光學(xué)視角下的線段和最值問題解決策略研究*

葛小東 丁永愿 馮潤華

? 安徽省合肥市第四十八中學(xué)

1 問題提出

線段和的最值問題可以分為以下幾類:將軍飲馬系列,胡不歸系列,阿氏圓系列,費馬點系列等.這些問題主要考查三角函數(shù)、相似三角形、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識,滲透了對稱、旋轉(zhuǎn)、平移等圖形變化,是初中幾何問題中的難點.這幾類問題的解答帶有一定的特殊性,當(dāng)問題推廣到更一般的情況時又該如何解決呢?

問題如圖1,求mPA+nPB的最小值,其中m≠n,且m與n均為正常數(shù).

圖1

2 問題解析

該問題可看作加權(quán)將軍飲馬問題,以學(xué)生目前掌握的最值模型是無法解決的.要解決這類問題,我們先了解光的兩大原理.

費馬原理:光在介質(zhì)中傳播總是選擇耗時最少的路徑.該原理也被稱為“最小時間原理”.

圖2

圖3

結(jié)論1：如圖3,動點P在直線l上運動時,在直線外有兩定點A,B,過點P作直線l的垂線,當(dāng)msinα=nsinβ時,mPA+nPB有最小值.

特別指出,當(dāng)α=β時,圖3就是將軍飲馬模型;當(dāng)α=90°時,圖3就是胡不歸模型.

3 推廣論證

下面將結(jié)論1進(jìn)行推廣,將動點P的軌跡從直線推廣至圓.

結(jié)論2：如圖4,當(dāng)動點P在圓O上運動時,在圓外有兩定點A,B,作射線OP,可得當(dāng)msinα=nsinβ時,mPA+nPB有最小值.

圖4

下面將該結(jié)論繼續(xù)推廣至加權(quán)費馬點問題:

在△ABC內(nèi)找一點P,使得mPA+nPB+kPC最小.(這里m,n,k均為正常數(shù).)

該問題可以通過旋轉(zhuǎn)、相似來解決,這里方法不再展示.下面主要介紹運用結(jié)論2解決該問題的方法.

圖5

圖6

結(jié)論3：如圖7,在△ABC內(nèi)存在一點P使得sin ∠BPC∶sin ∠APC∶sin ∠APB=m∶n∶k,則mPA+nPB+kPC有最小值.(其中m,n,k均為正常數(shù).)

圖7

至此,初中常見的線段和的最值問題均運用光學(xué)定律完成證明.

4 結(jié)論的應(yīng)用

圖8

圖9

圖10

5 結(jié)語

5.1 跨學(xué)科提高學(xué)生對知識的理解

本文中提到的折射定律嚴(yán)格意義上來說是以費馬原理為依據(jù),運用求導(dǎo)等數(shù)學(xué)方法論證得來的,但對于初中生來說,求導(dǎo)論證顯然是超綱且困難的,但是將物理結(jié)論運用到數(shù)學(xué)解題中,使得學(xué)生對線段和最值的系列問題有了整體的認(rèn)識.從數(shù)學(xué)和物理學(xué)的角度來說,物理離開了數(shù)學(xué)幾乎寸步難行,而有時候?qū)?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為物理情景賦予物理意義可輕松解決[1].線段和的最值問題也可以運用位能最小原理解決,線段比值問題可以運用杠桿原理解決,等等.跨學(xué)科促使學(xué)生建立學(xué)科間的聯(lián)系,幫助學(xué)生把所學(xué)知識融會貫通,形成對知識的整體性和系統(tǒng)性的認(rèn)知.提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣, 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和綜合能力.

5.2 跨學(xué)科促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展

在新課標(biāo)的理念下,教師不能僅僅專注于數(shù)學(xué)知識的教學(xué)和研究,也要加強對數(shù)學(xué)學(xué)科交叉處綜合性較強的知識的理解.跨學(xué)科教學(xué)可以促進(jìn)教師不斷去學(xué)習(xí)新的知識和新的教學(xué)技能,且能促進(jìn)學(xué)科之間的交流和碰撞,拓展教師的教學(xué)視野,促進(jìn)教師自身的專業(yè)發(fā)展和綜合素質(zhì)的不斷提高.