教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用“舊知”理解新知

吳 晶

?江蘇省海安市海陵中學(xué)

1 從“同底數(shù)冪的乘法(第1課時(shí))”聽(tīng)課說(shuō)起

筆者最近參加了學(xué)校組織的聽(tīng)“新教師”(工作三年以?xún)?nèi))隨堂課活動(dòng),其中有兩位新教師執(zhí)教了“同底數(shù)冪的乘法(第1課時(shí))”,關(guān)于兩個(gè)同底數(shù)冪相乘(am·an)的教學(xué)都體現(xiàn)了“完整”的流程,這里的“完整”是指經(jīng)歷了“特例引路”“回到乘方定義進(jìn)行證明”“歸納法則”“性質(zhì)運(yùn)用”的過(guò)程．在練習(xí)環(huán)節(jié),兩位教師可能覺(jué)得教材上的習(xí)題不夠全面、難度不大,都增加了三個(gè)同底數(shù)冪相乘的情形．比如,計(jì)算am·an·ap.學(xué)生解決這道題也很輕松,直接給出am+n+p的結(jié)果．第一位教師追問(wèn)過(guò)學(xué)生理由,學(xué)生復(fù)述“同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加”之后,教師表示了肯定．第二位教師則要求學(xué)生進(jìn)行“過(guò)程展開(kāi)”的證明,于是學(xué)生“回到乘方定義進(jìn)行了證明”,教師給予表?yè)P(yáng)．

聽(tīng)課隨感:由于教材上只對(duì)兩個(gè)同底數(shù)冪相乘(am·an)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行了歸納和證明,但沒(méi)有推廣到三個(gè)同底數(shù)冪相乘(am·an·ap)的情形.在具體運(yùn)用時(shí),如果學(xué)生直接使用“同底數(shù)幕相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算,教師也沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步辨明其中的細(xì)微差別,則并不是很恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)處理.第二位教師引導(dǎo)學(xué)生“回到乘方定義進(jìn)行證明”就比較嚴(yán)謹(jǐn),但是還不夠簡(jiǎn)明,如果能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“兩個(gè)同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算性質(zhì)”來(lái)解釋“三個(gè)同底數(shù)冪相乘”的運(yùn)算,就更有“數(shù)學(xué)味”了．具體解釋是am·an·ap=am+n·ap=am+n+p,這個(gè)運(yùn)算解釋就是善于運(yùn)用本課所學(xué),善于化歸轉(zhuǎn)化．這里教學(xué)細(xì)節(jié)的處理[1]往往是教師基本功的體現(xiàn),不可小視．以下筆者就圍繞相關(guān)話題結(jié)合案例進(jìn)一步筆談自己的看法,與各位同仁交流．

2 借助“新學(xué)內(nèi)容”理解“新知”的教學(xué)案例

案例1有理數(shù)乘方運(yùn)算

案例2完全平方公式

運(yùn)用整式乘法法則證明完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2后,可用類(lèi)似的方法再證明(a-b)2=a2-2ab+b2．當(dāng)然,也可直接由(a+b)2=a2+2ab+b2來(lái)證明,如(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2,即(a-b)2=a2-2ab+b2．這個(gè)思路是視-b為一個(gè)整體,將兩個(gè)公式“合二為一”,也是一種“多題歸一”的思想．因此,后續(xù)計(jì)算(a+b+c)2時(shí),也能將其變形,轉(zhuǎn)化為[(a+b)+c]2,再運(yùn)用完全平方公式展開(kāi)進(jìn)行計(jì)算．特別地,將來(lái)高中階段學(xué)習(xí)“二項(xiàng)式定理”時(shí),運(yùn)用“楊輝三角”展開(kāi)形如(a-2b)5的式子時(shí),就需要將其變形,轉(zhuǎn)化為[a+(-2b)]5進(jìn)行計(jì)算．

案例3二次根式的乘除

案例4三角形全等的判定

學(xué)習(xí)了證明三角形全等的“邊角邊”這一基本事實(shí)后,可以借助它來(lái)證明“邊邊邊”這一基本事實(shí)．如圖1,△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′．求證:△ABC≌△A′B′C′．

圖1

思路分析：如圖2,將△ABC與△A′B′C′拼在一起,使BC與B′C′重合,點(diǎn)A,A′位于BC的兩側(cè),連接AA′．由AB=A′B′,可得∠1=∠2(這一步運(yùn)用的是“等邊對(duì)等角”).同理可得∠3=∠4,從而有∠BAC=∠B′A′C′.再運(yùn)用“SAS”就可證明△ABC與△A′B′C′全等．

圖2

3 重視引導(dǎo)學(xué)生感受新舊知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系

3.1 用舊知引出新知是開(kāi)課情境的首選方式

眾所周知,數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯連貫、前后一致的學(xué)科．雖然新知識(shí)、新概念層出不窮,但都是在已有知識(shí)、概念的基礎(chǔ)上不斷生長(zhǎng)、擴(kuò)展而來(lái)．從數(shù)的發(fā)展史來(lái)看,小學(xué)階段從自然數(shù)到分?jǐn)?shù),初中階段引入負(fù)數(shù)后數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù),出現(xiàn)無(wú)理數(shù)之后數(shù)系再次擴(kuò)充到實(shí)數(shù),都沒(méi)有推翻此前數(shù)系的運(yùn)算法則與運(yùn)算通性,而是在將前面數(shù)系中的運(yùn)算性質(zhì)統(tǒng)統(tǒng)納入新的數(shù)系之中,成為其中的一部分．因此,教師在開(kāi)展教學(xué)前,要充分思考本課時(shí)教學(xué)內(nèi)容的生長(zhǎng)點(diǎn)在哪兒,然后精心選取舊知作為開(kāi)課情境,這樣既符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),也能讓學(xué)生感受到“舊知引出新知”的教學(xué)一致性．當(dāng)然,有些“數(shù)學(xué)分支”的起始課(如函數(shù)單元起始課),不容易找到前續(xù)舊知的生長(zhǎng)點(diǎn),那就要充分挖掘教材中選取的生活情境的價(jià)值,盡量尊重教材上的數(shù)學(xué)情境,做好選編或加工轉(zhuǎn)化,不宜盲目離開(kāi)教材另選情境,以“用教材教”為借口的“離開(kāi)教材搞教學(xué)”的情形不值得提倡．

3.2 探究新知階段要重視從已有舊知出發(fā)

當(dāng)新學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義或相關(guān)概念已得出,接下來(lái)就是研究這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)或判定．具體探究時(shí),也要引導(dǎo)學(xué)生從已有舊知出發(fā)．案例1中,為了探究有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則,讓學(xué)生回到有理數(shù)的乘法運(yùn)算去分析乘方運(yùn)算結(jié)果的規(guī)律,特別是乘方運(yùn)算結(jié)果(冪)的符號(hào)規(guī)律,即需要關(guān)注到底數(shù)的正負(fù)、指數(shù)的奇偶性．再比如,研究等腰三角形的性質(zhì)或判定時(shí),學(xué)生要回顧全等三角形的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決．又如,研究平行四邊形的性質(zhì)時(shí),需要綜合平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形、等腰三角形、勾股定理等舊知識(shí)．在教學(xué)進(jìn)程中,學(xué)生如果探究新知出現(xiàn)困難、思維受阻,教師需要進(jìn)行必要的點(diǎn)撥或啟發(fā).這時(shí)不要急著“就題論題”,可以先組織或引導(dǎo)學(xué)生回顧某個(gè)數(shù)學(xué)舊知或基本圖形中蘊(yùn)含的重要性質(zhì),然后再啟發(fā)學(xué)生“結(jié)合剛剛復(fù)習(xí)的一些舊知,現(xiàn)在大家解題有沒(méi)有進(jìn)展呢?”多進(jìn)行這樣“元認(rèn)識(shí)”式的啟發(fā)與點(diǎn)撥,不但能促進(jìn)學(xué)生自主獲得探究進(jìn)展,而且示范和傳遞了如何回到舊知探究新知解決問(wèn)題的思路或方法．

3.3 新知運(yùn)用階段需要靈活運(yùn)用新舊知識(shí)

新知運(yùn)用階段主要是訓(xùn)練本課所學(xué)的新知識(shí),但是有些習(xí)題常常具有一定的綜合性,解題時(shí)需要靈活運(yùn)用新舊知識(shí)．比如,學(xué)習(xí)圓的垂徑定理之后的例習(xí)題及練習(xí)題,可能就會(huì)用上垂徑定理和勾股定理;又如學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)之后,有些習(xí)題可能會(huì)適當(dāng)綜合應(yīng)用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．事實(shí)上,進(jìn)行必要的新、舊知識(shí)的綜合,也是發(fā)展學(xué)生思維靈活性[2]的需要．值得注意的是,新、舊知識(shí)是辯證的,有時(shí)在同一節(jié)課中,某個(gè)新學(xué)知識(shí)可以成為后學(xué)新知的舊知識(shí),上文給出的案例2～4都說(shuō)明了這一點(diǎn)．從這個(gè)角度來(lái)看目前教材上的有些編排,教師可以進(jìn)行更多的“學(xué)材再建構(gòu)”的專(zhuān)業(yè)處理,比如上文“案例4”提到的三角形全等“邊角邊”的證明;又如平行線分線段成比例(教材上給出的是“基本事實(shí)”,只是畫(huà)圖驗(yàn)證了其正確性,但并不安排學(xué)生證明)的證明,可以先證明平行線等分線段的結(jié)論(作為“引理”),然后再借助“引理”去證明平行線分線段成比例的基本事實(shí)．