,解決了證券投資方案選擇問題.通過與過去決策方法的對比,驗證新方法具有有效性和實用性.