吳昊
[摘? 要] 文章對一道聯(lián)考試題中的“多余”條件進行分析,探究一般性規(guī)律及其成因,得出與之相關的幾個定理以及探究這些定理在解題中的應用.
[關鍵詞] 斜率之和;斜率之積;對合;定值
筆者在做2023年“廣州市一?!钡?1題時發(fā)現(xiàn)一個“直線過定點”的條件是“多余”的——其不影響結論的得出,這說明這類問題具有一般性的規(guī)律,于是筆者以此為出發(fā)點進行了一些探索,發(fā)現(xiàn)其背后的命題規(guī)律,愿與諸君分享.
緣溪行,仿佛有光
(1)求C的方程;
(2)直線l:y=k(x-1)(k≠0)與C相交于A,B兩點,過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q,直線OP的斜率為k′(O為坐標原點),△APQ的面積為S,△BPQ的面積為S. 若AP·S=BP·S,判斷k·k′是否為定值,并說明理由.
O,得到C′:(x+x)2+2(y+y)2=8,即x2+2xx+2y2+4yy=0.
疑惑:在解答過程中筆者發(fā)現(xiàn),不用“直線l:y=k(x-1)(k≠0)過定點(1,0)”這個條件,依然能得出結論——斜率之積(k·k′)為定值,這是不是說明結論(斜率之積為定值)與已知直線是否過定點無關呢?一般情況下是否也有類似的結論呢?經(jīng)進一步探索,筆者得到兩個定理.
及點P處的切線的斜率都存在,分別為k,k,k,k.
綜上可知,上述考題的第(2)問要證明的結論是定理1的結論(1),只是將條件k+k=0進行了包裝.類比雙曲線,又可以得到定理2(證明略).
得出這些結論后,筆者仍然在想,為什么會有這種簡潔、對稱的結論呢?
復前行,豁然開朗
如果將橢圓換成圓,用同樣的方法可以得到定理3.
定理3 已知點P在圓C:x2+y2=r2上,直線l:y=kx+b(k≠0)與C相交于A,B兩點,設直線PA,PB,OP及點P處的切線的斜率都存在,分別為k,k,k,k.
(1)若k+k=0,則k·k=1,k+k=0;
(2)若k·k=1,則k+k=0,k·k=1.
已知點P在C(圓或橢圓)上,直線l:y=kx+b(k≠0)與C相交于A,B兩點,設直線PA,PB,OP及點P處的切線的斜率都存在,分別為k,k,k,k,則
(1)若k+k=0,則k+k=0,k·k=λ,
(2)若k·k=λ,則k·k=λ,k+k=0.
可以看出,若k+k=0,則總有k+k=0;若k·k=λ,則總有k·k=λ.而切線可以看成割線的極限,那么將圓內(nèi)接三角形換成圓內(nèi)接四邊形,又能得到什么結論呢?
定理4 如圖1所示,設圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA所在直線的斜率都存在,分別為k,k,k,k,則
(1)若k+k=0,則k+k=0;
(2)若k·k=1,則k·k=1.
述,得證.
由此看來,對于圓內(nèi)接四邊形,若一組對邊所在直線的斜率之和為0,則另一組對邊所在直線的斜率之和必為0;若一組對邊所在直線的斜率之積為1,則另一組對邊所在直線的斜率之積必為1. 將四邊形的其中一邊縮小到一個點,即四邊形變?yōu)槿切危迷擖c處的切線(斜率)代替該邊所在直線(斜率),則為定理3. 類比到橢圓和雙曲線,分別得到定理1和定理2. 從對合的角度來看,若P,A,B是二次曲線上的點,且PA,PB的斜率之和為0,則AB所過的定點無窮遠,即直線AB的斜率為定值,其大小為點P處的切線斜率的相反數(shù).
再回首,恍然大悟
以此為背景的考題為數(shù)不少,舉兩例如下: