平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及其推論在解題中的應(yīng)用

王 雄

? 甘肅省鎮(zhèn)原縣興華初級(jí)中學(xué)

平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理一直是學(xué)生初學(xué)與相似有關(guān)內(nèi)容的一道關(guān)卡,在沒(méi)有充分理解定理與推論的情況下,解題是非常困難的[1].因此,理解平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及其推論,是應(yīng)用它們解題的重要前提[2].作為一線(xiàn)教師有必要認(rèn)清這一點(diǎn),且要想方設(shè)法改變教學(xué)方式,讓學(xué)生更深入理解這一內(nèi)容.基于此,本文中先分別敘述定理與推論的內(nèi)容,然后分析二者之間的聯(lián)系,最后通過(guò)例題分析展示如何將其應(yīng)用于解題中.

1 平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及推論

1.1 定理

平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例指的是“兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截,所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例”.如圖1所示,直線(xiàn)l1,l2,l3截直線(xiàn)a,b,且l1∥l2∥l3,則可得到:

圖1

在應(yīng)用過(guò)程中,應(yīng)注意以下幾個(gè)方面:

(1)這里的一組平行線(xiàn)指的是三條兩兩平行的直線(xiàn),如圖1中的l1,l2,l3.

(2)截線(xiàn)和被截直線(xiàn)不一樣.截線(xiàn)通常指兩兩平行的直線(xiàn),如圖1中的三條l1,l2,l3;被截線(xiàn)通常是指兩條直線(xiàn),如圖1中的直線(xiàn)a,b,這兩條直線(xiàn)可能平行,也可能不平行.

(3)所有的成比例線(xiàn)段都是指被截直線(xiàn)上的線(xiàn)段,如圖1中的AB,BC,AC,DE,EF,DF,與平行線(xiàn)上的線(xiàn)段無(wú)關(guān),例如不是圖1中的AD,BE,CF.

1.2 推論

所謂平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的推論,指的是“平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))相交,截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例”.如圖2所示,在△ACF中,如果BE∥CF,那么可得到:

圖2

在應(yīng)用推論的過(guò)程中,應(yīng)注意以下幾個(gè)方面:

(1)推論中包括和“兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)”相交,“兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)”是指三角形兩邊在第三邊同一側(cè)的延長(zhǎng)線(xiàn).

(2)成比例線(xiàn)段不涉及平行線(xiàn)上的線(xiàn)段,即不包括圖2中的BE,CF.

(3)當(dāng)兩條被截直線(xiàn)相交時(shí),其交點(diǎn)處可看作含一條隱形的平行線(xiàn).

2 定理和推論之間的關(guān)系

對(duì)比圖1和圖2,不難發(fā)現(xiàn),定理和推論之間存在一定的聯(lián)系.可以確定的是,推論是在定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步推導(dǎo)、演變而來(lái).所以,定理是基礎(chǔ),推論是拓展.那么如何理解這種演變,是教師引導(dǎo)學(xué)生在三角形中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)定理的關(guān)鍵.

為此,筆者將從“當(dāng)兩條被截直線(xiàn)相交時(shí),其交點(diǎn)處可看作含一條隱形的平行線(xiàn)”出發(fā),著力體現(xiàn)這一變化過(guò)程.

現(xiàn)對(duì)圖1做如下處理:

如圖3所示,過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線(xiàn),分別交l2,l3于點(diǎn)H,N,此時(shí)就出現(xiàn)了如圖2的△DNF.

圖3

在圖3中,易證得四邊形ABHD和四邊形BCNH是平行四邊形,所以AB=DH,BC=HN.于是,可將圖3中的比例式變式為圖4中的比例式.簡(jiǎn)而言之,只要按照這種方法,將A和D兩個(gè)點(diǎn)通過(guò)平移的方法形成一個(gè)點(diǎn),繼而就可將圖1中的比例式轉(zhuǎn)化成圖2中的比例式,這就是定理向推論的轉(zhuǎn)變.

圖4

3 例題分析及反思

3.1 例題分析

例如圖5,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,點(diǎn)E在AC邊上,過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC,交AD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB,交BC于點(diǎn)G,則下列式子一定正確的是( ).

圖5

故選答案:C.

3.2 反思

另外,學(xué)生在根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理列比例式時(shí)很容易犯“未對(duì)應(yīng)”的錯(cuò)誤.“對(duì)應(yīng)”是學(xué)習(xí)與應(yīng)用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理時(shí)非常重要的前提,是邏輯思維與幾何直觀在該知識(shí)點(diǎn)上的體現(xiàn).其實(shí),這一點(diǎn)與全等三角形類(lèi)似,全等三角形也需要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)邊.因此,教師不妨根據(jù)糾正全等三角形中對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤的思路去糾正列比例式時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤,從而幫助學(xué)生找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊,逐步解決邏輯思維混亂的問(wèn)題.

由此說(shuō)明,作為一線(xiàn)教師,在講授新知識(shí)時(shí)一定要體現(xiàn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系[3].只有在舊知識(shí)上不斷啟發(fā)學(xué)生的思維,才能讓學(xué)生更容易理解新知,才能將新知理解和應(yīng)用得更好[4].

總而言之,平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及其推論可以是原型與變式之間的關(guān)系,也可以是基礎(chǔ)與拓展之間的關(guān)系,同時(shí)也可以看成是新舊知識(shí)相互銜接和滲透的關(guān)系.這就要求一線(xiàn)教師在日常教學(xué)中,要注重新舊知識(shí)間的聯(lián)系,以此讓學(xué)生不斷深化對(duì)知識(shí)的理解,為日后的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).