愛(ài)爾特希點(diǎn)集

郝明皓 整理

匈牙利數(shù)學(xué)家愛(ài)爾特希提出過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：在平面內(nèi)有n（n≥3）個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形，這樣的點(diǎn)集存在嗎？

當(dāng)n=3 時(shí)，若這三個(gè)點(diǎn)是等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，那么符合要求，即n=3時(shí)，這樣的點(diǎn)集存在。

當(dāng)n=4 時(shí)，有且僅有三種結(jié)構(gòu)符合要求：①任意等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及它的外心（“外心”是指三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)）；②任意菱形（“菱形”是指四邊相等的四邊形）的四個(gè)頂點(diǎn)；③正五邊形（“正五邊形”是指五條邊相等、五個(gè)內(nèi)角相等的五邊形）的任意四個(gè)頂點(diǎn)。

第①種結(jié)構(gòu)如圖1 所示，在△ABC中，AB=AC，D為△ABC的外心。顯然DB=DA=DC。從A、B、C、D四點(diǎn)中任取三點(diǎn)構(gòu)成的三角形均是等腰三角形。

圖1

第②種結(jié)構(gòu)如圖2 所示，在菱形ABCD中，從A、B、C、D四點(diǎn)中任取三點(diǎn)構(gòu)成的三角形均是等腰三角形。

圖2

第③種結(jié)構(gòu)如圖3 所示，在正五邊形ABCDE的五個(gè)頂點(diǎn)中，任取其中四個(gè)頂點(diǎn)，無(wú)論取哪四個(gè)，它們相對(duì)的位置關(guān)系均一致，任取三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形均是等腰三角形。

圖3

當(dāng)n=5 時(shí)，有且僅有兩種結(jié)構(gòu)符合要求：任意正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)；任意正五邊形的四個(gè)頂點(diǎn)及其中心（“正多邊形的中心”是指其相鄰兩邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)）。同學(xué)們，你能畫(huà)出以上兩種結(jié)構(gòu)并說(shuō)明取其中任意三點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形嗎？當(dāng)n=6 時(shí)，也可以找到滿(mǎn)足條件的結(jié)構(gòu)。同學(xué)們，你能?chē)L試畫(huà)出來(lái)嗎？

當(dāng)n≥7時(shí)，這樣的結(jié)構(gòu)便不存在了。

為了紀(jì)念提出問(wèn)題的愛(ài)爾特希，人們將具有這樣性質(zhì)的n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集稱(chēng)為“愛(ài)爾特希點(diǎn)集”。