徐 宏 傅景禮

(山東外事職業(yè)大學(xué)信息與控制工程學(xué)院,山東威海 264500)

引言

伺服驅(qū)動的數(shù)控機床中,進給系統(tǒng)的定位精度高低決定了零部件的加工精度、表面質(zhì)量[1-3],且進給動作進行時,其運動平穩(wěn)性還直接影響機床的刀具壽命,故現(xiàn)代加工與制造業(yè)對進給傳動系統(tǒng)有更高的速度與定位精度要求[4-5],以使數(shù)控設(shè)備具有更高性能.激光切割機具有典型的進給傳動系統(tǒng)在校準(zhǔn)后能夠保證加工精度,但是,一段時間過后,其精度無法滿足加工需要.若重新校準(zhǔn)需要大量的工作步驟,使激光切割機的加工效率大大降低,還會帶來成本問題[6-8].因此,本文對激光切割機伺服電機驅(qū)動的滾珠絲杠進給傳動系統(tǒng)進行動力學(xué)建模,研究其動態(tài)特性,成為有效地降低及控制伺服電機驅(qū)動的進給過程中扭轉(zhuǎn)振動的關(guān)鍵技術(shù).

分析力學(xué)選擇坐標(biāo),基于理想約束的概念,從能量的角度提出動力學(xué)系統(tǒng)的基本原理,建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程,適合解決質(zhì)點系和多剛體系統(tǒng)的機械裝置的復(fù)雜問題[9],在約束力學(xué)系統(tǒng)和機械動力系統(tǒng)的建模方面得到廣泛應(yīng)用[10-11].通過構(gòu)造系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù),寫出其Lagrange 方程,從能量的角度建立系統(tǒng)的運動方程Lagrange 方程[12-13].1918 年Noether 提出了著名的Noether 定理,描述了動力學(xué)系統(tǒng)的某種對稱性和守恒量之間一一對應(yīng)的關(guān)系.近年來,Noether 對稱性已被推廣應(yīng)用到多種約束力學(xué)系統(tǒng)(例如非保守系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)、Birkhoff 系統(tǒng)和機電耦合系統(tǒng)等)中[9,14-21],理論趨于完善.事實上,不論是機械系統(tǒng)、機電耦合系統(tǒng)還是一般電路系統(tǒng),都可用Noether 對稱性理論得到系統(tǒng)的解[22-24].

本文將Noether 對稱性理論應(yīng)用于激光切割機伺服電機驅(qū)動的滾珠絲桿傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動問題.給出該系統(tǒng)的動能、勢能和Lagrange 函數(shù);建立該系統(tǒng)的第二類Lagrange 方程和約束方程;引入關(guān)于時間和廣義坐標(biāo)的變換Lie 群,給出該系統(tǒng)的Noether定理和守恒量;利用得到的守恒量給出激光切割機傳動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng),并對動態(tài)響應(yīng)進行數(shù)值模擬.

1 激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的模型及其動力學(xué)方程

本文以具有3 個方向自由度的激光切割機為研究對象,如圖1 所示的激光切割機是由直線模組搭建的示意圖.該切割機以X,Y,Z軸三分方向進行進給傳動運動,各軸傳動均采用滾珠絲杠進行動作[25],并且X,Y,Z軸均由伺服電機進行驅(qū)動,表1 列出了以江蘇亞威機床股份有限公司生產(chǎn)的HLH2040 激光切割機為研究對象的技術(shù)參數(shù).

表1 HLH2040 激光切割機技術(shù)參數(shù)Table 1 Technical parameters of HLH2040 laser cutting machine

圖1 激光切割機示意圖Fig.1 Schematic of a laser cutting machine

下面給出激光切割機的進給傳動系統(tǒng)主要部件的組成示意圖,如圖2 所示.在傳動進給過程當(dāng)中,軸向載荷引起該系統(tǒng)的軸向變形和振動,在此振動過程中,可等效為激光切割機滾珠絲杠和伺服電機系統(tǒng)發(fā)生的振動位移[26].

圖2 進給系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic of feed drive system

本文將帶負載沿X軸方向一側(cè)的傳動系統(tǒng)作為研究對象.因激光切割機在傳動進給過程中沿該方向的移動運行次數(shù)是最多的,且負載相對較大,運行速度相對較快,故此方向傳動系統(tǒng)動態(tài)特性對激光切割機在運行過程中的定位精度影響最大[27].

現(xiàn)對滾珠絲杠進給系統(tǒng)的軸向進行集中質(zhì)量建模,滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的2 個自由度將被保留.滾珠絲杠進給系統(tǒng)簡化后的等效軸向振動模型如圖3 所示.

圖3 進給系統(tǒng)等效軸向振動模型Fig.3 Equivalent axial vibration model of feed system

一般機電系統(tǒng)Lagrange 方程[28]為

式中,zs,qs為系統(tǒng)相互獨立的機械與電氣廣義坐標(biāo),D為耗散函數(shù),Qs和Ek為對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力和電源電壓,Λs為非完整約束力.其中

λβ為約束乘子,系統(tǒng)的非完整約束為

在簡化動力學(xué)模型中,假設(shè)激光切割機作X軸方向一側(cè)的傳動進給產(chǎn)生振動.系統(tǒng)中等效的伺服電機質(zhì)量ms、滾珠絲杠質(zhì)量為mg,伺服電機驅(qū)動位移xs、滾珠絲杠的位移xg,滾珠絲杠轉(zhuǎn)動慣量為Jg,伺服電機轉(zhuǎn)動慣量為Js,θs和 θg分別是伺服電機和滾珠絲杠的轉(zhuǎn)動角度,k1和k2為伺服電機和滾珠絲杠的等效剛度.c1和c2是伺服電機和滾珠絲杠的等效阻尼,系統(tǒng)中的耗散函數(shù)為

故xs與xg為廣義坐標(biāo),則激光切割機進給系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的動能為

不計激光切割機在傳動進給過程負載重量的影響,勢能為存儲于變形的彈簧中的勢能,則

假設(shè)伺服電機與滾珠絲杠轉(zhuǎn)動的角度與位移之間的系數(shù)為E1與E2,有如下的約束關(guān)系

那么,此系統(tǒng)存在非完整約束.

故系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)可表示為

因激光切割機床的激光器不直接與工件接觸,在加工過程中,沒有外力的作用,系統(tǒng)廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力為Qs=0.考慮系統(tǒng)耗散公式D,將式L方程和廣義力方程代入一般Lagrange 方程,可以得到系統(tǒng)運動微分方程為

2 激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Noether 對稱性與守恒量

引進群關(guān)于時間、坐標(biāo)的無限小變換[29]

其中,ε 為無限小參數(shù),ξ0,ξ1,ξ2為無限小變換的生成元.

引入激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動Hamilton作用量[30],若γ 表示某曲線,則

在變換式(11)下,曲線γ 將變?yōu)棣?,那么此時系統(tǒng)的Hamilton 作用量表示為

作用量S的變分 ΔS為S(γ*)-S(γ) 的相對 ε 的主線性部分,有

將無線小變換代入變分公式,并注意到

式(16)和式(18)為該系統(tǒng)Hamilton 作用量變分的基本公式.

定義1如果激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Hamilton 作用量是無限小變換下的不變量,即無限小變換滿足

則無限小變換是完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)的Noether 對稱性變換.

定義2如果系統(tǒng)Hamilton 作用量是無限小群變換的廣義準(zhǔn)不變量,即對每一個無限小變換,始終存在

其中,G為規(guī)范函數(shù),Q1和Q2為廣義力,本系統(tǒng)中的兩個廣義力為0,Λ1和 Λ2表示廣義非完整約束力,則稱變換式(11)為系統(tǒng)廣義準(zhǔn)對稱變換.

由上述定義公式(19)和系統(tǒng) Hamilton 作用量變分的基本公式可以得到完整系統(tǒng)的如下判據(jù)1:對于無限小群變換式(11),若滿足條件

則變換式(11)為完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Noether 對稱性變換.

由于 ε 獨立性可以得到完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Noether 恒等式

Noether 定理 1:假設(shè)無限小變換式 (11) 是完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的 Noether 對稱變換,則該系統(tǒng)存在如下形式的守恒量

Noether 定理 1 也可以表示為 Noether 定理2.

Noether 定理 2:對于完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動,若無限小變換式 (11)滿足Noether恒等式 (22),則完整激光切割機進給傳動扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)存在守恒量(23).

用定義公式 (20) 和系統(tǒng) Hamilton 作用量變分的基本公式可以得到保守非完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機進給傳系統(tǒng)動扭轉(zhuǎn)振動廣義Noether 準(zhǔn)對稱性的如下判據(jù)2:對于無限小群變換式(11),若滿足條件

則變換式(11)是保守非完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的廣義 Noether 準(zhǔn)對稱變換.

由于 ε 獨立性,可以得到保守非完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Noether 恒等式

Noether 定理 3:若存在規(guī)范函數(shù)G,使得無限小變換式(11)是保守非完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動廣義Noether 準(zhǔn)對稱變換,則該系統(tǒng)存在如下形式的守恒量

Noether 定理 3 也可以表示為: 對于保守非完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機進給傳動扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng),如果存在規(guī)范函數(shù)G使得無限小變換式 (11) 滿足Noether 恒等式(25),則該系統(tǒng)存在守恒量 (26).

定義3如果無限小變換式(11)是保守非完整廣義 Noether 準(zhǔn)對稱性變換,且變換還滿足條件

則稱變換式 (11) 是保守非完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的強廣義 Noether 準(zhǔn)對稱變換.

Noether 定理 4:如果存在規(guī)范函數(shù)使得無限小變換式 (11) 是保守非完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的強廣義 Noether 準(zhǔn)對稱變換,則該系統(tǒng)存在守恒量 (26).

當(dāng)條件(27)放寬為以下條件

便可以得出激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的弱廣義 Noether 準(zhǔn)對稱變換.

Noether 定理 5:如果存在規(guī)范函數(shù)使得無限小變換式 (11) 是保守非完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的弱廣義 Noether 準(zhǔn)對稱變換,則該系統(tǒng)存在守恒量 (26).

由 Noether 守恒量 (26) 再給定初始條件便可得出保守非完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動在進給過程中的運動規(guī)律.

對于該振動系統(tǒng),如果存在規(guī)范函數(shù)G=G(t,xs,,xg,),那么系統(tǒng)的Noether 等式

Noether 等式可以寫成Killing 方程的形式

將系統(tǒng)的Lagrange 方程代入廣義Killing 方程,得到以下3 個方程

設(shè)生成函數(shù)有下面的形式

將G和生成函數(shù)代入Killing 方程式(30)得

將等式兩邊相同項系數(shù)整理出來,得

經(jīng)計算,可得

生成元可表示為

當(dāng)s0,s1,s2取特殊值時,可以得到以下幾種對稱性

由激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Noether定理形如下

代入系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)可以得到以下守恒量

我們觀察到守恒量I3=0,顯然這是平庸的;I1=-I2,說明它們不是相互獨立的;且I1,I2,I4和I5是系統(tǒng)的能量積分.如果有足夠的守恒量,守恒量就可以用于求運動方程的精確解,同時可以用于對方程求數(shù)值解.

3 激光切割機傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的動態(tài)響應(yīng)

激光切割機傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的守恒量以及對稱性解的計算可以借助MATLAB 軟件,通過它可以編寫程序繪制相應(yīng)的動態(tài)曲線[31].HLH2040 激光切割機加工范圍是4000 mm×2000 mm,工作臺最大載重1500 kg,其加、減速初始階段會有機床振動現(xiàn)象產(chǎn)生[32],在0～0.2 s 時間段內(nèi)應(yīng)用前文研究的守恒量.

激光切割機啟動的初始值設(shè)定為0

系統(tǒng)中各技術(shù)參數(shù)列于表2.

表2 技術(shù)參數(shù)Table 2 Technical parameters

伺服電機選擇額定容量為1.5 kW 的電機模型,轉(zhuǎn)動扭矩約為9.5 N·M

根據(jù)得到的守恒量、系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以求得系統(tǒng)的響應(yīng)方程

代入初始值可得到如圖4 和圖5 所示的動態(tài)響應(yīng).

圖4 伺服電機的速度和加速度響應(yīng)Fig.4 The velocity response and acceleration response of the servo motor

圖5 滾珠絲桿的速度和加速度響應(yīng)Fig.5 The velocity response and acceleration response of the ball screw

圖4(a)和圖4(b)為伺服電機的速度響應(yīng)和加速度響應(yīng),從這兩張圖可以看出,在啟動瞬間隨著時間的推移,系統(tǒng)趨于穩(wěn)定運行,本文所用的對稱性方法的加入使得系統(tǒng)能夠在極短的時間,約10 ms 的時間,即迅速穩(wěn)定.

圖5(a)和圖5(b)為滾珠絲桿的速度響應(yīng)和加速度響應(yīng),從這兩張圖可以看出,在啟動瞬間隨著時間的推移,系統(tǒng)趨于穩(wěn)定運行,同樣使用分析力學(xué)Noether 對稱性方法約10 ms 的時間,系統(tǒng)快速趨于穩(wěn)定.

4 結(jié)論

本文將Lie 群理論應(yīng)用于伺服電機驅(qū)動的進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動問題,研究了兩自由度非完整保守激光切割機進給傳動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動現(xiàn)象.首先,根據(jù)現(xiàn)有的一般機電系統(tǒng)模型,結(jié)合扭轉(zhuǎn)振動的力學(xué)模型,給出了機械動力學(xué)模型.其次,引入關(guān)于時間和坐標(biāo)的無窮小變換,描述激光切割機進給驅(qū)動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Hamilton 作用,并給出扭轉(zhuǎn)振動的相關(guān)定義,從而給出其相應(yīng)的Noether 定理.

然后,根據(jù)給出的定理,求出激光切割機進給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的守恒量.最后,將守恒量與扭轉(zhuǎn)振動的機械動力學(xué)方程相結(jié)合,得到系統(tǒng)的對稱解,并利用 MATLAB 軟件進行數(shù)值模擬.此外,本文給出的Lie 群分析方法還可應(yīng)用于其他復(fù)雜的機械振動系統(tǒng).