趙 歡 黃宇君 邢浩楠

*(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

?(中山大學(xué)航空航天學(xué)院,廣州 510275)

引言

新一代環(huán)保型超音速民機(jī)的流場(chǎng)/聲爆特性受多源不確定性影響,如飛行狀態(tài)和外形不確定導(dǎo)致氣動(dòng)性能產(chǎn)生變化,大氣參數(shù)不確定使感受音強(qiáng)水平預(yù)測(cè)不準(zhǔn)等,造成了設(shè)計(jì)的飛行器性能表現(xiàn)非常敏感,可能并不是最佳狀態(tài),有可能急劇變差甚至失效,導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)成本增加以及任務(wù)失敗等[1-4].

在基于高可信度流場(chǎng)/聲爆的數(shù)值分析過程中,面臨的不確定源主要包括邊界/初始條件、湍流模型假設(shè)/參數(shù)取值、網(wǎng)格/誤差、湍流度等造成的數(shù)值模擬不確定性[5-6];加工誤差/腐蝕、損傷、變形等幾何不確定性[7];飛行狀態(tài)/大氣環(huán)境等工作條件不確定性[8-9]等.NASA 蘭利研究中心在白皮書[10]中指出,在氣動(dòng)外形、結(jié)構(gòu)以及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中,考慮各種可能不確定性的影響是非常重要和有意義的(包括參數(shù)與模型不確定性),并且隨著計(jì)算能力的提高、各種先進(jìn)的不確定量化與設(shè)計(jì)方法的發(fā)展,考慮不確定性的飛行器分析和設(shè)計(jì)方法將會(huì)提供更加穩(wěn)健和可靠的設(shè)計(jì)方案.德國(guó)聯(lián)邦經(jīng)濟(jì)與勞動(dòng)部也專門成立了國(guó)家項(xiàng)目 (Management and Minimization of Uncertainties in Numerical Aerodynamics,MUNA)[11],專門識(shí)別和量化氣動(dòng)計(jì)算分析中的不確定性,并建立了考慮不確定性影響的穩(wěn)健氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.NASA 在CFD Vision 2030 Study: A Path to Revolutionary Computational Aerosciences[12]中明確提出了對(duì)先進(jìn)多學(xué)科不確定性量化技術(shù)的迫切需求,并多次組織了多學(xué)科不確定量化挑戰(zhàn)研討會(huì)[13].近些年來,隨著飛機(jī)設(shè)計(jì)水平和競(jìng)爭(zhēng)壓力的不斷提高,經(jīng)濟(jì)、綠色以及低風(fēng)險(xiǎn)的飛行器占據(jù)著巨大優(yōu)勢(shì),而考慮多源不確定性的氣動(dòng)/聲爆多學(xué)科分析方法將為這類飛行器設(shè)計(jì)滿足嚴(yán)苛的設(shè)計(jì)指標(biāo)提供最有競(jìng)爭(zhēng)力的設(shè)計(jì)手段[14-15].

多學(xué)科多源不確定量化 (uncertainty quantification,UQ)指通過有效的分析手段定量估計(jì)各學(xué)科系統(tǒng)中多種不確定源對(duì)各個(gè)學(xué)科性能表現(xiàn)的影響,這個(gè)過程通?？梢砸?guī)則化為一個(gè)多維變量積分與數(shù)值分析的問題.然而工程問題通常是非常復(fù)雜和計(jì)算昂貴的,比如高可信度CFD 數(shù)值模擬和高可信度聲爆分析系統(tǒng),以至于通過經(jīng)典的數(shù)值分析手段去獲得解析解是不可能的,也是難以承擔(dān)的.目前,UQ 方法主要包括嵌入式方法和非嵌入式方法兩類.其中嵌入式UQ 方法指通過在原分析系統(tǒng)或模型中嵌入包含待定系數(shù)的隨機(jī)模型,然后通過數(shù)次求解修改后的系統(tǒng)獲得對(duì)隨機(jī)模型的解[5].早期研究人員通過將包含待定系數(shù)的隨機(jī)代理模型如多項(xiàng)式混沌展開(polynomial chaos expansion,PCE)、隨機(jī)配置(stochastic collocation,SC)和Karhunen-Loeve (KL)等模型嵌入到CFD 數(shù)值模擬系統(tǒng)中,再通過數(shù)次求解修改后的系統(tǒng)獲得隨機(jī)代理模型的確定表達(dá),從而估計(jì)出系統(tǒng)的不確定性量化指標(biāo)[5],但因?yàn)橐獙?duì)原始系統(tǒng)進(jìn)行修改而帶來了額外工作,使用門檻增加.相反,非嵌入式UQ 方法僅僅將原系統(tǒng)或模型當(dāng)做黑箱處理而進(jìn)行多次模擬求解,從而免去了修改原系統(tǒng)帶來的麻煩,操作門檻非常低.

近些年來,非嵌入式方法由于僅需要對(duì)原始系統(tǒng)進(jìn)行多次求解帶來的便捷性從而獲得了更加廣泛的關(guān)注和應(yīng)用.本文主要聚焦非嵌入式UQ 方法.一些研究者已經(jīng)總結(jié)了當(dāng)前不確定量化方法在CFD模擬[6,16-17]和聲爆分析[2,18-19]以及考慮不確定性的氣動(dòng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)[1,7,20-21]和多學(xué)科穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)[22]中的應(yīng)用情況.

隨著非嵌入式UQ 方法在氣動(dòng)/聲爆UQ 中得到了越來越廣泛的應(yīng)用,其效率、收斂性、穩(wěn)定性和可靠性成為使用者關(guān)注的重點(diǎn).當(dāng)然,UQ 方法的表現(xiàn)也與特定的UQ 問題息息相關(guān),包括不確定變量數(shù)量、不確定變量分布類型、系統(tǒng)的復(fù)雜性、以及多學(xué)科性能表現(xiàn)對(duì)不確定量化準(zhǔn)確性的影響等許多因素.雖然一些流行的UQ 方法在CFD 分析問題中得到了廣泛應(yīng)用,但在針對(duì)具體氣動(dòng)布局時(shí),需要設(shè)計(jì)者在效率和準(zhǔn)確性上折衷選擇.本文主要討論對(duì)輸入不確定變量概率分布已知的應(yīng)用進(jìn)行UQ 的問題,并假設(shè)構(gòu)建不確定變量概率分布所需信息是充足的.對(duì)概率類型的不確定變量,其統(tǒng)計(jì)矩估計(jì)如下所示

目前非嵌入式UQ 方法主要包括4 類最主流的方法,即基于抽樣的方法、數(shù)值積分方法、隨機(jī)代理模型方法以及基于Taylor 展開的方法等.其中,基于抽樣的方法具有最廣泛的適應(yīng)性和與維數(shù)無關(guān)的特點(diǎn),但通?；ㄙM(fèi)非常高,如蒙特卡洛模擬(Monte Carlo simulation,MCS)抽樣方法;數(shù)值積分方法適用于較少變量和積分收斂的問題;基于Taylor 展開的方法則在輸入變量小范圍變化時(shí)收斂性良好;而隨機(jī)代理模型方法對(duì)于平方可積且分布規(guī)則的系統(tǒng)保持二階收斂性和穩(wěn)定性.因此,針對(duì)不同系統(tǒng)的UQ 問題應(yīng)該選擇最合適的方法.這4 種方法的特點(diǎn)總結(jié)對(duì)比如表1 所示.

表1 考慮多源不確定性的不確定量化方法總結(jié)Table 1 Uncertainty quantification methods considering multi-source uncertainties

對(duì)于氣動(dòng)分析問題,由于壓縮性和黏性的影響,氣動(dòng)表現(xiàn)通常是非線性或強(qiáng)非線性的,并且隨著要考慮的不確定變量增多(例如飛行狀態(tài)以及外形加工誤差等多源不確定),使得除了PCE 方法以外的其余3 種方法都不同程度地遭遇高昂計(jì)算花費(fèi)的難題,并且目前難以通過有效的辦法解決[1,23-24].而PCE 方法雖然具有良好的特性,但快速構(gòu)建準(zhǔn)確的PCE 近似仍然是當(dāng)前國(guó)際研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn).

因此,針對(duì)氣動(dòng)/聲爆多源不確定性量化對(duì)傳統(tǒng)氣動(dòng)不確定量化方法帶來的巨大挑戰(zhàn),本文提出了一種基于全自適應(yīng)前向-后向選擇(fully adaptive forward-backward selection,FAFBS)的高效稀疏多項(xiàng)式混沌(PC)重構(gòu)方法,突破了傳統(tǒng)不確定量化方法適用范圍窄或花費(fèi)巨大的難題,以適用于更加復(fù)雜的流場(chǎng)/聲爆不確定量化問題.本文主要安排如下:第1 節(jié)提出了基于FAFBS 的高效稀疏PCE 重構(gòu)方法,并建立了適用于多源不確定變量的高效UQ 方法.第2 節(jié)使用發(fā)展的基于FAFBS 稀疏PC 方法、國(guó)際流行的基于正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP) 或者最小角回歸(least angle regression,LAR)的稀疏PC 方法以及全PC 方法分別對(duì)4 維Park 函數(shù)、跨音速RAE2822 翼型流場(chǎng)和標(biāo)準(zhǔn)聲爆算例進(jìn)行UQ 的對(duì)比研究,成功驗(yàn)證了發(fā)展的基于FAFBS 的PC 方法相對(duì)于另外兩種方法的巨大優(yōu)勢(shì),可完全滿足高效飛行器復(fù)雜流場(chǎng)/聲爆多源不確定量化以及氣動(dòng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)需要.第3 節(jié)對(duì)本文的結(jié)果進(jìn)行了總結(jié).附錄中對(duì)高可信度跨音速翼型流場(chǎng)數(shù)值模擬精度和標(biāo)準(zhǔn)聲爆算例精度進(jìn)行了驗(yàn)證,表明本文使用的數(shù)值計(jì)算方法的可靠性.

1 高效的稀疏多項(xiàng)式混沌重構(gòu)方法

1.1 多項(xiàng)式混沌方法

假設(shè)定義在概率空間 (Ω,Θ,P) 的實(shí)隨機(jī)變量或隨機(jī)過程f∈L2(Ω),即f:Ω →R,則f可以表達(dá)為

其中 Γk表示階數(shù)為k(k=0,1,2,···) 的多項(xiàng)式,系數(shù)a(·)為實(shí)數(shù).=(ξ1,ξ2,···ξd) 代表相互獨(dú)立的隨機(jī)變量輸入集合.對(duì)于非獨(dú)立的隨機(jī)變量,可通過Rosenblatt轉(zhuǎn)換將其轉(zhuǎn)換為獨(dú)立隨機(jī)變量[25].此外,也可通過改變PCE 重構(gòu)策略或者使用基于數(shù)據(jù)的任意多項(xiàng)式混沌(arbitrary polynomial chaos,aPC)構(gòu)建方法使之能用于任意分布和相關(guān)的隨機(jī)變量[26].進(jìn)一步,上述式子可以簡(jiǎn)寫為

其中 αk和 ψk與式(2)中的a(·)和 Γk一一對(duì)應(yīng).多項(xiàng)式Γk類型的選擇應(yīng)該和輸入隨機(jī)變量分布的類型相對(duì)應(yīng),以保證PCE 近似的快速收斂性.Cameron 等[27]證明了Wiener-Hermite 類型多項(xiàng)式能保證對(duì)任何平方可積的高斯類型輸入函數(shù)的收斂性.Xiu 等[5]將原來僅針對(duì)高斯類型輸入PC 推廣到包含更多類型的輸入分布,針對(duì)每個(gè)輸入分布類型采用不同類型多項(xiàng)式,即Wiener-Askey PCE 或者廣義PCE (generalized PCE,GPCE),并證明了Wiener-Askey PCE 使用相應(yīng)的多項(xiàng)式類型和輸入類型能保證至少二階收斂性.值得注意的是,對(duì)于Hermite 多項(xiàng)式以及對(duì)應(yīng)的Gaussian 分布類型,為提高收斂性和準(zhǔn)確性通常要求輸入為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.因此,對(duì)于一般分布而言,本文可以通過變換公式將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布[25].

每個(gè)多維多項(xiàng)式基函數(shù)可以通過單變量基函數(shù)張量化得到,即

其中ki為多項(xiàng)式階數(shù) (ki=0,1,2,···,∞).對(duì)于階數(shù)為p(p=0,1,2,···,∞)的多變量基函數(shù)滿足

其中k=(k1,k2,···,kd) 代表 ψk在各個(gè)維度的階數(shù).當(dāng)式(2)在階數(shù)p被截?cái)?f可以表達(dá)為

其中Mp代表了截?cái)嗪蟊Ａ舻亩囗?xiàng)式項(xiàng)數(shù),ε (Ξ) 為截?cái)嗾`差.

PCE 重構(gòu)可分為嵌入式和非嵌入式兩種途徑.嵌入式PCE (IPCE)通過將PCE 方程帶入到物理模型方程(如N-S 方程)內(nèi)代替某個(gè)變量,然后通過修改物理模型求解程序,例如CFD/聲爆分析程序,然后通過數(shù)次的求解就可以得到所有的PCE 系數(shù).非嵌入式PCE (NIPCE)把求解程序如CFD/聲爆分析程序等當(dāng)做黑箱處理,通過對(duì)輸入變量抽樣,數(shù)次調(diào)用確定性的CFD/聲爆分析程序求解器獲得要近似的輸出響應(yīng),然后利用非嵌入式PC 重構(gòu)途徑求出PCE 系數(shù),即得到近似CFD/聲爆分析程序的PCE近似.本文主要使用基于配點(diǎn)法(也叫做最小二乘法)的NIPCE 進(jìn)行不確定性量化研究,基于最小二乘的NIPCE 解決如下最小化問題[28-29]

其中 α=(α1,α2,···,αMp)T代表系數(shù)估計(jì)向量,N≥M應(yīng)該被滿足以至于獲得唯一的最小二乘解.測(cè)量矩陣 Ψ 被定義為

1.2 基于全自適應(yīng)前向-后向選擇的稀疏多項(xiàng)式混沌重構(gòu)技術(shù)

然而上述傳統(tǒng)基于最小二乘的NIPCE 使用經(jīng)典格式截?cái)嗪?截?cái)囗?xiàng)數(shù)隨空間維數(shù)和展開階數(shù)增加而呈幾何級(jí)數(shù)地增加,從而導(dǎo)致所需的樣本數(shù)急劇增多,近似精度也難以得到保證,即“維數(shù)災(zāi)難”難題,如圖1 所示.尤其對(duì)于氣動(dòng)問題而言,PCE 近似的計(jì)算花費(fèi)隨流場(chǎng)分析精度增加劇烈增加,并對(duì)于包含轉(zhuǎn)捩、激波和分離等復(fù)雜流動(dòng)要求更高的截?cái)嚯A數(shù),從而加劇了“維數(shù)災(zāi)難”難題.

圖1 PCE 項(xiàng)數(shù)隨維數(shù)和階數(shù)的變化(采用HS 截?cái)喔袷?q=1)Fig.1 PCE terms varying with the dimension and order (using HS truncation scheme,q=1)

針對(duì)這一問題,基于 ?1-最小化的稀疏多項(xiàng)式混沌重構(gòu)方法已經(jīng)被廣泛發(fā)展,并對(duì)于高維和高階PCE 問題展示出了極大的優(yōu)勢(shì)[30].基于BPDN (basis pursuit denoising)的 ?1-最小化公式為

其中 β=(β1,β2,β3,···) 的1 范數(shù)定義為其所有元素的絕對(duì)值之和,即 ‖β‖1=|β1|+|β2|+|β3|+···.因?yàn)榻鉀Q式(10)所示的優(yōu)化問題有許多思路,也就有各種不同的稀疏PCE 重構(gòu)方法[28].比如當(dāng)前最流行的OMP 以及LAR 等算法.其中,OMP 是典型的前向選擇算法,從空活躍集開始,OMP每一步選擇與當(dāng)前殘差向量(初始?xì)埐钕蛄繛檩敵鱿蛄?相關(guān)性最大的基向量并增加到活躍集,然后更新預(yù)測(cè)系數(shù)和殘差,直到滿足停止條件.值得注意的是,OMP 是相對(duì)更快的一種稀疏性重構(gòu)算法,但由于大的貪婪性,其稀疏性通常小于 ?1-最小化解集.相較于OMP,LAR 算法有更少的貪婪性,是一種經(jīng)典的LASSO 算法[31].最小角回歸用于稀疏PCE 重構(gòu)過程如下.

(2) 初始化所有候選多項(xiàng)式系數(shù)為0,即α1=α2=···=αMp=0.并設(shè)置初始?xì)埐钕蛄?γ=Y.初始活躍集集合為空集.

(3) 從候選基向量集合中找出與當(dāng)前殘差向量最相關(guān)的基向量 ψi,并添加 ψi到活躍集.

(4) 根據(jù)當(dāng)前殘差和活躍集元素使用最小二乘方法估算當(dāng)前恢復(fù)系數(shù),移動(dòng) αi從0 到直到存在其他的基向量 ψj(j≠i,ψj∈Σ′) 和當(dāng)前殘差有更多相關(guān)性超過 ψi.更新 αi并增加 ψj到當(dāng)前活躍集.

(5) 根據(jù)當(dāng)前殘差和活躍集元素使用最小二乘方法估算當(dāng)前恢復(fù)系數(shù)和,同時(shí)移動(dòng) { αi,αj} 在{,}定義的方向(即等角方向)直到存在其他的基向量 ψk(k≠i,j,ψk∈Σ′) 和當(dāng)前殘差有更多相關(guān)性超過 { ψi,ψj}.

重復(fù)這個(gè)過程,直到當(dāng)前殘差滿足停止標(biāo)準(zhǔn)或者m=min(M,N-1) 個(gè)基向量已經(jīng)被選擇.OMP 和LAR 都是逐步的前向選擇算法,通過這個(gè)過程,他們不斷地選擇相關(guān)的基函數(shù)進(jìn)入活躍基集合.OMP 每步更新系數(shù)是通過一般的最小二乘途徑,而LAR 選擇了更少貪婪性的系數(shù)更新策略,直到LAR 最后一步更新系數(shù)通過一般最小二乘途徑(N≥Mp).然而,這兩種方法選擇的重要PC 基以及恢復(fù)的PC 系數(shù)僅僅依靠觀測(cè)樣本,以至于修建的PCE 模型是否是全局最優(yōu)需要通過交叉驗(yàn)證完成.

目前,大多數(shù) ?1-最小化算法均是前向選擇算法,如OMP 和LAR,即每次選擇一個(gè)重要的基函數(shù)到活躍基集合并更新多項(xiàng)式系數(shù),直到達(dá)到停止標(biāo)準(zhǔn).這個(gè)過程中,前向選擇算法通過擬合不斷增多的基函數(shù)以減小近似誤差.一些文獻(xiàn)指出[32-33],?1-最小化算法通過最小化 β1,如式(10)所示,并不是直接控制解向量 β 的稀疏性.因此,它得到的是一個(gè)亞最優(yōu)的近似解,也使得這個(gè)稀疏重構(gòu)過程更加復(fù)雜和缺少穩(wěn)定性.為了獲得更加稀疏的多項(xiàng)式混沌代理模型,作者前期提出了一種全新的自適應(yīng)前向-后向選擇(adaptive forward-backward selection,AFBS)算法用于稀疏多項(xiàng)式混沌重構(gòu)[28].該方法充分結(jié)合了前向選擇和后向消除算法的優(yōu)勢(shì),使稀疏多項(xiàng)式混沌重構(gòu)過程高效穩(wěn)定地被執(zhí)行.

該算法的具體過程可參考作者前期工作[28,30].該算法首先通過OMP 算法執(zhí)行前向選擇步,在選擇了至少兩個(gè)重要的基向量到當(dāng)前活躍基后,后向選擇步自動(dòng)被執(zhí)行.后向選擇步將檢查當(dāng)前活躍集中所有入選的基向量,找出冗余的或不重要的一個(gè)并剔除.在后向選擇-剔除步里,算法執(zhí)行了一個(gè)迭代循環(huán),即每次選擇一個(gè)冗余的基向量,然后判斷能否剔除,直至滿足停止條件.

然而在后向選擇步選擇了可能冗余的基向量之后,本文需要判斷: 剔除這些變量的累積平方損失是否已經(jīng)可以忽略.為此,本文定義了一個(gè)閾值參數(shù)v1,當(dāng)d-＞v1d+時(shí),則可以剔除,否則不能剔除.其中d+代表了前向選擇步中平方損失的累積變化,d-代表了在后向選擇步中平方損失的累積變化.在所有基函數(shù)被遍歷后或者截?cái)嗾`差被滿足后,則自適應(yīng)前向-后向選擇迭代過程會(huì)停止,進(jìn)入后向檢查步.這個(gè)后向檢查步同前一個(gè)后向選擇-剔除步基本算法規(guī)則一樣,其目的是再一次篩選所有進(jìn)入活躍集中的基向量,找出冗余的或不重要的并刪除它們.在這個(gè)過程里,本文引入了另外一個(gè)閥值參數(shù)v2以判斷是否滿足剔除條件.v2的定義同v1類似,即剔除選擇的冗余基函數(shù)后是否會(huì)引起累積最小平方損失的顯著減少,如果是,則剔除,否則不剔除.在作者提出的原始AFBS 算法中,這兩個(gè)參數(shù)v1和v2的值需要設(shè)計(jì)者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)合理給出,不合理的閾值可能會(huì)造成擬合誤差難以滿足要求或者樣本需求量變大.

因此,為了徹底解決這個(gè)問題對(duì)AFBS 算法的困擾,本文提出了一種新的FAFBS 算法去構(gòu)建基于試驗(yàn)樣本的最優(yōu)PC 代理模型.該算法在原始AFBS 算法的基礎(chǔ)上,使用加強(qiáng)學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化(comprehensive learning particle swarm optimizer,CLPSO)[34]算法尋找使基于AFBS 構(gòu)建的PC 代理模型交叉驗(yàn)證誤差最小的閾值參數(shù)v1和v2,然后執(zhí)行最優(yōu)的AFBS 算法建立PC 模型.因?yàn)锳FBS 算法是非常高效的,這個(gè)過程也不會(huì)消耗更多時(shí)間.CLPSO 改進(jìn)了標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的早熟問題,具有更好的全局尋優(yōu)能力.值得注意的是,本文的3 個(gè)算例中,v1和v2的優(yōu)化均是典型的多峰值優(yōu)化問題,梯度優(yōu)化算法難以獲得全局最優(yōu)值,而C L P S O兼顧了效率和全局尋優(yōu)能力.因此針對(duì)一般工程問題的FAFBS 算法中v1和v2優(yōu)化,建議讀者使用全局優(yōu)化算法執(zhí)行該過程,以保證獲得最優(yōu)的稀疏PC模型.

基于FAFBS 算法的PC 重構(gòu)過程如圖2 所示.

圖2 全自適應(yīng)前向-后向選擇算法簡(jiǎn)化流程圖Fig.2 Fully adaptive forward-backward selection algorithm flowchart

2 流場(chǎng)/聲爆多源不確定量化應(yīng)用

2.1 四維Park 函數(shù)近似

針對(duì)驗(yàn)證發(fā)展的基于FAFBS 的稀疏PC 重構(gòu)算法的有效性,本節(jié)首先使用一個(gè)經(jīng)典的四維Park函數(shù)算例進(jìn)行驗(yàn)證,其表達(dá)式如下

式中,x1,x2,x3,x4為互相獨(dú)立的均勻同分布隨機(jī)變量.參考統(tǒng)計(jì)矩由MCS 方法基于 1 07個(gè)拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling,LHS)樣本估計(jì)得到.全PC、基于OMP 和FAFBS 的稀疏PC重構(gòu)均使用9 階PC 候選多項(xiàng)式基,具體HS 截?cái)喔袷娇蓞⒖嘉墨I(xiàn)[35].全PC 指使用在階數(shù)p截?cái)嗪蟮娜慷囗?xiàng)式項(xiàng)進(jìn)行最小二乘擬合,即 (p+d)!/(p!d!) 項(xiàng).本文所有算例使用全PC 近似時(shí),樣本數(shù)均為N=2M=2(p+d)!/(p!d!).3 種方法所需樣本數(shù)均使用LHS 獲得.3 種方法近似Park 函數(shù)的均值和方差的誤差收斂效率對(duì)比如圖3 所示.結(jié)果顯示,兩種稀疏PCE 重構(gòu)方法的收斂效率和近似精度顯著高于全PC 方法,尤其基于FAFBS 的算法收斂效率最高.進(jìn)一步地,當(dāng)同時(shí)使用70 個(gè)樣本時(shí),基于FAFBS 的稀疏PC 重構(gòu)方法近似的均值和方差誤差分別為0.019 0 和0.069 6,而基于OMP 的FAFBS 方法的PC 重構(gòu)方法的近似誤差分別為0.587 1 和0.462 4.FAFBS 獲得了明顯更低的預(yù)測(cè)誤差.詳細(xì)計(jì)算結(jié)果分析對(duì)比如表2 所示.結(jié)果顯示,相對(duì)于全PC 使用990 個(gè)樣本和OMP 使用200 個(gè)樣本,基于FAFBS 的方法僅使用170 個(gè)樣本獲得了0.001 1 和0.004 6 的顯著更低的相對(duì)誤差.此時(shí)在FAFBS 方法中兩個(gè)閾值參數(shù)優(yōu)化值分別為v1=0.1,v2=0.005.

圖3 基于OMP 和FAFBS 重構(gòu)的稀疏PC 以及全PC 的預(yù)測(cè)Park 函數(shù)統(tǒng)計(jì)矩的誤差隨樣本數(shù)變化對(duì)比Fig.3 Relative error in mean and standard deviation of Park function using the OMP and FAFBS-based selection methods and full PC method

表2 使用全PC,OMP 和FAFBS 的PCE 方法預(yù)測(cè)的精度對(duì)比Table 2 Comparison of prediction error of park function using full PC,OMP,and FAFBS methods

為了驗(yàn)證樣本分布的影響,基于110 個(gè)樣本抽樣100 次,分別使用這3 種方法預(yù)測(cè)Park 函數(shù)的均值和方差,所得相對(duì)誤差的箱圖對(duì)比如圖4 所示.結(jié)果表明,基于FAFBS 方法預(yù)測(cè)的均值和方差的誤差4 分位范圍和中間值均遠(yuǎn)小于基于OMP 方法和全PC 方法得到的結(jié)果.并且基于全PC 和OMP 方法預(yù)測(cè)的均值和方差的誤差異常值顯著更大,也多于基于FAFBS 方法預(yù)測(cè)得到的誤差異常值.這些結(jié)果均表明基于FAFBS 方法的稀疏PC 重構(gòu)方法相對(duì)于OMP 和全PC 方法是更加可靠和有效的,可以滿足復(fù)雜工程問題使用需求.

圖4 使用全PC,OMP 和FAFBS 的PCE 方法預(yù)測(cè)Park 函數(shù)的均值和方差的相對(duì)誤差箱圖對(duì)比(基于110 個(gè)樣本抽樣100 次)Fig.4 Boxplots of relative errors in mean and standard deviation of Park function obtained using full PC,OMP,and FAFBS methods based on 100 runs using 110 sample points at each run

2.2 跨音速RAE2822 翼型流場(chǎng)不確定量化

跨音速流場(chǎng)對(duì)馬赫數(shù),攻角,湍流度和幾何外形加工誤差等變化時(shí),氣動(dòng)力表現(xiàn)非常敏感.因此常常被用來測(cè)試不確定量化和代理建模技術(shù)精度等[36-37].本節(jié)使用RAE2822 跨音速流場(chǎng)驗(yàn)證發(fā)展的基于FAFBS 的稀疏PC 重構(gòu)方法的準(zhǔn)確性和有效性.本文考慮了對(duì)氣動(dòng)特性影響最敏感的兩類不確定源,即來流狀態(tài)不確定和加工誤差不確定.本文假設(shè)馬赫數(shù)和升力系數(shù)在名義狀態(tài)點(diǎn)附近產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)并服從正態(tài)分布,即Ma=μM+ξMσM以及 α=μα+ξασα,其中 μM=0.734,σM=0.01,μα=2.79°,σα=0.2°,并有ξM,ξα～U(-1,1).

本文模擬幾何外形加工誤差的不確定性通過引入高斯隨機(jī)變量e(s,ω),其中s代表了沿翼型表面一周的空間位置(坐標(biāo)),ω 為概率空間.e(s,ω) 表示翼型表面每個(gè)位置處沿表面外法向方向?qū)嶋H加工外形和名義設(shè)計(jì)外形之間的誤差.加工翼型表面被近似為

其中n(s) 代表在s位置處的外法向.(s) 為名義外形.高斯誤差函數(shù)e(s,ω)定義為 均值(s,ω) 和指數(shù)相關(guān)核函數(shù)R(s1,s2).核函數(shù)R(s1,s2) 描述了空間的任意兩位置的光滑性和相關(guān)性,通過下式給出

式中 σ (s) 是隨機(jī)變量在s處的標(biāo)準(zhǔn)差,暗示了該點(diǎn)處誤差的變化,因而是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù).l為相關(guān)長(zhǎng)度.對(duì)于RAE2822 翼型 0 ≤s≤2.032.

經(jīng)典的K-L 展開對(duì)隨機(jī)變量e(s,ω) 進(jìn)行近似并降維,即

其中 ξi(ω) 指0 均值和單位方差的高斯隨機(jī)變量,即ξi～N(0,12).為了方便,本文取所有點(diǎn)處的(s)≡0,λi和 φi分別表示核函數(shù)的特征值和特征函數(shù).文獻(xiàn)[38]給出了解析的特征函數(shù)表達(dá)式和特征值求解方法,這里不再贅述.特征函數(shù)的截?cái)嚯AK通過保留原始隨機(jī)過程最多的能量方式選取,即

得到K=12.因此本文使用K-L 展開的前12 項(xiàng)去近似隨機(jī)變量e(s,ω),并通過測(cè)試選擇σ=0.001 5 和l=0.2時(shí),特征值隨個(gè)數(shù)增加衰退速度中等,翼型擾動(dòng)和壓力分布變化均較為合適.因此,通過式(15)截?cái)鄿?zhǔn)則,本文選取前12 階特征值和特征函數(shù)構(gòu)成截?cái)嗟腒-L 展開,即使用12 個(gè)隨機(jī)變量控制外形的隨機(jī)分布影響,即 ξi～U(-1,1),i=1,2,···,12.因此,本算例總共考慮飛行狀態(tài)與幾何外形不確定性共14個(gè)不確定因素,即 Ξ=(ξM,ξα,ξ1,ξ2,···ξ12),他們均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

本文使用提出的FAFBS 算法、OMP 算法以及全PC 方法對(duì)上述問題建立PCE 近似.圖5 和圖6分別給出了擾動(dòng)翼型的外形和表面壓力系數(shù)的分布范圍對(duì)比.圖7 給出了使用3 種方法近似阻力系數(shù)均值(μCd)和方差(σCd)的預(yù)測(cè)誤差的收斂曲線對(duì)比,其中參考值使用MCS方法基于 1 06個(gè)LHS 樣本點(diǎn)獲得.可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)使用相同的樣本數(shù)時(shí),基于FAFBS 和OMP 的稀疏PCE方法相對(duì)于全PC 方法獲得了顯著更快的誤差收斂特性.尤其FAFBS 持續(xù)獲得了最快的誤差收斂率和最準(zhǔn)確的近似準(zhǔn)確率.圖8 給出了力矩系數(shù)均值(μCd)和方差(σCd)預(yù)測(cè)的近似誤差收斂曲線對(duì)比,結(jié)果顯示了相同的趨勢(shì).即比如當(dāng)均使用70 個(gè)樣本時(shí),FAFBS 近似阻力系數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差分別為0.069 4 和0.156 8,明顯好于OMP 的0.271 0和0.390 2.同樣樣本下,FAFBS 近似力矩系數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差分別為0.003 22 和0.108 97,仍然好于OMP 的0.090 06和0.381 19 的相對(duì)誤差.表3給出了3 種方法近似氣動(dòng)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性滿足誤差收斂標(biāo)準(zhǔn)時(shí)所選擇的PC 項(xiàng)數(shù)和所需樣本數(shù).結(jié)果顯示,當(dāng)使用190 個(gè)樣本時(shí),FAFBS 選擇了14 個(gè)PC項(xiàng)近似阻力系數(shù)統(tǒng)計(jì)特性誤差在1 count (1 0-4)以內(nèi).而經(jīng)典的OMP 使用210 個(gè)樣本選擇了29 項(xiàng),全PC 基于680 個(gè)截?cái)囗?xiàng)使用了1360 個(gè)樣本,此時(shí)他們預(yù)測(cè)誤差均大于3 counts,而為了達(dá)到1 count 的預(yù)測(cè)誤差則需要遠(yuǎn)遠(yuǎn)更多的樣本.近似升力系數(shù)統(tǒng)計(jì)特性時(shí)也展示出了相同的趨勢(shì),即FAFBS 相對(duì)于其他兩種方法,擁有更快的誤差收斂特性和更可靠的誤差預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率,可完全滿足跨音速流場(chǎng)復(fù)雜氣動(dòng)不確定量和穩(wěn)健設(shè)計(jì)需要.FAFBS 方法相對(duì)于傳統(tǒng)MCS 方法在獲得相同計(jì)算精度時(shí),計(jì)算花費(fèi)減少了3 個(gè)數(shù)量級(jí).

圖5 以RAE2822 翼型為中心的30 個(gè)擾動(dòng)翼型(l=0.2,σ=0.001 5)Fig.5 30 disturbed airfoils around RAE2822 airfoil (l=0.2,σ=0.001 5)

圖6 30 個(gè)擾動(dòng)翼型的壓力分布 (l=0.2,σ=0.001 5)Fig.6 Pressure distributions of 30 disturbed airfoils around RAE2822 airfoil (l=0.2,σ=0.001 5)

圖7 使用FAFBS,OMP 以及全PC 等3 種方法預(yù)測(cè)阻力系數(shù)均值和方差的相對(duì)誤差隨樣本數(shù)變化曲線Fig.7 Variation of relative errors in mean and standard deviation ofCd with increasing HF sample size using full PC,OMP,and FAFBS methods

圖8 使用FAFBS,OMP 以及全PC 等3 種方法預(yù)測(cè)升力系數(shù)均值和方差的相對(duì)誤差隨樣本數(shù)變化曲線Fig.8 Variation of relative errors in mean and standard deviation ofCl with increasing HF sample size using full PC,OMP,and FAFBS methods

表3 使用全PC,OMP 和FAFBS 的PCE 方法近似氣動(dòng)系數(shù)統(tǒng)計(jì)特性的相對(duì)誤差Table 3 Comparison of relative errors in approximating aerodynamics coefficients using full PC,OMP,and FAFBS methods

2.3 聲爆不確定量化

音爆不確定量化已經(jīng)得到了廣泛的關(guān)注和許多研究機(jī)構(gòu)的深入研究[8,39-41],如美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)和日本航空航天研究機(jī)構(gòu)(JAXA)[18]持續(xù)開展了此類研究.

本文主要考慮了溫度T,濕度H,飛行高度L以及馬赫數(shù)Ma這4 個(gè)相互獨(dú)立的不確定變量.其中溫度T和濕度H分布參考雅斯蘭吉航天中心在瑞士的測(cè)量數(shù)據(jù)(2000 年—2009 年8 月)[18].溫度T在高度98 ≤h≤31 376 m 被分為17 層,以及濕度H在高度90 ≤h≤9185m 分為8 個(gè)高度.兩個(gè)因子的均值和標(biāo)準(zhǔn)差在每一層里的值是文獻(xiàn)[18]中給出.本文假設(shè)溫度T和濕度H是兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布變量,即μT(hi)+ξTσT(hi)(i=1,2,···,17)以 及μH(hi)+ξHσH(hi)(i=1,2,···,8),其中 ξT,ξH～N(0,12).每一層的 ξT和ξH均相同.此外,本文定義另外兩個(gè)不確定變量飛行高度L和馬赫數(shù)Ma也 為獨(dú)立正態(tài)分布的,即μL+ξLσL和 μM+ξMσM,其中 ξL,ξM～N(0,12).在這個(gè)應(yīng)用中,飛行高度均值 μL=16 764 m 以及標(biāo)準(zhǔn)差 σL=100 m,馬赫數(shù)均值 μM=1.6 以及標(biāo)準(zhǔn)差 σM=0.1.因此,本算例總共考慮了4 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布輸入變量,即ξT,ξH,ξL和 ξM.

本文使用基于FAFBS 的PCE 方法建立近場(chǎng)波形的多項(xiàng)式混沌代理模型.如圖9 和圖10 所示,FAFBS 方法使用20 個(gè)樣本修建的稀疏多項(xiàng)式混沌獲得了和參考值幾乎重合的標(biāo)準(zhǔn)差和均值分布.其中參考的地面波形標(biāo)準(zhǔn)差和均值均是通過MCS 方法基于10 000 個(gè)樣本計(jì)算得到的.圖11 和圖12 分別給出了標(biāo)準(zhǔn)差和均值近似相對(duì)誤差分布(0.083 ≤t≤0.415 s).結(jié)果顯示,當(dāng)僅僅使用20 個(gè)樣本時(shí),均值和標(biāo)準(zhǔn)差近似的最大相對(duì)誤差在左右.而隨著樣本數(shù)增加到100 時(shí),不同時(shí)間點(diǎn)處相對(duì)誤差均明顯減小.圖13 給出了對(duì)地面波形近似的 ± 2σ 帶分布.

圖9 FAFBS 方法近似地面波形標(biāo)準(zhǔn)差分布Fig.9 Comparison of estimated standard deviation of ground signatures between by FAFBS and MCS methods

圖10 FAFBS 方法近似地面波形標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差分布Fig.10 Relative error of estimated standard deviation of ground signatures by FAFBS with different samples

圖11 FAFBS 方法似地面波形均值分布Fig.11 Comparison of estimated mean of ground signatures between by FAFBS and MCS methods

圖12 FAFBS 方法近似地面波形均值相對(duì)誤差分布Fig.12 Relative error of estimated mean of ground signatures by FAFBS with different samples

圖13 使用FAFBS 方法近似的地面波形 ± 2σ 分布Fig.13 Estimated ± 2σ bounds of ground sonic boom signatures by FAFBS based on 20 samples

進(jìn)一步,使用FAFBS 算法、OMP 算法以及全PC 方法分別對(duì)感受音強(qiáng)水平(PLdB)進(jìn)行不確定量化.表4 所示給出了全PC,LAR 以及FAFBS 方法修建的多項(xiàng)式混沌近似PLdB 統(tǒng)計(jì)矩誤差對(duì)比.結(jié)果再次表明稀疏PCE 在相同的樣本數(shù)下獲得了明顯更好的近似準(zhǔn)確率.FAFBS 方法使用60 個(gè)樣本僅僅選擇了5 項(xiàng)最重要的PC 基,分別獲得了e(μs)=0.002 98% 和e(σs)=0.094 0% 的最低近似誤差.而全PC 使用多達(dá)660 個(gè)樣本,獲得了e(μs)=0.025 75%以及e(σs)=1.725 0% 的最大近似誤差.圖14 的結(jié)果也進(jìn)一步顯示,FAFBS 方法準(zhǔn)確恢復(fù)了5 個(gè)最大的PC 基系數(shù),而LAR 方法選擇了一些非常小的PC 基系數(shù),引入了噪聲,以至于LAR 方法沒有準(zhǔn)確恢復(fù)一些最重要的PC 基系數(shù).3 種方法建立的PCE 近似的收斂性分析如圖15 所示.FAFBS 方法獲得了最快的誤差收斂率以及最小的近似誤差,而全PC 方法收斂最慢.當(dāng)使用80個(gè)樣本時(shí),FAFBS方(法近)似均值和標(biāo)準(zhǔn)差的近似誤差分別達(dá)到了,而全PC和LAR方法要達(dá)到相同的近似準(zhǔn)確率,卻需要遠(yuǎn)遠(yuǎn)更多的樣本.

圖14 FAFBS 和LAR 方法近似PLdB 恢復(fù)的多項(xiàng)式系數(shù)與參考值對(duì)比Fig.14 Recovered PCE coefficients by FAFBS and LARs-based techniques compared with the reference coefficients obtained by GPNIPC with sufficient samples

圖15 使用FAFBS,LAR 以及全PC 方法近似PLdB 均值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差隨樣本數(shù)變化Fig.15 Comparison of variation of relative error in mean of PLdB using FAFBS,LAR,and Full PC methods.

表4 使用3 種方法修建的多項(xiàng)式混沌近似感受音強(qiáng)水平(PLdB)均值和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差對(duì)比Table 4 Comparison of estimated moment of perceived noise level (PLdB) using three methods

通過分析也可以發(fā)現(xiàn),OMP 或者LAR 這類前向選擇算法在自適應(yīng)基選擇過程中,不斷挑選新的基函數(shù)進(jìn)入活躍集合,然后擬合活躍集合中的所有多項(xiàng)式項(xiàng)獲得PC 系數(shù),即同時(shí)最小化 β1和截?cái)嗾`差.然而,在實(shí)際問題中,由于樣本量通常較少,自適應(yīng)基選擇過程中會(huì)不可避免地引入誤差導(dǎo)致一些不重要的基被選入,使得OMP 或者LAR 難以獲得最稀疏的多項(xiàng)式基集合和最優(yōu)的PC 近似.FAFBS 相對(duì)于OMP 或LAR 通過全自適應(yīng)的前向-后向選擇過程,使得活躍集獲得最優(yōu)的多項(xiàng)式集合,進(jìn)而提高了近似準(zhǔn)確率.同時(shí)FAFBS 剔除掉不重要的基函數(shù),避免擬合這些基函數(shù)帶來的噪聲影響,提高了稀疏多項(xiàng)式混沌重構(gòu)的可靠性.此外,對(duì)于一般的工程問題,輸入變量的分布通常是未知的,并且可能是相關(guān)或者離散的.此時(shí)可以基于輸入樣本數(shù)據(jù),構(gòu)建基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的aPC 基[42-43],然后結(jié)合FAFBS 高效算法,建立適用于一般問題的最優(yōu)稀疏PC 模型.

3 結(jié)論

隨著飛行器各種性能要求的不斷提高和先進(jìn)計(jì)算力的發(fā)展,在設(shè)計(jì)過程中考慮各種可能的不確定源的影響并設(shè)計(jì)出具有穩(wěn)健性能表現(xiàn)的飛行器具有重要意義.然而考慮多源不確定性的氣動(dòng)不確定量化方法如MCS 以及全PCE 等方法均無法避免高昂的計(jì)算花費(fèi),并且適應(yīng)性差,難以滿足飛行器復(fù)雜流場(chǎng)/聲爆不確定量化需求.針對(duì)這一難題,本文提出了一種基于FAFBS 的高效稀疏PC 重構(gòu)方法.它通過全自適應(yīng)前向選擇-后向檢查-迭代篩選等步驟自動(dòng)選擇對(duì)所近似系統(tǒng)最優(yōu)的稀疏PC 基,解決了經(jīng)典前向選擇算法如OMP 和LAR 等無法剔除已入選冗余PC 基而導(dǎo)致擬合噪聲,以及典型后向剔除算法總是剔除過多造成過擬合等難題,顯著加強(qiáng)了PC 基近似的稀疏性和可靠性.

基于發(fā)展的高效稀疏多項(xiàng)式混沌重構(gòu)方法,本文開展了考慮多源不確定性的流場(chǎng)/聲爆不確定量化研究,包括經(jīng)典的Park 函數(shù)、考慮加工誤差和飛行狀態(tài)參數(shù)不確定的跨音速RAE2822 翼型復(fù)雜流場(chǎng)不確定量化以及考慮溫度、濕度、飛行高度和馬赫數(shù)不確定的經(jīng)典音爆不確定量化等3 個(gè)應(yīng)用.結(jié)果均顯示,基于FAFBS 的稀疏PC 方法獲得了最快的誤差收斂率以及相同樣本下最小的近似誤差,基于LAR 或OMP 的稀疏PC 方法的收斂率顯著慢于FAFBS 方法,而原始的全PC 方法收斂最慢,相同樣本數(shù)下誤差也最大.進(jìn)一步對(duì)比發(fā)現(xiàn),對(duì)于采用70個(gè)樣本進(jìn)行跨音速流場(chǎng)不確定量化時(shí),基于FAFBS的稀疏PC 方法近似跨音速RAE2822 翼型流場(chǎng)的阻力系數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差分別為0.069 4 和0.156 8,明顯好于基于OMP 的稀疏PC 方法的0.271 0 和0.390 2.繼續(xù)增加樣本時(shí),FAFBS 相對(duì)于OMP 方法的優(yōu)勢(shì)更加顯著.同樣,當(dāng)基于80 個(gè)樣本進(jìn)行音爆不確定量化時(shí),基于FAFBS 的稀疏PC 方法獲得的感受音強(qiáng)水平均值和標(biāo)準(zhǔn)差近似誤差分別為,而全PC 和基于LAR 的稀疏PC 方法要達(dá)到相同的近似準(zhǔn)確率則需要遠(yuǎn)遠(yuǎn)更多的樣本.相對(duì)于直接使用蒙特卡羅模擬方法進(jìn)行不確定量化,使用基于FAFBS 的稀疏PC 方法在達(dá)到相同矩估計(jì)準(zhǔn)確率時(shí),計(jì)算花費(fèi)減少3 個(gè)數(shù)量級(jí),可完全滿足高效飛行器復(fù)雜流場(chǎng)/聲爆多源不確定量化以及多學(xué)科穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)需求.

附錄A 聲爆數(shù)值分析驗(yàn)證

準(zhǔn)確的音爆預(yù)測(cè)與分析是超聲速飛機(jī)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)[44].本節(jié)首先采用SBPW-2 會(huì)議給出的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算例驗(yàn)證課題組程序的準(zhǔn)確性.其中Lockheed Martin 1021 (LM1021) 是洛馬公司設(shè)計(jì)的一型新一代超音速客機(jī)布局,Axibody 為一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何回轉(zhuǎn)體,他們的三視圖和外形分別如圖 A1 和圖A2 所示.圖 A3 給出了課題組開發(fā)的計(jì)算程序[45]與sBOOM計(jì)算地面波形對(duì)比.LM1021 預(yù)測(cè)結(jié)果顯示,二者的預(yù)測(cè)波形基本相似,二者 0°周向角的結(jié)果基本重合,3 0°周向角的結(jié)果在0.275 s 處有所偏差.而針對(duì)Axibody 算例,在兩個(gè)周向角下,兩者的計(jì)算結(jié)果都比較接近,預(yù)測(cè)精度基本相當(dāng).然而,音爆傳播到近場(chǎng)波形受大氣不確定性的影響非常敏感,以至于開展音爆不確定分析已經(jīng)成為穩(wěn)健低音爆超聲速飛機(jī)設(shè)計(jì)的重要部分[39].

圖A1 LM1021 外形[39]Fig.A1 The configuration of LM1021[39]

圖A2 Axibody 幾何外形Fig.A2 The configuration of Axibody

圖A3 課題組程序與sBOOM 對(duì)(a) LM1021 和(b) Axibody 外形的預(yù)測(cè)地面波形比較(采用SBPW 給出的標(biāo)準(zhǔn)大氣,相對(duì)濕度為70%)Fig.A3 Comparisons of ground signatures in 2nd SBPW against sBOOM for (a) LM1021 and (b) Axibody (atmospheric conditions:standard atmosphere profile,constant relative humidity of 70%,rolling angle: 0°)

附錄B 跨音速流場(chǎng)數(shù)值分析驗(yàn)證

RAE2822 翼型是經(jīng)典的超臨界翼型,經(jīng)常被用來驗(yàn)證數(shù)值分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[36].這里選取的典型計(jì)算狀態(tài)為:Ma=0.730,Re=6.5×106,以及Cl=0.800.表B1 給出了RAE2822計(jì)算所使用3 套計(jì)算網(wǎng)格.網(wǎng)格為C 型拓?fù)?遠(yuǎn)場(chǎng)距離為50 倍翼型弦長(zhǎng),湍流模型均使用兩方程SST.圖B1 給出了數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)值壓力分布對(duì)比.可以看出,隨著網(wǎng)格密度增加,數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合越來越好,對(duì)激波位置和強(qiáng)度的捕捉也更為準(zhǔn)確.圖B2 給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)氣動(dòng)力系數(shù)的對(duì)比.結(jié)果顯示,使用密網(wǎng)格計(jì)算所得阻力系數(shù)與試驗(yàn)值誤差為0.000 200 7,升力系數(shù)誤差為0.005 3,可以滿足氣動(dòng)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)需求.

圖B1 RAE2822 不同計(jì)算網(wǎng)格近場(chǎng)及遠(yuǎn)場(chǎng)展示Fig.B1 Spatial mesh around RAE2822 with different sizes

圖B1 RAE2822 不同計(jì)算網(wǎng)格近場(chǎng)及遠(yuǎn)場(chǎng)展示 (續(xù))Fig.B1 Spatial mesh around RAE2822 with different sizes (continued)

圖B2 不同網(wǎng)格計(jì)算壓力分布與試驗(yàn)壓力分布對(duì)比Fig.B2 Spatial mesh around RAE2822 with different sizes