巧用瓜豆原理,破解初中數(shù)學(xué)路徑問題

許志強(qiáng)

? 甘肅省天水市清水縣第三中學(xué)

1 瓜豆原理

我們所說的“瓜豆原理”是數(shù)學(xué)問題中的一個(gè)動(dòng)態(tài)問題——主從聯(lián)動(dòng).這類問題涉及到路徑問題,因此利用本模型解題,首先要明確“主動(dòng)點(diǎn)”的路徑,再結(jié)合具體的問題分析“主動(dòng)點(diǎn)”和“從動(dòng)點(diǎn)”之間的關(guān)系,之后確定“從動(dòng)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)路徑的形狀,最終達(dá)到順利解題的目的.

1.1 模型特征

瓜豆原理實(shí)際上就是數(shù)學(xué)中的軌跡問題,它所涉及到的動(dòng)點(diǎn)有兩個(gè),一個(gè)看作是“瓜”,一個(gè)看作是“豆”,“主動(dòng)點(diǎn)”是“瓜”,“從動(dòng)點(diǎn)”是“豆”,根據(jù)瓜運(yùn)動(dòng)的情況來判斷豆的變化軌跡,從而根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置變化,突破從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線,將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題進(jìn)行解答.

1.2 模型思路

利用瓜豆原理解題,一般要做好以下五步:第一,根據(jù)問題情境確定主動(dòng)點(diǎn),并簡(jiǎn)單作出主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡;第二,確定從動(dòng)點(diǎn),判斷其與主動(dòng)點(diǎn)之間的變化關(guān)系;第三,根據(jù)運(yùn)動(dòng)情況確定主動(dòng)點(diǎn)的特殊位置,一般是起點(diǎn)或者終點(diǎn)位置;第四,根據(jù)問題要求確定主動(dòng)點(diǎn)的變化特點(diǎn),從而明確從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況,再確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡;第五,根據(jù)從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答,往往涉及長(zhǎng)度、最值等問題.

2 原理應(yīng)用

這類模型在應(yīng)用過程中往往涉及到全等、位似及其旋轉(zhuǎn)的知識(shí),故筆者從這三種模型分析瓜豆原理在初中數(shù)學(xué)壓軸問題中的破解方法.

2.1 全等模型

模型探究：如圖1,P為△ABC邊AC上的一點(diǎn),以BP為邊長(zhǎng)向一側(cè)作特殊三角形BPE(一般為等邊三角形或等腰直角三角形等),當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),判斷點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑.

圖1

圖2

結(jié)論：根據(jù)上述圖示2,首先確定點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn),確定好相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E的位置,分別記為點(diǎn)M,N,則MN即為點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡.連接BM和BN,根據(jù)特殊三角形的性質(zhì),可以判定△ABC與△BMN全等,進(jìn)而得到MN=AC.

典型例題1如圖3,在等邊三角形ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng),連接PD,以PD為邊,在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊三角形DPF,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),試求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

圖3

圖4

2.2 位似模型

模型探究：如圖5,P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),A為定點(diǎn),連接AP,取AP上一點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖6,線段EF即為點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑．

圖5

圖6

拓展探究：點(diǎn)P若在一圓(或弧線)上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡也是成為圓(或弧線).

典型例題2如圖7,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為AB的中點(diǎn),F為EC上一動(dòng)點(diǎn),P為DF中點(diǎn),連接PB,求PB的最小值．

圖7

分析：如圖8,根據(jù)中位線定理可得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2,再根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)BP⊥P1P2時(shí),PB取得最小值.由矩形的性質(zhì)及已知數(shù)據(jù)即可知BP1⊥P1P2,故BP的最小值為線段BP1的長(zhǎng),由勾股定理求解即可．

圖8

典型例題3如圖9,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(3,4),⊙P的半徑為2,A(2.6,0),B(5.2,0),M是⊙P上的動(dòng)點(diǎn),C是MB的中點(diǎn),試求AC的最小值．

圖9

圖10

2.3 旋轉(zhuǎn)模型

圖11

結(jié)論：如圖12,當(dāng)∠PAQ<90°時(shí),直線BC與MN的夾角等于∠PAQ.

圖12

圖13

圖14

圖15

圖16

3 模型反思

上述模型問題的研究,實(shí)際上考查了學(xué)生對(duì)問題的操作經(jīng)歷的體驗(yàn),既考查了學(xué)生的觀察力和思考力,更重要的是對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力的檢驗(yàn),又要結(jié)合問題情景,對(duì)號(hào)入座,靈活應(yīng)用.根據(jù)問題所展示的相關(guān)內(nèi)容,對(duì)瓜豆原理進(jìn)行如下總結(jié):其一,兩動(dòng)點(diǎn)之間的變化關(guān)系一致;其二,兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的比例關(guān)系一致;其三,運(yùn)動(dòng)過程中路徑的形狀與大小的變化及其特殊位置的確定.

綜上所述,瓜豆原理在形式上和解法上給我們提供了簡(jiǎn)單而又易操作的解題方法,可謂是“種瓜得瓜,種豆得豆”.但是,僅僅掌握這些還不夠的,還需要我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中深入研究,不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),能從問題情境中獲得直觀感受,從而構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),獲得模型意識(shí)和模型思想,并在解題訓(xùn)練過程中不斷進(jìn)行遷移拓展,形成數(shù)學(xué)思維,提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).Z