橢圓曲線中斜率之積為定值的解法探究

張 侶

重慶市忠縣中學(xué)校 (404300)

圓錐曲線定點(diǎn)、定值問題已成為高考或模擬考試中的重點(diǎn)考查對象,其求解過程往往涉及豐富的知識內(nèi)容和靈活運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想.試題通過具體數(shù)據(jù)的巧妙設(shè)問,獲取一些特殊結(jié)論,這些結(jié)論看似特殊,實則具有普遍性,此類試題的研究不僅能夠抓住圓錐曲線的本質(zhì),還能透過試題挖掘隱含的命題規(guī)律,更能將其拓展到一般情況.本文以一道聯(lián)考橢圓試題為例進(jìn)行解法探究,幫助學(xué)生熟悉求解此類問題的常用方法,從而獲得更多解決此類問題的思考方向.

1 試題呈現(xiàn)

試題分析：該題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、橢圓中直線斜率的幾何關(guān)系以及斜率乘積為定值問題等內(nèi)容,重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,推理論證能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.試題結(jié)構(gòu)清晰,問題設(shè)置層次分明,內(nèi)容豐富,第一問較簡單,易于求解,本文嘗試對第二問從不同的角度進(jìn)行求解,并探究其一般性結(jié)論.此題為階段性檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能起到了較好的引導(dǎo)作用.

2 解法探究

評析：通過聯(lián)立直線MP方程與橢圓方程得出點(diǎn)P的坐標(biāo),再根據(jù)題意,將斜率k用-k替代后得到點(diǎn)Q的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的斜率公式算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

評析：通過聯(lián)立直線PQ方程與橢圓方程得出x1+x2與x1·x2的表達(dá)式,根據(jù)題意,結(jié)合點(diǎn)M在橢圓上以及kMP+kMQ=0,算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

評析：通過設(shè)過點(diǎn)M的直線方程和直線PQ的方程,解出點(diǎn)P的坐標(biāo),將點(diǎn)P代入橢圓C方程,獲得關(guān)于kMP,kMQ為兩根的一元二次方程,結(jié)合韋達(dá)定理和題設(shè)條件,以及兩點(diǎn)間的斜率公式,算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

圖1

評析：利用極限思想,巧妙地將問題求斜率k1的表達(dá)式等價轉(zhuǎn)化為求過M′處切線的斜率,結(jié)合切線方程和兩點(diǎn)間的斜率公式,算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

評析：通過改寫橢圓方程和巧設(shè)直線方程,獲得關(guān)于kMP,kMQ為兩根的一元二次方程,結(jié)合韋達(dá)定理和題設(shè)條件,以及兩點(diǎn)間的斜率公式,算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

評析：根據(jù)P,Q,M三點(diǎn)在橢圓上,利用點(diǎn)差法以及題設(shè)條件kMP+kMQ=0,獲得相應(yīng)等式關(guān)系,從而算出k1和k2,最后解得k1·k2的值.

圖2

評析：此法通過伸縮變換,將橢圓方程變換為圓的方程,便將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線和圓的問題,利用圓的性質(zhì),最后解得k1·k2的值.

3 推廣探究

結(jié)合以上求解過程,可獲如下結(jié)論1.

由于橢圓經(jīng)過伸縮變換,可以得到以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓,類比可得如下結(jié)論2:

結(jié)論2 已知圓C:x2+y2=R2,若圓C上的動點(diǎn)M,P,Q滿足直線MP,MQ的斜率互為相反數(shù),且點(diǎn)M不在坐標(biāo)軸上,設(shè)直線PQ,OM的斜率分別為k1,k2,則k1k2=1.

類比可得雙曲線中的如下結(jié)論3.