陳柯帆 李 源,?, 賀拴海,? 宋一凡,? 徐珂瑤

* (長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院,西安 710064)

? (長(zhǎng)安大學(xué)舊橋檢測(cè)與加固技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710064)

引言

斜拉橋整體剛度低,受載荷作用產(chǎn)生全橋振動(dòng)時(shí),將同時(shí)存在以拉索振動(dòng)模態(tài)為主導(dǎo)的結(jié)構(gòu)局部模態(tài)和以主塔或主梁振動(dòng)模態(tài)為主導(dǎo)的結(jié)構(gòu)整體模態(tài)[1].研究表明,隨著拉索參數(shù)變化,當(dāng)結(jié)構(gòu)局部模態(tài)頻率靠近某一階結(jié)構(gòu)整體模態(tài)頻率時(shí),系統(tǒng)將出現(xiàn)明顯的局部-整體模態(tài)耦合共振,此時(shí)系統(tǒng)能量在拉索與其他構(gòu)件間周期性轉(zhuǎn)換,進(jìn)而產(chǎn)生復(fù)雜的非線性內(nèi)共振[2-5].已有研究表明斜拉橋普遍存在此類特征的全橋共振[6],有的甚至已經(jīng)嚴(yán)重影響到橋梁結(jié)構(gòu)的安全性能與使用壽命[7],引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.

在部分非線性共振研究中,通過(guò)把塔、索和梁等構(gòu)件等效為質(zhì)量塊[8],或?qū)⒅髁簩?duì)拉索的激勵(lì)作用等效為簡(jiǎn)諧載荷[9-12],認(rèn)為拉索自身模態(tài)與激勵(lì)作用模態(tài)間相互獨(dú)立,彼此間無(wú)影響作用.然而在斜拉橋這類塔-索-梁耦合結(jié)構(gòu)的內(nèi)共振中,對(duì)拉索模態(tài)的激勵(lì)作用主要來(lái)源于主梁或主塔的振動(dòng)模態(tài),由于索-梁端、索-塔端存在動(dòng)態(tài)協(xié)調(diào)關(guān)系,拉索的振動(dòng)模態(tài)與主梁或主塔振動(dòng)模態(tài)間存在相互耦合的關(guān)系,兩者模態(tài)間實(shí)時(shí)變化且相互影響,其內(nèi)共振機(jī)理非常復(fù)雜[13].因此,為了能更貼近工程實(shí)際結(jié)構(gòu),Fujino 等[14-15]和Gattulli 等[16-17]從試驗(yàn)和理論角度出發(fā),研究并建立了考慮局部-整體模態(tài)間相互作用的索-梁耦合動(dòng)力學(xué)模型,提出了振型局部化系數(shù)的計(jì)算方法,并觀察到了由于整體模態(tài)和局部模態(tài)線性耦合的模態(tài)失真現(xiàn)象.康厚軍等從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)角度出發(fā),建立了索-梁[18-19]、索-拱[20-21]、索-塔[22]、索-曲線梁[23]等動(dòng)力學(xué)模型,基于彈性體與柔性體間的非線性關(guān)系,得到了各自約化動(dòng)力學(xué)控制方程,并就其非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了系列的理論與試驗(yàn)研究.

關(guān)于斜拉橋內(nèi)共振的現(xiàn)有研究絕大多數(shù)以索-梁耦合結(jié)構(gòu)為主[1-19,23-24],其通過(guò)假設(shè)拉索上端固結(jié)而忽略了主塔振動(dòng)模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)整體模態(tài)的耦合作用,此時(shí)與拉索振動(dòng)模態(tài)產(chǎn)生耦合關(guān)系的整體模態(tài)完全以主梁模態(tài)為主導(dǎo).然而在目前實(shí)橋或試驗(yàn)觀測(cè)到,全橋共振時(shí)斜拉索、主梁和主塔均發(fā)生了大幅振動(dòng),且后兩者模態(tài)的參與將改變斜拉索的某些非線性動(dòng)力特性[5,13,25].極少數(shù)考慮了主塔激勵(lì)的研究或?qū)⑵湟暈槔硐爰?lì)[26-28],或通過(guò)模態(tài)截?cái)鄡H考慮了主塔的一階模態(tài)[29],這些研究模型及結(jié)果顯然不能全面揭示斜拉橋的動(dòng)力學(xué)行為.因此,考慮塔-梁模態(tài)耦合作用建立的塔-索-梁耦合結(jié)構(gòu)更契合工程實(shí)際結(jié)構(gòu)體系,其研究結(jié)果才能更準(zhǔn)確反映斜拉橋內(nèi)共振機(jī)理.

本文基于參數(shù)質(zhì)量離散方法,建立了考慮塔-梁模態(tài)耦合作用的塔-索-梁耦合動(dòng)力學(xué)模型,通過(guò)有限差分法將參數(shù)體系的動(dòng)力平衡微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程,采用模態(tài)拖拽法得到了結(jié)構(gòu)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)方程和模態(tài)函數(shù),并與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證.在此基礎(chǔ)上,采用4～5 階Runge-Kutta 方法編寫了振動(dòng)方程的數(shù)值仿真程序,重點(diǎn)分析和討論了塔-梁間模態(tài)耦合作用對(duì)結(jié)構(gòu)整體模態(tài)和結(jié)構(gòu)1:1 內(nèi)共振的影響.

1 斜拉橋面內(nèi)動(dòng)力學(xué)模型

忽略主塔和主梁軸向振動(dòng)位移,基于參數(shù)質(zhì)量體系離散方法[2,30-31],將斜拉橋主塔及主梁分別按照db,dp等間距劃分為參數(shù)質(zhì)量體系,以此建立固結(jié)體系斜拉橋的面內(nèi)離散動(dòng)力學(xué)模型如圖1 所示.

圖1 離散化的斜拉橋面內(nèi)整體動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 The in-plane full bridge dynamic model of a cable-stayed bridge

本文約定下標(biāo)“p,c,b”分別代表塔、索和梁的相關(guān)參數(shù),其中r和j分別表示對(duì)塔段和梁段的計(jì)數(shù)(r∈[1,R],j∈[1,J]),i表示拉索的計(jì)數(shù)(i∈[1,I]),定義Ci#和Bj#分別表示小里程至大里程方向的第i根拉索和第j個(gè)梁段,Pr#表示豎直由上至下方向的第r個(gè)塔段,而Pri#和Bji#對(duì)應(yīng)拉索錨固處的塔段及梁段;θci表示拉索與主梁大里程方向夾角.需要說(shuō)明的是,為方便計(jì)算,將P0#的質(zhì)量歸于P1#,其余邊界質(zhì)點(diǎn)無(wú)位移,故忽略其質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)整體運(yùn)動(dòng)的影響.對(duì)Ci#及其連接的Pri#和Bji#開(kāi)展受力分析如圖2 所示.

圖2 Ci#振動(dòng)子系統(tǒng)受力分析示意圖Fig.2 The forced diagram of the Ci# dynamic subsystem

圖中zpr,xci和xbj分別表示Pr#,Ci#和Bj#在各自軸向的坐標(biāo);mpr和mbj分別表示Pr#和Bj#的質(zhì)量,另有mci表示Ci#的單位長(zhǎng)度質(zhì)量;wci,vci和uci分別簡(jiǎn)寫自wci(xci),vci(xci,t) 和uci(xci,t),其中wci為拉索的靜平衡線形,vci為拉索的橫向振動(dòng)位移,uci為拉索的軸向振動(dòng)位移;s0ci為Ci#靜平衡長(zhǎng)度,sci為Ci#振動(dòng)弧長(zhǎng);vpr和vbj分別簡(jiǎn)寫自vpr(zpr,t),vbj(xbj,t),分別表示Pr#的橫向振動(dòng)位移及Bj#的豎向振動(dòng)位移.βb(j-1,j)表示Bj-1#和Bj#面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角,Fb(j-1,j)與Nb(j-1,j)分別表示為Bj-1#與Bj#間的剪力與軸力,同理如βp(r-1,r),Fp(r-1,r),Np(r-1,r)之于Pr#.試驗(yàn)表明[32],張緊弦的低階模態(tài)是自由振動(dòng)時(shí)的主導(dǎo)模態(tài).若僅考慮拉索的低階模態(tài),則其軸向慣性效應(yīng)可以忽略(準(zhǔn)靜態(tài)近似),此時(shí)拉索的軸向動(dòng)力學(xué)將通過(guò)靜態(tài)縮聚的形式被其橫向動(dòng)力學(xué)所控制[33].在此基礎(chǔ)上,假設(shè)拉索質(zhì)量沿弦向均勻分布,建立拉索面內(nèi)靜平衡方程及靜平衡附近的橫向非線性振動(dòng)方程分別如式(1)和式(2)所示

式中,g表示重力加速度,取9.806 m/s2;Tci和τci分別表示Ci#在切向的初始索力與索力動(dòng)增量,其與弦向的初始索力(Hci)與索力動(dòng)增量間(hci)存在近似關(guān)系[7,19]

拉索橫向運(yùn)動(dòng)的單位動(dòng)應(yīng)變表達(dá)式為

對(duì)式(4)沿xci方向積分,代入式(3)并簡(jiǎn)化后,可以得到拉索弦向的索力動(dòng)增量表達(dá)式為

式中,lci表示Ci#上下端錨固點(diǎn)的弦向距離,Lci表示Ci#靜平衡長(zhǎng)度;Uci表示Ci#軸向振動(dòng)伸長(zhǎng)量.fci為Ci#的垂度,表示靜平衡狀態(tài)下的索中點(diǎn)與弦向中點(diǎn)的橫向距離[19,24,31].Ci#軸向振動(dòng)伸長(zhǎng)量由其上下邊界處連接的Pri#和Bji#運(yùn)動(dòng)分量構(gòu)成

為了使對(duì)稱拉索的兩端邊界條件符號(hào)一致,認(rèn)為塔段的右側(cè)位移、梁段的向上位移、拉索沿軸線順時(shí)針橫向振動(dòng)位移為正.基于此,拉索振動(dòng)時(shí)邊界條件為

根據(jù)牛頓定律和圖2 的受力分析,并考慮到狄拉克函數(shù)性質(zhì)(δ),分別建立任意Pr#橫向及Bj#豎向動(dòng)力平衡方程

式中,參數(shù)上標(biāo)“·”表示對(duì)時(shí)間t求偏導(dǎo);ηpk和ηbk分別表征固結(jié)體系斜拉橋中主塔及主梁運(yùn)動(dòng)通過(guò)索-梁固結(jié)點(diǎn)相互影響作用,下標(biāo)“k”表示與該點(diǎn)相關(guān)參數(shù),下同.對(duì)于任一塔段而言,Pr#左右側(cè)軸力表達(dá)式為

對(duì)于任一梁段而言,Bj#左右側(cè)軸力表達(dá)式為

任意相鄰的塔段或梁段間存在平衡關(guān)系

式中,參數(shù)上標(biāo)“'”表示對(duì)軸向坐標(biāo)求偏導(dǎo);Mpr和Mbj分別表示Pr#和Bj#處的彎矩;Epr和Ebj分別表示Pr#和Bj#的彈性模量;Ipr表示Pr#的面內(nèi)橫向彎曲慣性矩;Ibj表示Bj#的面內(nèi)豎向彎曲慣性矩.假設(shè)質(zhì)量體系分布較密,相鄰梁段間的相對(duì)位移較小,采用差分法將對(duì)位移的偏微分多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為差分代數(shù)方程[2,31]

對(duì)于塔-梁固結(jié)斜拉橋,索-梁固結(jié)點(diǎn)處離散段同時(shí)為橋塔和主梁的一部分,塔與梁振動(dòng)模態(tài)間存在相互影響,且通過(guò)該點(diǎn)進(jìn)行傳遞.截取索-梁節(jié)點(diǎn)受力示意圖如圖3 所示.

圖3 塔-梁固結(jié)點(diǎn)處的受力分析示意圖Fig.3 The forced diagram of the pylon-beam connection joint

如圖3 所示,根據(jù)離散模型的假設(shè),該點(diǎn)處橫向及縱向振動(dòng)位移為零,而其水平、豎向的剪力與軸力表達(dá)式間分別存在相互作用

圖1 中,主塔上端自由、下端固結(jié),主梁左右側(cè)均為簡(jiǎn)支端,其邊界條件分別為

式中,e+,e-分別表示大小里程邊界.考慮邊界條件式(27)～式(30)后,整理式(15)～式(26)并分別代入式(13) 和式(14),可以得到面內(nèi)的Pr#橫向及Bj#豎向運(yùn)動(dòng)方程.

2 結(jié)構(gòu)整體模態(tài)定義與模態(tài)分析

2.1 運(yùn)動(dòng)方程與模態(tài)函數(shù)

為便于找到系統(tǒng)的內(nèi)共振形式,采用模態(tài)拖拽法定義第n階斜拉橋塔、索、梁自由振動(dòng)位移表達(dá)式[31,34]

式中,加粗符號(hào)表示矩陣或向量(下同),基本形式列于附錄A.式(31)是一個(gè)含有多維向量(塔/梁)和連續(xù)函數(shù)(索) 的混合表達(dá)式,其中,元素為φpr(n),φbj(n)的向量分別表示塔、梁在第n階面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)下的振動(dòng)模態(tài)振型向量;qnpr簡(jiǎn)寫自qpr(t)(n),表示與時(shí)間相關(guān)的主塔第n階振動(dòng)模態(tài)形狀變化因子,同理如qnci與qnbj;元素為fpi(xci),fbi(xci)表示與邊界條件式(10)和式(12)關(guān)聯(lián)的模態(tài)拖拽函數(shù)向量,定義其基本形式為[34]

對(duì)于圖1 所示的主塔與主梁離散參數(shù)質(zhì)量體系,Pr#和Bj#的形狀變化因子已包括了各自各階振動(dòng)模態(tài)下的振型函數(shù).因此,Pr#和Bj#的振動(dòng)位移表達(dá)式可以簡(jiǎn)寫為

式中,Apr(n)(zpr)表示Pr#在結(jié)構(gòu)第n階振動(dòng)模態(tài)下的振幅,同理如Aci(n)(xci)和Abj(n)(xbj).為簡(jiǎn)化表達(dá),選取三角函數(shù)作為式(31)中拉索振動(dòng)方程的振型基函數(shù)[19,26-27]

基于此,可以得到Ci#橫向振動(dòng)方程為

將上式連同式(34)和式(35)分別代入整合后的式(2)、式(13)和式(14),使用Galerkin 方法進(jìn)行模態(tài)截?cái)嗫傻脠D1 所示固結(jié)斜拉橋的面內(nèi)整體運(yùn)動(dòng)方程.考慮到張緊弦的低階模態(tài)是其自由振動(dòng)時(shí)的主導(dǎo)模態(tài),為簡(jiǎn)化計(jì)算,在此僅考慮了拉索一階振動(dòng)模態(tài),并將qnci簡(jiǎn)寫為qci,得到結(jié)構(gòu)方程如下所示

式中,對(duì)角矩陣Ωpr,Ωnci和Ωbj是主塔、拉索與主梁振動(dòng)模態(tài)的特征對(duì)角矩陣,其主元參數(shù)量綱與頻率相同.其中,Ωpr和Ωbj表達(dá)式為

式中,矩陣S,D,C,G分別表征了剪力效應(yīng)、軸力效應(yīng)、拉索的彈性支承效應(yīng)與重力效應(yīng)對(duì)Pr#或Bj#振動(dòng)模態(tài)的影響,各參數(shù)表達(dá)式詳見(jiàn)附錄B.從式(38)～式(40)可以看出,Pr#,Ci#和Bj#的運(yùn)動(dòng)方程存在耦合項(xiàng),表明離散的塔段或梁段運(yùn)動(dòng)并不彼此獨(dú)立,其通過(guò)剪力與軸力效應(yīng)相互影響,共同參與結(jié)構(gòu)的整體運(yùn)動(dòng).此外,線性化后的式(38)～式(40)實(shí)質(zhì)是關(guān)于結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)模態(tài)頻率ωN的K階齊次超越方程

式中,下標(biāo)“N” 的參數(shù)表示結(jié)構(gòu)面內(nèi)固有振動(dòng)模態(tài)參數(shù);EN表示結(jié)構(gòu)整體運(yùn)動(dòng)的特征矩陣,QN表示結(jié)構(gòu)形狀變化因子向量,其表達(dá)式如下所示

式(44) 中,除塔、索和梁特征矩陣外,存在Πbj,3等耦合項(xiàng)系數(shù),表征了塔、索、梁等構(gòu)件振動(dòng)模態(tài)在結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)下的耦合作用.式(43)存在非零解的前提須EN行列式為零.因此,對(duì)EN進(jìn)行特征值求解可得結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)參數(shù)

式中,ωN(K)表示結(jié)構(gòu)前K階固有振動(dòng)模態(tài)頻率.其中第n階頻率ωN(n)對(duì)應(yīng)的特征向量AN(n)表示該階振動(dòng)模態(tài)下的塔、索和梁構(gòu)件振動(dòng)模態(tài)的振幅向量.將結(jié)構(gòu)第n階固有振動(dòng)模態(tài)頻率ωN(n)和對(duì)應(yīng)的特征向量AN(n)代入式(34)、式(35)和式(37)后,可以得到塔、索、梁的振動(dòng)位移表達(dá)式.由于本文僅考慮了拉索的一階頻率,則式(46)的K個(gè)解中包含了C1#～C4#的1 階局部模態(tài)頻率,其余為結(jié)構(gòu)的整體振動(dòng)模態(tài)頻率,此時(shí)

若將主梁和拉索無(wú)限細(xì)分,且使用拉索的前N階模態(tài)進(jìn)行截?cái)?則式(46)有N個(gè)解,此時(shí)K=N,按照ωN(k)數(shù)值大小升序排列即為結(jié)構(gòu)的第1 階至第N階固有振動(dòng)模態(tài)頻率.

2.2 基于FEM 的斜拉橋整體模態(tài)驗(yàn)證

參考中國(guó)西北地區(qū)一座斜拉橋設(shè)計(jì)參數(shù),建立一座單塔四索斜拉橋的動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型,構(gòu)件參數(shù)如表1 和表2 所示.

表1 拉索參數(shù)Table 1 Parameters of cables

表2 主塔及主梁參數(shù)Table 2 Parameters of the pylon and beam

為辨別結(jié)構(gòu)模態(tài),引入模態(tài)局部化程度系數(shù)Λc(n),Λp(n)和Λb(n)[1,24-25]以定義構(gòu)件的振動(dòng)模態(tài)在第n階整體模態(tài)下的模態(tài)參與度

基于上式獲取的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)僅包含結(jié)構(gòu)整體模態(tài)的特征值與特征向量.將本文方法(EMP)與有限元方法(FEM)得到的G1st～G5th整體模態(tài)振型及頻率匯總?cè)绫?.

表3 兩種方法得到的結(jié)構(gòu)體系整體模態(tài)振型Table 3 Global modal shapes obtained via these two methods

表3 中,兩種方法得到的結(jié)構(gòu)整體模態(tài)振型幾乎一致,表4 中模態(tài)頻率誤差隨離散間距d取值減小而減小,這與式(21)～式(24)中有限差分法應(yīng)用假設(shè)相關(guān).采用本文方法求解復(fù)雜塔-索-梁結(jié)構(gòu)體系模態(tài)參數(shù),在誤差可接受范圍內(nèi)確定離散間距d及結(jié)構(gòu)特征矩陣(式(44))元素的取值,借助MATLAB,Excel 等工具即可高效率獲取結(jié)構(gòu)體系固有振型及頻率,無(wú)需進(jìn)行大量細(xì)化的有限元建模分析.本文后續(xù)研究為避免較大計(jì)算量,離散間距取值為4 m.

表4 兩種方法得到的結(jié)構(gòu)體系整體模態(tài)頻率Table 4 Global modal frequencies obtained via these two methods

2.3 主塔振動(dòng)模態(tài)對(duì)整體模態(tài)的影響

表3 顯示,在本文塔-索-梁耦合模型中,結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)不再完全以主塔或主梁的振動(dòng)模態(tài)為主,而是存在由兩者共同參與的混合整體模態(tài),如G1st,G4th等.為開(kāi)展進(jìn)一步研究,建立了3 個(gè)動(dòng)力學(xué)模型,如表5 所示.

表5 3 種索-支撐簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型Table 5 Three dynamic models reduced from the cable-support structures

表5 中DM2#被廣泛采用于索-梁模態(tài)耦合的相關(guān)非線性振動(dòng)研究[2,15-18,26-27,31].采用本文方法對(duì)表5 中的3 個(gè)模型進(jìn)行特征值求解,剝離其整體模態(tài)頻率匯總?cè)鐖D4 所示.

圖4 3 個(gè)結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)頻率Fig.4 The global modal frequencies of these three structures

圖4 中Bnth表示以梁第n階局部模態(tài)為主的整體模態(tài);Pnth表示以塔第n階局部模態(tài)為主的整體模態(tài).上圖表明,DM1#的整體模態(tài)由塔和梁的振動(dòng)模態(tài)組成.在數(shù)值大于10 Hz 的高階模態(tài)中,DM1#整體模態(tài)頻率數(shù)值上分別與DM2#中梁的振動(dòng)模態(tài)頻率和DM3#中塔的振動(dòng)模態(tài)頻率相等,表明塔-梁振動(dòng)模態(tài)間的耦合作用無(wú)法影響結(jié)構(gòu)的高階整體模態(tài)頻率;而在低階整體模態(tài)中,三者模型的模態(tài)頻率數(shù)值上存在一定差異.為進(jìn)一步研究,取圖4 中陰影部分的G1st～G9th階模態(tài)參數(shù)如圖5 所示.

圖5 G1st～G9th 結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)頻率變化曲線Fig.5 The trends of the structural global modal frequencies of G1st～G9th

圖5 中在G1st,G3rd,G4th,G5th,G7th和G8th階等低階反對(duì)稱整體模態(tài)中,DM1#與其他兩個(gè)模型得到的模態(tài)頻率存在較大誤差,且局部化程度系數(shù)顯示主塔振動(dòng)模態(tài)參與了以主梁振動(dòng)模態(tài)為主導(dǎo)的整體模態(tài)運(yùn)動(dòng),使得該階整體模態(tài)由完全以主梁模態(tài)為主導(dǎo)的完全整體模態(tài)轉(zhuǎn)為塔-梁振動(dòng)模態(tài)耦合的混合整體模態(tài).而對(duì)于低階的對(duì)稱整體模態(tài)(如G2nd,G6th)、高階整體模態(tài)(G9th及以上),塔-梁模態(tài)耦合作用對(duì)結(jié)構(gòu)整體模態(tài)沒(méi)有明顯影響,此時(shí)塔或梁的振動(dòng)模態(tài)完全主導(dǎo)了該階整體模態(tài).這表明,在考慮了主塔振動(dòng)模態(tài)以后,斜拉橋等塔-索-梁耦合結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)可以進(jìn)一步被細(xì)分為完全整體模態(tài)和混合整體模態(tài),其細(xì)分流程如圖6所示.

圖6 斜拉橋面內(nèi)固有振動(dòng)模態(tài)的細(xì)分流程Fig.6 The reduced process of the in-plane natural vibration modes of cable-stayed bridges

上述研究結(jié)果表明,主塔振動(dòng)模態(tài)參與度決定了結(jié)構(gòu)整體模態(tài)的動(dòng)力特性,在斜拉橋這類塔-索-梁耦合模型中,考慮主塔振動(dòng)模態(tài)對(duì)研究因局部-整體模態(tài)耦合激勵(lì)產(chǎn)生的內(nèi)共振現(xiàn)象具有重要意義.

3 斜拉橋1:1 內(nèi)共振分析

3.1 模態(tài)翻轉(zhuǎn)與1:1 內(nèi)共振動(dòng)力特性

為排除起振閾值影響以更清晰觀測(cè)內(nèi)共振響應(yīng)變化規(guī)律[6],本文以“1:1”內(nèi)共振為主要研究對(duì)象.在考慮拉索前2 階振動(dòng)模態(tài)的基礎(chǔ)上,從純數(shù)值角度變化斜拉索索力與垂度參數(shù),匯總結(jié)構(gòu)第5 階固有振動(dòng)頻率(N5th)至結(jié)構(gòu)第9 階固有振動(dòng)頻率(N9th)變化規(guī)律如圖7 所示.

圖7 結(jié)構(gòu)N5th～N9th 整體模態(tài)頻率隨C1#的垂度與索力變化曲線Fig.7 The trends of the global modal frequencies from N5th to N9th with the sag and force of C1#

圖7 中,隨著C1#垂度及索力參數(shù)變化,當(dāng)結(jié)構(gòu)局部模態(tài)頻率臨近某一階結(jié)構(gòu)整體模態(tài)頻率時(shí),兩者模態(tài)振型發(fā)生了快速且連續(xù)的交換(Veering 現(xiàn)象[1]).此時(shí)局部-整體模態(tài)間發(fā)生耦合,結(jié)構(gòu)能量在拉索與系統(tǒng)內(nèi)其他構(gòu)件間進(jìn)行周期性地轉(zhuǎn)換,容易激勵(lì)產(chǎn)生1:1 內(nèi)共振.研究表明,內(nèi)共振完全由系統(tǒng)非線性特性決定[35].為進(jìn)一步研究這種現(xiàn)象并驗(yàn)證本文結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力特性,引入系數(shù)σci表示Ci#拉索局部頻率(ωci)增量,Θci(n)表示Ci#拉索局部模態(tài)頻率與結(jié)構(gòu)第n階整體模態(tài)頻率(ωG(n))的靠近程度[24,31]

采用4～5 階Runge-Kutta 積分方法對(duì)式(38)～式(40)進(jìn)行數(shù)值仿真.為清晰展示系統(tǒng)構(gòu)件在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的動(dòng)力特性,提高仿真效率,本文的數(shù)值仿真過(guò)程設(shè)定固定步長(zhǎng)為0.001 s,迭代時(shí)間為100 s.在塔頂(P1#)、梁小里程端點(diǎn)(B1#)附近同時(shí)設(shè)置了0.02 m 的初始位移,改變?chǔ)襝i至分別與第G6th與G8th模態(tài)頻率滿足“1:1”比例關(guān)系.由圖5 可知,G6th為以主梁模態(tài)為主導(dǎo)的整體模態(tài),而G8th為以主塔模態(tài)為主導(dǎo)的混合模態(tài).對(duì)獲取的拉索振動(dòng)響應(yīng)曲線進(jìn)行快速傅里葉分析(FFT),匯總拉索中點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)及對(duì)應(yīng)頻譜圖如圖8 所示.

圖8 局部-整體模態(tài)耦合激勵(lì)產(chǎn)生“1:1”內(nèi)共振現(xiàn)象Fig.8 The phenomenon of the 1:1 internal resonance excited by the local-global modal interactions

圖8(a) 與圖8(b) 顯示,C1#分別與G6th和G8th整體模態(tài)“1:1”耦合并產(chǎn)生了“拍”特性明顯的內(nèi)共振.這表明,拉索局部模態(tài)與HGM 和EGM (定義見(jiàn)圖6)兩者“1:1”耦合都可以激勵(lì)拉索產(chǎn)生“1:1”內(nèi)共振.而這樣“拍”特性明顯的內(nèi)共振現(xiàn)象同樣驗(yàn)證了本文推導(dǎo)方程及數(shù)值仿真方法可以有效進(jìn)行非線性動(dòng)力響應(yīng)分析.

此外,對(duì)比圖8(a)與圖8(b)后可得,在同等的初始條件下,由兩種不同主導(dǎo)模態(tài)激勵(lì)產(chǎn)生的內(nèi)共振響應(yīng)的“拍”頻及幅值不同,表明拉索的內(nèi)共振動(dòng)力特性隨主導(dǎo)模態(tài)變化而變化.實(shí)際上在塔-索-梁耦合模型中,除局部-整體模態(tài)存在交換現(xiàn)象外,還存在主導(dǎo)模態(tài)間的交換現(xiàn)象.以表5 中DM1#和DM2#為例,變化主塔單位長(zhǎng)度質(zhì)量而使主梁構(gòu)造參數(shù)保持不變,計(jì)算DM#中G7th模態(tài)參數(shù)如圖9 所示.

圖9 結(jié)構(gòu)G7th 模態(tài)參數(shù)隨主塔單位長(zhǎng)度質(zhì)量變化規(guī)律Fig.9 The trend of the G7th-order modal property varied with the mass per unit length of the pylon

上圖顯示,隨著塔單位長(zhǎng)度質(zhì)量變化至6.72×103kg/m 附近,DM1#模型的G7th主導(dǎo)模態(tài)發(fā)生了快速且連續(xù)的交換,由以主梁模態(tài)為主導(dǎo)的HGM 變化為以主塔模態(tài)為主導(dǎo)的HGM,各構(gòu)件的模態(tài)局部化程度系數(shù)也隨之發(fā)生變化.此時(shí),DM1#模型中主導(dǎo)模態(tài)的變化將進(jìn)一步影響拉索內(nèi)共振響應(yīng)的動(dòng)力特性,其變化規(guī)律與圖8 中一致,在此不過(guò)多贅述.

3.2 HGM 耦合內(nèi)共振的參與度分析

不同于以往EGM 耦合內(nèi)共振的相關(guān)研究,在塔-索-梁耦合系統(tǒng)中,當(dāng)某階HGM 與某根拉索的局部模態(tài)“1:1”耦合時(shí),主塔和主梁的振動(dòng)模態(tài)將同時(shí)參與“1:1”內(nèi)共振.為研究以主梁模態(tài)為主導(dǎo)的HGM內(nèi)共振動(dòng)力特性,設(shè)定了1#研究工況.

1#研究工況(RC1#): 僅考慮拉索1 階模態(tài),針對(duì)DM1 與DM2 模型,在主梁小里程樁號(hào)附近增加0.02 m 初始位移,改變?chǔ)襝1至分別與G7th,G9th模態(tài)頻率滿足“1:1”關(guān)系.

匯總RC1#工況條件下的C1#振動(dòng)響應(yīng)曲線如圖10 所示.

圖10 RC1#工況下拉索時(shí)程曲線Fig.10 The time histories of C1# under RC1#

圖10(a)和圖10(b)中,DM1#模型的G7th是以主梁振動(dòng)模態(tài)為主的混合整體模態(tài),主塔振動(dòng)模態(tài)參與了整體模態(tài)運(yùn)動(dòng),同時(shí)也影響了拉索的內(nèi)共振動(dòng)力特性.圖10(c)和圖10(d)中,G9th是完全以主梁振動(dòng)模態(tài)為主的整體模態(tài),此時(shí)DM1#與DM2#系統(tǒng)拉索的內(nèi)共振時(shí)程曲線動(dòng)力特性相同.為進(jìn)一步明晰混合模態(tài)內(nèi)共振時(shí)的能量傳遞路徑,采用無(wú)相位濾波法分離RC1#中C1#及其相連的塔段(P1#)和梁段(B2#)在主共振頻率附近的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào),匯總?cè)绫?所示.

表6 DM1#中發(fā)生G7th 和G9th 內(nèi)共振時(shí),C1#振動(dòng)子系統(tǒng)構(gòu)件在各自主共振頻率附近的分離響應(yīng)信號(hào)Table 6 The separated signals around the main resonance frequency in the dynamic sub-system of C1# when the internal resonance of G7th-order or G9th-order occurring in DM1#

表6 中,前25 s 的分離信號(hào)存在濾波延遲,以后75 s 的濾波信號(hào)為研究對(duì)象.當(dāng)C1#局部模態(tài)與G7th混合模態(tài)“1:1”耦合時(shí),P1#,C1#和B2#在主共振頻率附近的響應(yīng)信號(hào)此起彼伏、互相耦合,表明共振時(shí)能量在三者間來(lái)回轉(zhuǎn)換.當(dāng)與G9th混合模態(tài)“1:1”耦合時(shí),C1#與B2#的振動(dòng)響應(yīng)曲線互相耦合,而P1#與C1#的振動(dòng)特性相同且其響應(yīng)幅值與B2#存在數(shù)量級(jí)差異,表明P1#的振動(dòng)響應(yīng)僅來(lái)源于塔-索端點(diǎn)耦合而未參與內(nèi)共振,此時(shí)系統(tǒng)能量在拉索與主梁間來(lái)回轉(zhuǎn)換.采用上述同樣的濾波方法,獲取在各自主共振頻率下運(yùn)行時(shí)刻t1的結(jié)構(gòu)振型如圖11 所示.

圖11 DM1#和DM2#模型在RC1#工況下主共振頻率對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)形態(tài)Fig.11 The structural dynamic configuration corresponding to the main resonance frequency in DM1# and DM2# under RC1#

圖11(a) 顯示,由主塔第3 階面內(nèi)模態(tài)和主梁第5 階面內(nèi)豎向模態(tài)共同構(gòu)成的混合整體模態(tài)激發(fā)了塔-索-梁耦合內(nèi)共振,此時(shí)主塔或主梁振動(dòng)模態(tài)參與度系數(shù)Λp和Λb與原G7th的局部化程度系數(shù)誤差較小.而在圖11(b)～圖11(d)中,由主梁的第5 階或第6 階面內(nèi)豎向模態(tài)為主的整體模態(tài)激發(fā)了索-梁耦合內(nèi)共振,拉索與主梁間存在能量交換作用,而主塔未參與整體運(yùn)動(dòng).為研究主塔振動(dòng)模態(tài)對(duì)內(nèi)共振的影響,設(shè)定了2#研究工況.

2#研究工況(RC2#): 針對(duì)DM1 與DM3 模型,在塔頂增加0.02 m 初始位移,改變?chǔ)襝1至分別與G8th,G11th模態(tài)頻率滿足“1:1”關(guān)系.

為簡(jiǎn)化表達(dá),匯總RC2#工況條件下的C1#振動(dòng)響應(yīng)曲線,及其在各自主共振頻率下運(yùn)行時(shí)刻t1的結(jié)構(gòu)振動(dòng)形態(tài)分別如圖12 所示.

圖12 RC2#工況下C1#時(shí)程曲線與對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)形態(tài)Fig.12 The time histories of C1# and the corresponding the structural dynamic configuration under RC2#

圖12 結(jié)果再次驗(yàn)證了在HGM 中,非主導(dǎo)的主梁振動(dòng)模態(tài)將參與由主塔振動(dòng)模態(tài)主導(dǎo)的內(nèi)共振能量轉(zhuǎn)換,并將改變拉索內(nèi)共振響應(yīng)曲線的“拍”頻及振幅,此時(shí)各構(gòu)件的整體模態(tài)局部化程度系數(shù)是重要的量化因素.

3.3 HGM 耦合內(nèi)共振的影響性分析

為研究非主導(dǎo)的主梁振動(dòng)模態(tài)在混合整體模態(tài)內(nèi)共振下的影響效應(yīng),設(shè)定了3#研究工況.

3#研究工況(RC3#): 針對(duì)DM1 與DM2 模型,在主梁小里程樁號(hào)附近增加0.02 m 初始位移,分別改變?chǔ)襝1,σc2,σc3和σc4至與以主梁振動(dòng)模態(tài)為主導(dǎo)的整體模態(tài)(G1th,G2th,G4th,G6th,G7th,G9th,G10th)頻率滿足1:1 比值關(guān)系.

拉索的振動(dòng)響應(yīng)曲線(Aci)能一定程度上反映內(nèi)共振時(shí)拉索動(dòng)能變化規(guī)律,定義分別表示在EGM 和HGM 模型中拉索振動(dòng)響應(yīng)的最大值.同時(shí)為盡量減少多自由度系統(tǒng)內(nèi)復(fù)雜組合內(nèi)共振引起的響應(yīng)誤差,采用無(wú)相位濾波法分離各子工況下主共振頻率附近的拉索響應(yīng),匯總其響應(yīng)振幅最大值曲線如圖13 所示.

圖13 DM1#和DM2#模型在RC3#工況下拉索主共振頻率附近的振幅最大值Fig.13 The maximum response of cables in DM1# and DM2# under RC3#

圖13 中,對(duì)于不同階次的整體模態(tài)內(nèi)共振,DM1#模型中的拉索共振響應(yīng)最大值與DM2#的計(jì)算結(jié)果存在較大差異,表明非主導(dǎo)的主塔振動(dòng)模態(tài)參與并影響了HGM 模態(tài)內(nèi)共振,其影響效應(yīng)隨階次變化而不同.其中,對(duì)稱布置的C1#與C4#(或C2#和C3#)基礎(chǔ)構(gòu)件參數(shù)、錨固位置對(duì)于整體模態(tài)振型有效質(zhì)量相同,因此對(duì)稱索的各階振幅最大值曲線趨勢(shì)、誤差數(shù)值基本一致.對(duì)于同一側(cè)的C1#與C2#(或C3#與C4#)各階振幅最大值曲線變化趨勢(shì)相似度較高但差值不同,表明各階非主導(dǎo)主塔模態(tài)對(duì)于任意拉索內(nèi)共振的影響效應(yīng)類型一致,但影響效應(yīng)大小隨拉索變化而變化.對(duì)于兩種模型計(jì)算C1#(圖13-A點(diǎn)) 或C4#(圖13-B點(diǎn)) 結(jié)果差值較大的G6th內(nèi)共振,結(jié)合對(duì)應(yīng)的響應(yīng)與頻譜圖可得,DM1#中較長(zhǎng)的C1#或C4#在整體模態(tài)激勵(lì)作用下發(fā)生了組合內(nèi)共振,故而其主共振頻率附近的模態(tài)響應(yīng)弱于DM2#計(jì)算結(jié)果.為研究非主導(dǎo)的主塔振動(dòng)模態(tài)在混合整體模態(tài)內(nèi)共振下的影響效應(yīng),設(shè)定了4#研究工況.

4#研究工況(RC4#): 針對(duì)DM1 與DM4 模型,在塔頂增加0.02 m 初始位移,分別改變?chǔ)襝1,σc2,σc3和σc4至與以主塔振動(dòng)模態(tài)為主導(dǎo)的整體模態(tài)(G3rd,G5th,G8th,G11th)頻率滿足1:1 比值關(guān)系.

同樣采用無(wú)相位濾波法分離各子工況下主共振頻率附近的拉索響應(yīng),匯總其響應(yīng)振幅最大值曲線如圖14 所示.

圖14 結(jié)果與圖13 結(jié)果規(guī)律基本一致,即非主導(dǎo)模態(tài)的影響效應(yīng)隨階次變化而變化,且基本以DM3#模型的計(jì)算結(jié)果較大,表明在相同初始條件下,非主導(dǎo)構(gòu)件模態(tài)的參與會(huì)減弱拉索的內(nèi)共振響應(yīng),且對(duì)于各階的影響效應(yīng)也隨拉索錨固位置與基礎(chǔ)參數(shù)的不同而不同.為了能更進(jìn)一步明晰HGM內(nèi)共振模式的影響效應(yīng),定義ηci(n)表示Ci#在第n階EGM(AciE)和HGM(AciH)兩者模型中振動(dòng)響應(yīng)最大值的誤差率,如下

ηci(n)＞ 0 表明非主導(dǎo)模態(tài)的影響效應(yīng)為抑制作用,反之為激勵(lì)作用.為了對(duì)比EGM 和HGM 兩種模式內(nèi)共振下的影響效應(yīng),匯總C1#和C2#在G1st～G11th中兩種模式的響應(yīng)誤差率如圖15 所示.

圖15 同側(cè)拉索在兩類GM 下振動(dòng)響應(yīng)最大值的誤差率Fig.15 The error coefficient of same-side cables’ maximum response in these two GMs

圖15 中,除15(a)中的G6th外,EGM 模態(tài)下的影響系數(shù)數(shù)值上接近零,表明EGM 模態(tài)下的內(nèi)共振響應(yīng)不受非主導(dǎo)構(gòu)件的振動(dòng)模態(tài)影響,此時(shí)拉索模態(tài)與主導(dǎo)的主梁或主塔模態(tài)“1:1”耦合并激勵(lì)產(chǎn)生劇烈內(nèi)共振.而在HGM 模態(tài)下,兩索的影響系數(shù)變化趨勢(shì)基本相同,且除G1st外基本表現(xiàn)為抑制作用,此時(shí)非主導(dǎo)模態(tài)參與了內(nèi)共振并分走了一部分系統(tǒng)能量,所以拉索的內(nèi)共振響應(yīng)幅值隨之減小.

4 結(jié)論

本文基于離散的參數(shù)質(zhì)量體系,考慮了塔-索、索-梁間的動(dòng)態(tài)關(guān)系與斜拉索初始垂度、大位移振動(dòng)引起的幾何非線性影響,建立了新的塔-索-梁耦合面內(nèi)整體動(dòng)力學(xué)模型.通過(guò)有限差分法代數(shù)轉(zhuǎn)換了參數(shù)體系動(dòng)力平衡方程的偏微分多項(xiàng)式,采用模態(tài)拖拽法獲得了結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程與模態(tài)函數(shù),精細(xì)化分析了塔-梁模態(tài)耦合作用對(duì)整體模態(tài)的影響,首次提出了完全整體模態(tài)和混合整體模態(tài)兩種模式,考慮拉索一階模態(tài)并通過(guò)數(shù)值仿真開(kāi)展了混合整體模態(tài)下的1:1 內(nèi)共振影響性分析,得到結(jié)論如下.

(1)塔-梁模態(tài)耦合作用對(duì)本文結(jié)構(gòu)的低階對(duì)稱及高階整體模態(tài)無(wú)影響作用,此時(shí)結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)完全由主塔或主梁振動(dòng)模態(tài)主導(dǎo),為完全整體模態(tài);對(duì)結(jié)構(gòu)的低階反對(duì)稱整體模態(tài)具有顯著影響,此時(shí)主塔以及主梁振動(dòng)模態(tài)共同參與了該階整體模態(tài),為混合整體模態(tài).

(2)拉索局部模態(tài)與兩種整體模態(tài)“1:1”耦合都將激勵(lì)產(chǎn)生內(nèi)共振,而主塔主導(dǎo)或主梁主導(dǎo)的兩種拉索內(nèi)共振響應(yīng)動(dòng)力特性不同.在同一階混合整體模態(tài)下,當(dāng)主導(dǎo)模態(tài)的局部化程度系數(shù)靠近非主導(dǎo)模態(tài)局部化程度系數(shù)時(shí),該階整體模態(tài)的主導(dǎo)模態(tài)將出現(xiàn)快速且連續(xù)的交換,而拉索振動(dòng)響應(yīng)的動(dòng)力特性也將隨之改變.

(3)構(gòu)件的模態(tài)局部化程度系數(shù)是兩種模式內(nèi)共振參與度的重要量化因素.在完全整體模態(tài)內(nèi)共振中,非主導(dǎo)模態(tài)局部化程度系數(shù)接近0,因此系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)換僅發(fā)生在拉索與主導(dǎo)模態(tài)間,非主導(dǎo)模態(tài)不參與內(nèi)共振;而在混合整體模態(tài)內(nèi)共振中,系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)換發(fā)生在塔、索和梁局部模態(tài)間,主導(dǎo)與非主導(dǎo)模態(tài)的結(jié)構(gòu)振型參與度與各自局部化程度系數(shù)一致.

(4)針對(duì)本文固結(jié)體系四索結(jié)構(gòu)的內(nèi)共振分析發(fā)現(xiàn),由于各階整體模態(tài)能量總數(shù)恒定,混合整體模態(tài)內(nèi)共振下非主導(dǎo)的結(jié)構(gòu)模態(tài)參與了系統(tǒng)能量轉(zhuǎn)換并將改變拉索振動(dòng)響應(yīng)的動(dòng)力特性,其影響效應(yīng)隨整體模態(tài)階次與拉索構(gòu)件參數(shù)變化而變化.

(5)本文建立的塔-索-梁耦合動(dòng)力學(xué)模型為深入開(kāi)展斜拉橋大系統(tǒng)非線性動(dòng)力特性研究提供了一種可靠途徑,下一步將結(jié)合構(gòu)件幾何參數(shù)、各階整體模態(tài)頻率和振型以更準(zhǔn)確研究和定義模態(tài)能量,進(jìn)而深入開(kāi)展斜拉橋內(nèi)共振的參數(shù)敏感性分析.

附錄A

式(31)中,vpr,vci,vbj,φpr(n),φci(n),φbj(n),qpr,qpr,qpr,fpi(xci),fpi(xci),fpi(xci)等皆為形式相同的列向量,為避免贅述,在此僅展示vpr

依據(jù)式(1)和拉索邊界條件,可得拉索的靜平衡線形為二次拋物線線形,其表達(dá)式為[19,24,26-27]

附錄B

式(38)～式(40)中,q相關(guān)參數(shù)表示為相同形式的R維、I維、J維的列向量,為避免贅述,僅取如下所示

除 Πpr,1,Πci,1和 Πbj,1外,其余 Π 相關(guān)參數(shù)矩陣表示為相同形式的R階、I階、J階的對(duì)角矩陣.為避免贅述,僅取Πpr,1,Πci,1和 Πbj,1如下所示

?ci為拉索的局部模態(tài)對(duì)角矩陣,其主元形式為

相關(guān)參數(shù)矩陣的主元具體形式如下所示

為簡(jiǎn)化表達(dá),定義Ppm,Ppm,n,γpi,γbi,μpi和μbi表達(dá)式分別為

Spr與Sbj,Dpr與Dbj,Cpr與Cbj形式相同,僅角標(biāo)(p,r或b,j)不同,限于篇幅,在此僅展示Spr,Dpr,Cpr為

塔的重力影響矩陣Gpr為