三角函數(shù)在物理運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用

高雙云

【摘要】新高考數(shù)學(xué)試卷中，創(chuàng)新情境試題是其中最具創(chuàng)新特色的一類問題，結(jié)合高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想，以三角函數(shù)為問題背景，借助物理知識(shí)巧妙入題，通過物理中幾類與之相關(guān)的常見模型加以分析與應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法等來解決問題，引領(lǐng)并指導(dǎo)復(fù)習(xí)備考與研究．

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；簡諧運(yùn)動(dòng)；機(jī)械波；電學(xué)

物理學(xué)中的簡諧運(yùn)動(dòng)（常見的如彈簧、單擺等）、機(jī)械波、電學(xué)等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性等三角函數(shù)的基本特征，利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來解決對(duì)應(yīng)的物理學(xué)的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)在物理學(xué)科中的交匯融合與綜合應(yīng)用．

1 彈簧

例1 如圖1所示，彈簧上掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動(dòng)，小球在ts時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（cm）的關(guān)系式為h=2sint+2cost，t∈［0，+∞），則小球在開始振動(dòng)（即t = 0）時(shí)h的值為cm，小球振動(dòng)過程中最大的高度差為 cm．

分析 根據(jù)題目條件，利用彈簧運(yùn)動(dòng)中小球在t s時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（cm）的三角關(guān)系式，綜合三角函數(shù)知識(shí)，通過三角恒等變換，結(jié)合三角函數(shù)值的求解以及振幅的確定來分析與解決對(duì)應(yīng)的問題．

解析 根據(jù)題中關(guān)系式，化簡可得

h=2sint+2cost

=222sint+22cost=2sint+π4，

令t = 0，可得h=2.

由振幅為2，可得小球振動(dòng)時(shí)最高離平衡位置向上為2，最低離平衡位置向下為2，

故最大的高度差為4.

故填答案：2；4．

點(diǎn)評(píng) 作為最常見的簡諧運(yùn)動(dòng)之一，彈簧模型是比較熟知的一類三角函數(shù)應(yīng)用場景，利用彈簧的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)規(guī)律或運(yùn)動(dòng)過程的關(guān)系式等形式來巧妙設(shè)置三角函數(shù)問題，結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來分析與解決相應(yīng)的物理中的簡諧運(yùn)動(dòng)應(yīng)用問題．

2 機(jī)械波

例2 在自然界中，存在著大量的周期函數(shù)，比如聲波．音樂，是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受．著名數(shù)學(xué)家傅里葉研究了樂聲的本質(zhì)，他證明了所有的樂音都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，它們是一些形如y=asinbx的簡單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音，其余的為泛音．由樂音的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波．下列函數(shù)中不能與函數(shù)y=0.06sin180000t（基本音）構(gòu)成樂音的是（? ）

（A）y=0.02sin360000t.

（B）y=0.03sin180000t.

（C）y=0.02sin181800t.

（D）y=0.05sin540000t.

分析 根據(jù)題目條件，利用聲波所對(duì)應(yīng)的樂音的三角函數(shù)表達(dá)式，以及泛音的頻率與基本音的頻率之間的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)中頻率、最小正周期與對(duì)應(yīng)參數(shù)ω之間的關(guān)系中進(jìn)行分析，結(jié)合選項(xiàng)中給出的三角函數(shù)關(guān)系式加以分析與判斷．

解析 由于頻率f=1T=ω2π，

根據(jù)題目條件可知若f1=nf2（n∈N*），

則必有ω1=nω2（n∈N*），

易得360000=2×180000，

180000=1×180000，540000=3×180000，

故選項(xiàng)（A）（B）（D）中函數(shù)都能與函數(shù)y=0.06sin180000t構(gòu)成樂音，

只有選項(xiàng)（C）中，181800不是180000的整數(shù)倍，

故選擇答案：（C）．

點(diǎn)評(píng) 借助樂音，通過聲波這一常見的機(jī)械波來創(chuàng)設(shè)場景，利用樂音所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合樂音中頻率不同的基本音與泛音這些專業(yè)的名詞及其對(duì)應(yīng)之間的關(guān)系的構(gòu)建，巧妙聯(lián)系起物理學(xué)、聲樂、數(shù)學(xué)等相關(guān)學(xué)科知識(shí)，創(chuàng)新應(yīng)用．

3 電學(xué)

例3 已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系為I=Asin（ωt+φ）．

如圖1所示的是I=Asin（ωt+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求I=Asin（ωt+φ）的解析式.

分析 根據(jù)題目條件，利用電學(xué)中電流與時(shí)間之間的三角函數(shù)關(guān)系的構(gòu)建，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)解析式．

解 （1）由題圖可知A=300，

設(shè)t1=－1900，t2=1180，

則周期T=2（t2－t1）=21180+1900=175，

可得ω=2πT=150π，

又當(dāng)t=1180時(shí)，I=0，

即sin150π×1180+φ=0，

而|φ|<π2，解得φ=π6，

故所求的解析式為I=300sin150πt+π6.

點(diǎn)評(píng) 借助電學(xué)中常見的電流與時(shí)間之間的三角函數(shù)這一熟知的數(shù)學(xué)模型，巧妙構(gòu)建三角函數(shù)的相關(guān)概念、圖象與性質(zhì)等知識(shí)，通過數(shù)學(xué)中函數(shù)圖象的直觀分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等反饋，解決相應(yīng)的物理應(yīng)用問題．

4 結(jié)語

不同學(xué)科之間的交匯與融合，特別如以上數(shù)學(xué)與物理學(xué)科相融合，此類創(chuàng)新情境數(shù)學(xué)試題能緊密聯(lián)系生活實(shí)際，滲透其他學(xué)科中的相關(guān)知識(shí)，借助數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，巧妙化歸與轉(zhuǎn)化，突出考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，深受命題專家的青睞．

參考文獻(xiàn)：

［1］湯琴.函數(shù)思想在高中物理解題中的應(yīng)用探討［J］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2021（01）：148-149.

［2］楊軍.函數(shù)極值在高中物理解題中的應(yīng)用［J］.物理之友2017（05）：40-41+43.

［3］高會(huì)平.數(shù)學(xué)向量與三角函數(shù)知識(shí)在高中物理中的應(yīng)用例析［J］.教學(xué)考試2022（31）：45-50.

［4］朱政和.三角函數(shù)在高中物理中的應(yīng)用［J］.知識(shí)文庫.2018（20）：169.