焦美菊, 郝建名, 陳露丹, 鄭元?jiǎng)?/p>

(鄭州大學(xué) 水利與交通學(xué)院,河南 鄭州 450001)

隨著中國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的提高和交通運(yùn)輸行業(yè)的快速發(fā)展,車(chē)型日益復(fù)雜化并且車(chē)輛數(shù)量也在持續(xù)增加,導(dǎo)致車(chē)輛荷載成為威脅既有大型橋梁運(yùn)營(yíng)安全的重要因素[1]。因此,建立準(zhǔn)確合理的車(chē)輛荷載效應(yīng)極值模型成為在役大型橋梁結(jié)構(gòu)安全性評(píng)估和可靠度研究的關(guān)鍵所在[2]。然而,車(chē)輛荷載受到多種因素的影響,具有隨機(jī)性大、時(shí)變性強(qiáng)等特點(diǎn),導(dǎo)致車(chē)輛荷載效應(yīng)及其分布也具有高度不確定性[3]。如何建立更加準(zhǔn)確有效的荷載效應(yīng)極值預(yù)測(cè)模型,一直是相關(guān)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)與重點(diǎn)[4]。

Xia等[5]用Gumbel分布擬合相對(duì)較短時(shí)間內(nèi)記錄的車(chē)輛荷載極值,并用其擬合分布來(lái)推斷長(zhǎng)期的荷載效應(yīng)極值;Obrien等[6]針對(duì)實(shí)際車(chē)輛荷載具有非平穩(wěn)隨機(jī)的特點(diǎn),假定作用過(guò)程可以分解為若干個(gè)短期平穩(wěn)過(guò)程,并采用GEV(generalised extreme value distributions)分布對(duì)其進(jìn)行擬合,進(jìn)而得到實(shí)際車(chē)輛荷載的效應(yīng)極值模型;Zhou等[7]在橋梁車(chē)輛荷載受多種因素影響而不滿足獨(dú)立同分布時(shí),提出混合超閾值法的GPD(generalised pareto distribution)模型來(lái)預(yù)測(cè)車(chē)輛荷載效應(yīng)極值,得出更加準(zhǔn)確合理的預(yù)測(cè)結(jié)果;周軍勇等[8]分析混合超閾值方法的難點(diǎn),并解決了樣本數(shù)據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)、閾值選取以及參數(shù)修正等重要問(wèn)題。

GEV模型在數(shù)據(jù)選擇時(shí)一個(gè)區(qū)組只取其最大值,不能很好地利用數(shù)據(jù)分布尾部的已有信息,樣本數(shù)據(jù)利用不經(jīng)濟(jì)[9]。GPD模型雖然能充分利用數(shù)據(jù)中的有效信息,但是模型不包含時(shí)間信息,不能體現(xiàn)車(chē)輛荷載的時(shí)變特性[10]?；诖?本文將2種模型結(jié)合起來(lái),建立一種更加符合實(shí)際車(chē)輛荷載效應(yīng)極值的概率模型,從而保障既有大型橋梁的運(yùn)營(yíng)安全。

1 極值理論及極值模型

1.1 廣義極值分布與區(qū)組最大值模型

荷載效應(yīng)建模的理論基礎(chǔ)是極值統(tǒng)計(jì)理論[11]。令Mn=max(X1,X2,…,Xn) ,X1,X2,…,Xn為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,分布函數(shù)為F(x)。如果存在常數(shù)列{an>0}和{bn} ,當(dāng)n→∞時(shí),使得

(1)

成立,其中H(x)為非退化的分布函數(shù),引入位置參數(shù)μ和尺度參數(shù)σ,可以采用統(tǒng)一的表達(dá)形式[12]:

(2)

式中:μ、ξ∈R;σ>0;H為廣義極值分布;ξ為形狀參數(shù)。當(dāng)ξ=0時(shí),H表示Gumbel分布。當(dāng)ξ>0時(shí),H表示Fréchet分布。當(dāng)ξ<0時(shí),對(duì)應(yīng)Weibull分布。

根據(jù)以上理論,若樣本數(shù)量充足,則各組數(shù)據(jù)的最大值服從GEV分布,并且利用這些極值數(shù)據(jù)構(gòu)建區(qū)組最大值模型[13]。

1.2 廣義Pareto分布與超閾值模型

如果隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

(3)

則稱(chēng)X服從廣義Pareto分布,其中μ∈R為位置參數(shù);σ>0為尺度參數(shù);ξ∈R為形狀參數(shù)。根據(jù)形狀參數(shù)ξ的不同,廣義Pareto分布也有3種表示形式:Pareto Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型分布。

在樣本數(shù)量較小,或不能按天或月劃分時(shí)段長(zhǎng)度時(shí),為了充分利用數(shù)據(jù)中的極值信息,有時(shí)需要考慮超過(guò)某個(gè)很大值(稱(chēng)為閾值)的所有數(shù)據(jù),并利用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,即超閾值模型[14]。

2 區(qū)組超閾值模型

2.1 模型的提出和建立

區(qū)組超閾值模型將上述2種模型相結(jié)合,只需要在建立觀測(cè)序列的超閾值模型后,根據(jù)GP分布參數(shù)得到GEV分布參數(shù),然后根據(jù)不同時(shí)段長(zhǎng)度上最大值分布參數(shù)之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)不同時(shí)段長(zhǎng)度上荷載效應(yīng)最大值的分布預(yù)測(cè)。這與原有的超閾值建模步驟組合形成了區(qū)組超閾值模型完整的建模步驟[15]。

2.2 閾值選擇

閾值u的選擇是采用閾值模型進(jìn)行超閾值建模時(shí)的關(guān)鍵,u的大小直接決定著有效樣本的數(shù)量。本文采用平均剩余壽命圖,對(duì)于大于某一合理閾值u0的閾值u,樣本平均超出量函數(shù)是u的線性函數(shù),由以下點(diǎn)集構(gòu)成:

(4)

式中:nu為超出閾值u的次數(shù),平均剩余壽命圖應(yīng)近似為線性。因此,若圖中某一閾值u0以后剩余壽命斜率能保持不變,則這個(gè)點(diǎn)通?？梢宰鳛橐粋€(gè)合理的閾值。

2.3 模型檢驗(yàn)

通常采用概率圖、分位數(shù)圖、重現(xiàn)水平圖以及概率密度圖來(lái)評(píng)估擬合的GP分布的質(zhì)量[16]。

(5)

(6)

(3)重現(xiàn)水平圖。在極值分析中,所謂T的重現(xiàn)水平u(T)就是要求在T時(shí)間內(nèi),超過(guò)閾值u(T)的平均次數(shù)為1,此時(shí)要求每年只有一個(gè)觀測(cè)值[17]。假定一形狀參數(shù)和尺度參數(shù)分別為ξ和σ的GP分布是隨機(jī)變量X對(duì)閾值u的超閾值分布。在極值建模中,xm為m次觀測(cè)的回歸水平。如果每年有ny次觀測(cè),則N年重現(xiàn)水平就是m=Nny次觀測(cè)的重現(xiàn)水平。因此,N年的重現(xiàn)水平為

(7)

由點(diǎn)集{(logm,xm)}構(gòu)成的軌跡圖稱(chēng)為重現(xiàn)水平圖。

2.4 參數(shù)估計(jì)

在對(duì)極值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模時(shí),點(diǎn)過(guò)程描述為超閾值模型轉(zhuǎn)換為最大值模型提供了方法。概率知識(shí)表明,當(dāng)n很大且p接近于0時(shí),可以用均值為np的泊松分布來(lái)近似含有參數(shù)n和p的二項(xiàng)分布[18]。因此,假定稀有事件發(fā)生次數(shù)的序列由參數(shù)為λ的泊松過(guò)程控制,那么,在時(shí)間間隔T內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)NT服從均值為λT的泊松分布,即

Pr{NT=k}=[(λT)ke-λT]/k!,k=0,1,2,…。

(8)

當(dāng)已知GP分布參數(shù)ξ、σ和u時(shí),可求得相應(yīng)的GEV分布參數(shù)ξ、σ、μ:

σ=σ*λξ;

(9)

(10)

2種分布的形狀參數(shù)ξ保持不變,且上述GEV分布的時(shí)間尺度為單位時(shí)間。如果求時(shí)間間隔為T(mén)的GEV分布參數(shù),由式(8)可知,相應(yīng)的泊松分布參數(shù)為λT,則用λT代替式(9)～(10)中的λ即可得到時(shí)間間隔為T(mén)的GEV分布的分布參數(shù):

σT=σ*(λT)ξ;

(11)

(12)

式中:形狀參數(shù)ξ仍然保持不變。

3 實(shí)例應(yīng)用

3.1 工程實(shí)例簡(jiǎn)介

本文主要工作圍繞某大型斜拉橋結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)展開(kāi)。該斜拉橋健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在主梁上共安裝50個(gè)鋼縱向應(yīng)變傳感器,其中,本文應(yīng)用的鋼縱向應(yīng)變傳感器在主跨跨中截面布置及其編號(hào)如圖1所示。

圖1 跨中截面鋼縱向應(yīng)變布置圖及其編號(hào)

3.2 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的預(yù)處理

在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究之前,需要對(duì)原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。傳感器失效不工作或者是不能正常工作主要造成以下3類(lèi)異常情況:①傳感器能夠正常輸出數(shù)據(jù),但是輸出結(jié)果為超過(guò)正常幅度的不合理極大值或者是極小值;②傳感器能夠輸出信息,但是輸出信息為非數(shù)值;③傳感器不能正常輸出信息,造成一段數(shù)據(jù)的缺失。這些非正常情況都會(huì)影響后續(xù)研究工作的順利進(jìn)行,因此需要進(jìn)行剔除[19]。本文所采用數(shù)據(jù)均為處理后數(shù)據(jù)。

3.3 車(chē)輛荷載效應(yīng)時(shí)變極值模型

根據(jù)區(qū)組超閾值模型建模方法,首先以傳感器SEW2在1 a內(nèi)的車(chē)輛荷載縱向應(yīng)變?yōu)槔齺?lái)說(shuō)明超閾值模型建模的具體過(guò)程,然后給出其他鋼縱向應(yīng)變傳感器的超閾值模型建模結(jié)果,并且所有鋼縱向應(yīng)變建模樣本時(shí)長(zhǎng)均為1 a。

首先,根據(jù)平均剩余壽命圖選擇合理閾值。鋼縱向應(yīng)變傳感器SEW2的車(chē)輛荷載縱向應(yīng)變的剩余壽命圖及其95%置信區(qū)間如圖2所示。圖 2顯示,點(diǎn)u=30附近,平均剩余壽命曲線有個(gè)折角,因此,可以初步判斷最小合理閾值u0=30。進(jìn)一步對(duì)不同閾值下的超閾值模型進(jìn)行K-S檢驗(yàn),得到最小合理閾值u0=29。圖3給出了超閾值概率fu=P(X>u)隨閾值u的變化曲線。隨著閾值u的增大,超閾值概率fu迅速減小,超閾值的離散性也顯著增大,因此,為了保證模型的可靠性,合理的閾值選擇區(qū)間可取[29,45]。

圖2 SEW2的車(chē)輛荷載應(yīng)變的平均剩余壽命圖

圖3 超閾值概率圖

其次,采用u=35對(duì)相應(yīng)的車(chē)輛荷載應(yīng)變進(jìn)行超閾值建模,結(jié)果如圖4所示。P-P圖和Q-Q圖均具有非常好的線性,經(jīng)驗(yàn)概率密度和擬合的GP密度函數(shù)也非常吻合。重現(xiàn)水平圖顯示,由觀測(cè)樣本得到的經(jīng)驗(yàn)重現(xiàn)水平所描繪的點(diǎn)也均在重現(xiàn)水平的置信度為95%的置信區(qū)間內(nèi)。

圖4 SEW2車(chē)輛荷載應(yīng)變超閾值模型診斷

最后,按照上述過(guò)程對(duì)其他鋼縱向應(yīng)變傳感器位置處的車(chē)輛荷載應(yīng)變進(jìn)行超閾值模型建模。本文在選擇閾值u0時(shí),均對(duì)不同閾值的超出量的GP分布擬合做了K-S檢驗(yàn)[20]。選擇能通過(guò)GP分布擬合的K-S檢驗(yàn)的最小閾值作為u0,各應(yīng)變傳感器處車(chē)輛荷載應(yīng)變的平均剩余壽命及所選最小合理閾值如圖5所示。

圖5 傳感器車(chē)輛荷載應(yīng)變的平均剩余壽命圖

根據(jù)傳感器SEW2的建模步驟,對(duì)每一處鋼縱向應(yīng)變傳感器的車(chē)輛荷載應(yīng)變,選擇一合適的閾值,如表1所示。

表1 車(chē)輛荷載應(yīng)變超閾值模型

根據(jù)所建立的GP模型,建立SEW1、SEW3、SEW4、SEW5車(chē)輛荷載縱向應(yīng)變的模型診斷圖,分別如圖6～9所示。4幅圖中的Q-Q圖、P-P圖都具有非常良好的線性,雖然在P-P圖中擬合直線的尾部有個(gè)別點(diǎn)稍偏離直線,但是這些偏離直線的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的較大車(chē)輛荷載應(yīng)變是由超重車(chē)所引起的,而超重車(chē)為個(gè)別現(xiàn)象,且具有較大的隨機(jī)性,因此不影響所擬合模型的合理性。

圖6 SEW1車(chē)輛荷載應(yīng)變超閾值模型診斷圖

在圖6和圖7給出的重現(xiàn)水平圖中,由于頂板車(chē)輛荷載縱向應(yīng)變的超閾值分布形狀參數(shù)ξ的估計(jì)值是負(fù)值,因此相應(yīng)的分布支撐就有上限值,故重現(xiàn)水平圖也應(yīng)漸進(jìn)地趨于某個(gè)有限值,所以重現(xiàn)水平曲線也顯示了GP模型的合理性。由于底板車(chē)輛荷載縱向應(yīng)變的超閾值分布形狀參數(shù)ξ的估計(jì)值是正值,則相應(yīng)的分布支撐的上界無(wú)限,故重現(xiàn)水平曲線也應(yīng)該是趨于無(wú)窮大的,如圖8和圖9中的重現(xiàn)水平圖所示,但是這顯然是不合理的,因?yàn)檐?chē)輛荷載應(yīng)變是不可能無(wú)限增大的,由此說(shuō)明采用GP模型的過(guò)分外推并不可靠。本文結(jié)合所研究橋梁的設(shè)計(jì)使用年限,外推到100 a的重現(xiàn)水平。最后,4幅圖的密度曲線的估計(jì)均與經(jīng)驗(yàn)直方圖有很好的吻合。各擬合的GP分布的分布參數(shù)估計(jì)值如表1所示。根據(jù)該模型參數(shù)可以很方便地得到車(chē)輛荷載縱向應(yīng)變的概率密度函數(shù),即圖4和圖6～9各模型診斷圖中的概率密度圖。

圖7 SEW3車(chē)輛荷載應(yīng)變超閾值模型診斷圖

圖8 SEW4車(chē)輛荷載應(yīng)變超閾值模型診斷圖

圖9 SEW5車(chē)輛荷載應(yīng)變超閾值模型診斷

根據(jù)式(9)～(10),利用表1所給數(shù)據(jù)即可求得車(chē)輛荷載應(yīng)變的年最大值分布參數(shù)(GEV分布),結(jié)果見(jiàn)表2。表2顯示,頂板車(chē)輛荷載應(yīng)變極大值模型的形狀參數(shù)小于0,而底板的形狀參數(shù)大于0,因此,由經(jīng)典極值理論可知,頂板車(chē)輛荷載應(yīng)變的最大值服從Fréchet分布,而底板車(chē)輛荷載應(yīng)變的最大值服從Weibull分布。

表2 車(chē)輛荷載應(yīng)變年最大值分布參數(shù)

式(11)～(12)給出了時(shí)間長(zhǎng)度為T(mén)時(shí)的GEV分布參數(shù),將表2中年最大值分布參數(shù)代入這2個(gè)公式可得到任意時(shí)間長(zhǎng)度T內(nèi)車(chē)輛荷載應(yīng)變最大值的GEV分布參數(shù),跨中截面車(chē)輛荷載應(yīng)變?cè)?00 a內(nèi)的最大值分布的概率密度的變化過(guò)程如圖10所示。

圖10 年限T內(nèi)車(chē)輛荷載應(yīng)變的概率密度

由圖10可知,隨著預(yù)測(cè)年限T的增大,車(chē)輛荷載應(yīng)變最大值分布向右移動(dòng),但是相同時(shí)間間隔內(nèi)移動(dòng)的幅度越來(lái)越小,最后趨于穩(wěn)定,這顯然是合理的,因?yàn)闊o(wú)論統(tǒng)計(jì)年限有多大,車(chē)輛荷載應(yīng)變都不可能無(wú)限制地增大。

4 結(jié)論

(1)GP分布的形狀參數(shù)、尺度參數(shù)和閾值與GEV分布的形狀參數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)可由一個(gè)二維的非齊次泊松過(guò)程組成的點(diǎn)過(guò)程參數(shù)λ聯(lián)系起來(lái)。

(2)結(jié)合工程實(shí)例的樣本數(shù)據(jù),對(duì)鋼縱向應(yīng)變傳感器SEW1、SEW2、SEW3、SEW4和SEW5在1 a內(nèi)的車(chē)輛荷載縱向應(yīng)變進(jìn)行區(qū)組超閾值模型建模,并對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證,結(jié)果表明模型能夠和數(shù)據(jù)完美擬合,證明了模型的優(yōu)良性。

(3)采用區(qū)組超閾值模型過(guò)分外推并不可靠,車(chē)輛荷載應(yīng)變不可能無(wú)限增大。因此,不能盲目外推極長(zhǎng)重現(xiàn)期的重現(xiàn)水平。根據(jù)橋梁使用年限,本文外推了10、40、70、100 a車(chē)輛荷載應(yīng)變的概率密度,為橋梁運(yùn)營(yíng)期的安全性及可靠性評(píng)估提供了一定的依據(jù)。