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      一類圓錐曲線問題的巧解

      2023-11-15 20:04:48邵建文
      關(guān)鍵詞:參數(shù)方程圓錐曲線直線

      邵建文

      [摘? 要] 圓錐曲線在數(shù)學(xué)高考中占據(jù)著重要地位,其中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系更是熱門考點(diǎn).恰當(dāng)?shù)厥褂弥本€的參數(shù)方程,能簡單解決一類圓錐曲線問題,可以說“別有一番滋味”.

      [關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;直線;參數(shù)方程

      考題再現(xiàn)

      點(diǎn)評 若本題采用傳統(tǒng)的聯(lián)立直線與雙曲線的方程,得到關(guān)于x的一元二次方程后計(jì)算各段弦長,運(yùn)算量較大,很多學(xué)生會望而卻步. 這里筆者用的是直線的參數(shù)方程,借助參數(shù)t的幾何意義,巧妙化解了計(jì)算各段弦長的復(fù)雜性. 另外,筆者注意到題干條件“點(diǎn)T在直線x=上”是多余的,之所以加上這個條件也許是為了降低題目的難度,減少一定的計(jì)算量.

      從上面的解答過程來看,本題的結(jié)論是否具有一般性,能否推廣到橢圓和拋物線中呢?

      考題拓廣

      點(diǎn)評 探究發(fā)現(xiàn)若過點(diǎn)T的這兩條直線的斜率均存在且不為零時,上述結(jié)論仍然成立. 與此同時,本文放寬了對直線x=m的限制,但要引起注意的是若點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部,則TA·TB=-tt.

      探究2 已知拋物線C:y2=2px(p>0),設(shè)點(diǎn)T在直線x=m上,過T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且TA·TB=TP·TQ,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

      α=β(舍去)或α+β=π,于是k+k=tanα+tanβ=0.

      點(diǎn)評 通過探究發(fā)現(xiàn),該結(jié)論在拋物線中仍然適用. 筆者還注意到,若點(diǎn)A,B重合,點(diǎn)P,Q重合,可得阿基米德三角形,能推出更多有用的性質(zhì)結(jié)論.

      經(jīng)過探究1、探究2可得結(jié)論:過已知直線上一點(diǎn)T作圓錐曲線C的兩條割線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且滿足TA·TB=TP·TQ,則這兩條割線的斜率之和為零.

      進(jìn)一步,可得更一般的結(jié)論:已知C是對稱軸與坐標(biāo)軸方向平行或垂直的非圓二次曲線,A,B,P,Q是曲線C上不同的四點(diǎn),直線AB與PQ相交且斜率均存在,則A,B,P,Q四點(diǎn)共圓的充要條件是直線AB與PQ的斜率之和為零.

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