■河北省三河市第二中學(xué) 楊 勇

從高考命題的角度看,直線、圓的方程及位置關(guān)系問題是必考的內(nèi)容,題型大多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),此類試題難度中等。鑒于以上高考命題特點(diǎn),建議同學(xué)們必須掌握以下幾種必考題型。

一、求直線方程

點(diǎn)評(píng):解決直線方程問題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

(1)求解兩條直線平行的問題時(shí),在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出參數(shù)的值后,要注意代入檢驗(yàn),排除兩條直線重合的可能性。

(2)要注意直線方程每種形式的局限性,應(yīng)用點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式時(shí),要求直線不能與x軸垂直。而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。

(3)討論兩條直線的位置關(guān)系時(shí),要討論直線的斜率是否存在。

(4)直線與圓相切時(shí),利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直,圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式,一般求切線方程時(shí)多選擇點(diǎn)斜式。

二、求圓的方程

點(diǎn)評(píng):求圓的方程一般有兩種方法。

(1)幾何法,通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程。

(2)代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各個(gè)系數(shù)。

三、與直線或圓有關(guān)的距離問題

點(diǎn)評(píng):(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí),應(yīng)先將直線方程化為一般式。

(2)求兩平行線之間的距離時(shí),應(yīng)先將兩直線方程化為一般式且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。

(3)求曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離,要利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題。

四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系判斷

點(diǎn)評(píng):(1)直線與圓的位置關(guān)系有相交、相切和相離三種情況,判斷直線與圓的位置關(guān)系,主要通過比較圓心到直線的距離與半徑的大小。

(2)圓與圓的位置關(guān)系有五種,即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離。兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩個(gè)圓的圓心距與兩個(gè)圓的半徑差的絕對(duì)值或半徑和的大小關(guān)系。

(3)過圓外一點(diǎn)求解切線段長的問題,可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離,再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算。

五、直線與圓、圓與圓弦長問題

例5已知圓C1:(x-a)2+y2=4與C2:x2+(y-b)2=1(a,b∈R)交于A,B兩點(diǎn)。若存在a,使得|AB|=2,則b的取值范圍為____。

分析：根據(jù)圓與圓相交弦所在直線方程性質(zhì)求得直線AB的方程,利用直線與圓相交弦長公式,求得a,b滿足的等式關(guān)系,根據(jù)方程有解,即可得b的取值范圍。

六、隱圓問題

例6(1)已知A(-2,0),B(2,0),點(diǎn)P滿足|PA|2+|PB|2=16,直線l:(m+

設(shè)定點(diǎn)為M(3,4),如圖1,當(dāng)OM⊥l時(shí),點(diǎn)P到直線l的距離最大。

圖1

圖2

(2)設(shè)M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)。

點(diǎn)評(píng):(1)利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱圓。

(2)在平面上給定相異的兩點(diǎn)A,B,設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)A,B在同一平面上,且滿足|PA|=λ|PB|,當(dāng)λ＞0 且λ≠1 時(shí),點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)圓我們稱為阿波羅尼斯圓。

(4)兩定點(diǎn)A,B與動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2+|PB|2是定值,點(diǎn)P的軌跡是隱圓。