莫 帥 曾彥鈞 王 震 張 偉,

* (廣西大學(xué)特色金屬材料與組合結(jié)構(gòu)全壽命安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南寧 530004)

? (廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,南寧 530004)

** (直升機(jī)傳動(dòng)技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210016)

引言

人字齒輪可消除斜齒輪嚙合過程中附加軸向載荷,增大重合度,使嚙合更平穩(wěn),因此常用于武裝直升機(jī)動(dòng)力傳輸系統(tǒng)中.對(duì)人字齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析,探究各因素對(duì)非線性行為影響,找出穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)間,能為齒輪系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供參考.

諸多學(xué)者深入探究不同因素對(duì)齒輪系統(tǒng)非線性行為影響[1-3].以上學(xué)者考慮時(shí)變嚙合剛度、軸承游隙、齒側(cè)間隙、間隙非線性函數(shù)和齒心偏差等因素影響,建立系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程并求解.肖乾等[4]將齒間滑動(dòng)及摩擦考慮在內(nèi),建立列車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型;莫帥等[5-6]將輪齒裂紋考慮在內(nèi),建立小模數(shù)變位齒輪故障動(dòng)力學(xué)模型;袁冰等[7]將齒間累積誤差和綜合傳遞誤差引入,建立人字齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型;Mo 等[8-12]建立非正交面齒輪軸承系統(tǒng)模型,研究在不同激勵(lì)頻率下系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)及非線性全局行為演化過程,采用胞映射法研究非正交面齒輪軸承系統(tǒng)多自由度耦合振動(dòng)模型動(dòng)態(tài)行為演化過程.Chen 等[13]綜合考慮摩擦、時(shí)變剛度對(duì)系統(tǒng)沖擊影響,建立齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)多自由度非線性動(dòng)力學(xué)模型;Miroslav 等[14]考慮時(shí)變嚙合剛度與滾動(dòng)軸承軸頸和外殼之間的非線性接觸力,建立齒輪傳動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型.諸多學(xué)者[15-17]提出動(dòng)力學(xué)模型建立方式,對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)模型建立有推進(jìn)作用.

王云等[18]建立了人字齒輪副平移-扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析模型,結(jié)合混合彈流潤滑理論計(jì)算了混合彈流潤滑摩擦因數(shù),并探究其對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響;Yang等[19]提出一種由軸頸軸承支撐的人字齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)模型,用時(shí)間位移圖像、相平面圖和分岔圖從波度類型和波度幅值兩方面研究人字齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為;Xu 等[20]在摩擦動(dòng)力學(xué)條件下,通過迭代數(shù)值方案提出一種新型HPGS耦合動(dòng)力學(xué)模型,并對(duì)考慮齒面摩擦下該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究,得出齒面摩擦與動(dòng)態(tài)嚙合力關(guān)系.Wang 等[21]等學(xué)者根據(jù)諧波平衡展開法和多尺度法分別推導(dǎo)單穩(wěn)態(tài)能量收集器位移和電壓頻率響應(yīng)函數(shù),并從實(shí)驗(yàn)測(cè)量中確定單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)參數(shù),將其用于諧波平衡和多尺度方法理論解數(shù)值研究;Wang 等[22]和Moradi 等[23]分別建立鐵路機(jī)車單自由度裂紋齒輪模型和直齒輪副非線性振動(dòng)模型,采用多尺度方法對(duì)共振進(jìn)行參數(shù)化研究,揭示不同因素對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響;諸多學(xué)者[24-30]采用不同研究方式,分別對(duì)考慮不同因素下系統(tǒng)非線性響應(yīng)進(jìn)行研究,使非線性動(dòng)力學(xué)研究方法更加完善.

本文旨在研究高速重載人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性,綜合考慮時(shí)變嚙合剛度、傳動(dòng)誤差、齒側(cè)間隙和軸承間隙等因素,建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,通過控制變量法,探究在不同齒側(cè)間隙、嚙合阻尼、嚙合剛度及外部激勵(lì)頻率下系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng),輸出系統(tǒng)時(shí)間-位移圖像、時(shí)間-速度圖像、空間頻譜圖、空間相圖、小波時(shí)頻圖及分岔圖,通過觀測(cè)圖像曲線變化趨勢(shì)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定.

1 人字齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

引入傳遞誤差、時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙等因素,考慮軸承滾動(dòng)體與內(nèi)外滾道之間游隙及軸承非線性振動(dòng),構(gòu)建圖1 所示人字齒輪系統(tǒng)多自由度耦合振動(dòng)模型.

圖1 人字齒輪系統(tǒng)多自由度耦合振動(dòng)模型Fig.1 Multi-degree-of-freedom coupling vibration model of herringbone gear system

圖中m1,m3,I1和I3分別為右、左兩側(cè)主動(dòng)斜齒輪質(zhì)量及右、左兩側(cè)主動(dòng)斜齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,m2,m4,I2和I4分別為右、左兩側(cè)從動(dòng)斜齒輪質(zhì)量及右、左兩側(cè)從動(dòng)斜齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;mA1和mA2分別為輸入軸和輸出軸右側(cè)軸承質(zhì)量,mA3和mA4分別為輸入軸和輸出軸左側(cè)軸承質(zhì)量;kA1i,kA2i,kA3i,kA4i,cA1i,cA2i,cA3i和cA4i(i=x,y)為各軸承內(nèi)圈沿坐標(biāo)軸x向和y向支撐剛度和支撐阻尼;k1i,k2i,k3i,k4i,c1i,c2i,c3i和c4i(i=x,y,z,θ)為齒輪與軸承連接軸段沿坐標(biāo)軸x向、y向和z向支撐剛度、扭轉(zhuǎn)剛度及相應(yīng)阻尼;k13i,k24i,c13i和c24i(i=x,y,z,θ)為中間軸段沿坐標(biāo)軸各向支撐剛度、扭轉(zhuǎn)剛度及相應(yīng)阻尼.

把軸承與旋轉(zhuǎn)軸視作剛性連接,齒輪、一側(cè)軸承與旋轉(zhuǎn)軸質(zhì)量集中在其質(zhì)心,系統(tǒng)考慮24 個(gè)自由度

其中,xi,yi,zi,θi(i=1,2,3,4)為各斜齒輪沿坐標(biāo)軸各向振動(dòng)與扭轉(zhuǎn)位移,xAj,yAj(j=1,2,3,4)為各軸承內(nèi)圈沿坐標(biāo)軸相應(yīng)方向位移.

在本研究所用齒輪參數(shù)條件下,系統(tǒng)額定負(fù)載扭矩為200 N·m,最大工作轉(zhuǎn)速超過5000 r/min,在高速重載工況下運(yùn)行,其中,人字齒輪及軸承參數(shù)如表1 及表2 所示.

表1 人字齒輪參數(shù)Table 1 Parameters of the herringbone gears

表2 軸承參數(shù)Table 2 Bearing parameters

系統(tǒng)振動(dòng)微分方程如下所示

為提升計(jì)算精度,以齒輪嚙合線位移替換系統(tǒng)中齒輪扭轉(zhuǎn)位移,將方程無量綱化,如下所示

式(1)和式(3)中,j取13,當(dāng)i=1 時(shí),p=3,k=1,v=1;當(dāng)i=3 時(shí),p=1,k=2,v=3.j取24,當(dāng)i=2 時(shí),p=1,k=1,v=2;當(dāng)i=4 時(shí),p=2,k=2,v=4;式(2)和式(4)中,當(dāng)i=A1時(shí),j=1;當(dāng)i=A3時(shí),j=3;當(dāng)i=A2時(shí),j=2;當(dāng)i=A4時(shí),j=4.

無量綱化方式如下所示

其中,τ表示無量綱時(shí)間,ωn表示固有頻率,Km表示嚙合剛度均值,fg為無量綱重力.

2 系統(tǒng)時(shí)變激勵(lì)

2.1 時(shí)變嚙合剛度及嚙合力

定義右側(cè)主動(dòng)與從動(dòng)斜齒輪嚙合線為嚙合線1,左側(cè)主動(dòng)與從動(dòng)斜齒輪嚙合線為嚙合線2,αn和β為法面壓力角和螺旋角,e為靜態(tài)傳遞誤差均值,ωm為斜齒輪副嚙合頻率,e(t)為靜態(tài)傳遞誤差,則右側(cè)主動(dòng)斜齒輪和右側(cè)從動(dòng)斜齒輪在嚙合線1 上投影位移可由下式計(jì)算

基于此,嚙合力計(jì)算方法如下

式中,Km(t)為該斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度;Cm為該斜齒輪副嚙合阻尼,bm為齒側(cè)間隙一半.

根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型中所建立三維坐標(biāo)系,將嚙合力分解至x,y,z方向,如下式所示

左側(cè)斜齒輪副嚙合力計(jì)算方式同理.

根據(jù)ISO standard 6336-1-2006 計(jì)算右側(cè)斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度,如下式所示

式中,K(t)為斜齒嚙合時(shí)變剛度,Km為平均嚙合剛度,Ki為剛度變化幅值,ωm為嚙合頻率,其值等于輸入軸轉(zhuǎn)速頻率乘以輸入齒輪齒數(shù),? 為初始相位角,εα為端面重合系數(shù),Kc為單對(duì)齒輪的嚙合剛度.

左側(cè)斜齒輪副時(shí)變嚙合剛度可用相同方式計(jì)算.取相同參數(shù),嚙合線1 與嚙合線2 時(shí)變嚙合剛度曲線變化趨勢(shì)相同,如圖2 所示.

圖2 時(shí)變嚙合剛度曲線Fig.2 Time-varying meshing stiffness curve

2.2 時(shí)變軸承支撐力

軸承用于支撐旋轉(zhuǎn)構(gòu)件,其內(nèi)部軸承力會(huì)對(duì)系統(tǒng)非線性響應(yīng)產(chǎn)生影響.人字齒輪系統(tǒng)模型中,軸承載荷計(jì)算方式如下所示.

以ωbi和ωbo分別為軸承內(nèi)、外圈繞旋轉(zhuǎn)軸軸線轉(zhuǎn)動(dòng)角速度,由于外圈固定于軸承座,故ωbo=0.滾動(dòng)體與軸承內(nèi)、外圈接觸點(diǎn)處線速度vbi和vbo,滾動(dòng)體個(gè)數(shù)為Zb,軸承內(nèi)、外圈半徑分別為rbi和rbo,滾動(dòng)體公轉(zhuǎn)角速度ωbn及位置角θi(t)計(jì)算方式如下所示

軸承未因受力發(fā)生形變時(shí),內(nèi)、外圈曲率中心分別為Obi和Obo,曲率半徑分別為rbi和rbo,滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈初始接觸角均為γi;軸承受力變形后,內(nèi)、外圈曲率中心變?yōu)?接觸角變?yōu)?因軸承外圈固定于軸承座,故受力時(shí)其曲率中心位置不變,軸承內(nèi)圈曲率中心由Obi變化到.以l′為外圈曲率中心中心距,δ為滾動(dòng)體變形,c為軸承徑向游隙,為滾動(dòng)體變形后與軸承內(nèi)圈接觸角,上述各項(xiàng)參數(shù)計(jì)算公式為

式中,x和y分別為軸承內(nèi)圈沿坐標(biāo)軸相應(yīng)方向振動(dòng)位移.

引入Heaviside 函數(shù),以H(δ)表示,忽略滾動(dòng)體及保持架慣性,Frb為滾動(dòng)體徑向受力,Kb為滾動(dòng)體與滾道接觸剛度,軸承內(nèi)圈在坐標(biāo)系各方向受力由下式計(jì)算

3 人字齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

選取額定輸入轉(zhuǎn)矩為150 N·m,探究改變不同系統(tǒng)參數(shù)時(shí),系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)變化趨勢(shì).考慮到工程實(shí)際情況,在模型建立過程中,左、右斜齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合誤差激勵(lì)波動(dòng)幅值不同,嚙合線1 和嚙合線2 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線變化趨勢(shì)存在差異.

3.1 不同轉(zhuǎn)矩下系統(tǒng)響應(yīng)

本部分探究輸入轉(zhuǎn)速為6000 r/min 時(shí),人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在不同輸入轉(zhuǎn)矩下非線性響應(yīng).為更直觀反映振動(dòng)曲線數(shù)值,將嚙合線1 和嚙合線2 無量綱時(shí)間-位移曲線各點(diǎn)數(shù)值乘以bm,無量綱時(shí)間-速度曲線各點(diǎn)數(shù)值乘以ωnbm,繪制不同阻尼系數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng),如圖3所示.通過分析圖3(a)和圖3(b)可以看出,改變Tin值將改變振動(dòng)位移曲軌跡變化趨勢(shì).圖3(c)和圖3(d)表明系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間變化關(guān)系,結(jié)合空間相圖及龐加萊映射點(diǎn)可知,當(dāng)Tin緩慢增加時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)從穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng)逐漸變?yōu)殡p周期運(yùn)動(dòng)、多周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng),且振幅逐漸增大,在此過程中,嚙合線1 振動(dòng)速度峰值為5.2 μm/s,嚙合線2 振動(dòng)速度峰值分別為0.27 μm/s,0.33 μm/s,4.5 μm/s 和5.3 μm/s.

圖3 不同轉(zhuǎn)矩下系統(tǒng)響應(yīng)Fig.3 System response under different torque

3.2 不同嚙合阻尼下系統(tǒng)響應(yīng)

本部分探究輸入轉(zhuǎn)速為6000 r/min、輸入轉(zhuǎn)矩為150 N·m 時(shí),人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在不同嚙合阻尼系數(shù)下非線性響應(yīng).為更直觀反映振動(dòng)曲線數(shù)值,將嚙合線1 和嚙合線2 無量綱時(shí)間-位移曲線各點(diǎn)數(shù)值乘以bm,無量綱時(shí)間-速度曲線各點(diǎn)數(shù)值乘以ωnbm,繪制不同阻尼系數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng),如圖4 所示.通過分析圖4(a)和圖4(b)可以看出,改變?chǔ)蝝值將改變振動(dòng)位移曲軌跡變化趨勢(shì).圖4(c)和圖4(d)表明系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間變化關(guān)系,結(jié)合空間相圖及龐加萊映射點(diǎn)可知,當(dāng)ξm緩慢增加時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)從穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng)逐漸變?yōu)殡p周期運(yùn)動(dòng)和多周期運(yùn)動(dòng),且振幅逐漸增大.

圖4 不同阻尼系數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)Fig.4 System response under different damping coefficients

3.3 不同齒側(cè)間隙下系統(tǒng)響應(yīng)

保持系統(tǒng)其他參數(shù)不變,改變bm值,分別觀察嚙合線1 和嚙合線2 非線性位移.為更直觀反映振動(dòng)曲線數(shù)值,將嚙合線1 和嚙合線2 無量綱時(shí)間-位移曲線各點(diǎn)數(shù)值乘以bm,無量綱時(shí)間-速度曲線各點(diǎn)數(shù)值乘以ωnbm,繪制不同阻尼系數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng),如圖5 所示.從圖5(a)和圖5(b)可以看出,改變bm值將改變振動(dòng)位移曲線的軌跡趨勢(shì).結(jié)合空間相圖及龐加萊映射點(diǎn)可知,在不同bm值下,嚙合線1 和嚙合線2 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)總體變化趨勢(shì)相同,當(dāng)bm緩慢增大時(shí),嚙合線振動(dòng)位移從穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng)逐漸變?yōu)殡p周期運(yùn)動(dòng)以及多周期運(yùn)動(dòng),波動(dòng)幅度逐漸增大.當(dāng)齒側(cè)間隙從1 μm 變化至4 μm 時(shí),嚙合線1 穩(wěn)定單周期振動(dòng)速度峰值為0.23 μm/s,混沌運(yùn)動(dòng)及多周期運(yùn)動(dòng)振動(dòng)速度峰值為0.25 μm/s 和0.53 μm/s,嚙合線2 穩(wěn)定單周期振動(dòng)速度峰值為2.5 μm/s.

圖5 不同齒側(cè)間隙下系統(tǒng)響應(yīng)Fig.5 System response under different backlashes

3.4 不同嚙合剛度下系統(tǒng)響應(yīng)

本部分探究在不同嚙合剛度下系統(tǒng)非線性響應(yīng).為更直觀反映振動(dòng)曲線數(shù)值,將嚙合線1 和嚙合線2 無量綱時(shí)間-位移曲線各點(diǎn)數(shù)值乘以bm,無量綱時(shí)間-速度曲線各點(diǎn)數(shù)值乘以ωnbm,繪制不同阻尼系數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng),如圖6 所示.通過分析圖6(a)和圖6(b)可以看出,改變Km值將改變振動(dòng)位移曲線的軌跡趨勢(shì).空間相圖及龐加萊映射點(diǎn)表示,當(dāng)Km緩慢增加時(shí),龐加萊映射點(diǎn)集由散亂無序點(diǎn)變化為相軌跡線上兩點(diǎn),最終變化為相軌跡線上一點(diǎn),表明嚙合線上投影振動(dòng)位移起初為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),隨后逐漸變?yōu)楸吨芷谶\(yùn)動(dòng)狀態(tài),最后當(dāng)嚙合剛度突破一定閾值時(shí),系統(tǒng)趨于穩(wěn)定,做單周期運(yùn)動(dòng).如圖6(c)和圖6(d)所示,在穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下,嚙合線1 穩(wěn)定單周期振動(dòng)速度峰值為0.43 μm/s,混沌運(yùn)動(dòng)及多周期運(yùn)動(dòng)振動(dòng)速度峰值為0.8 μm/s 和0.33 μm/s,嚙合線2 穩(wěn)定單周期振動(dòng)速度的峰值為0.45 μm/s.

圖6 不同嚙合剛度下系統(tǒng)響應(yīng)Fig.6 System response under different meshing stiffness

3.5 不同外部激勵(lì)頻率下系統(tǒng)響應(yīng)

改變外激勵(lì)頻率,當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速逐漸增大至10 000 r/min 時(shí),嚙合線1 運(yùn)動(dòng)空間頻譜如圖7(a)所示.由圖可知,當(dāng)激勵(lì)頻率約為0.6 時(shí),振動(dòng)頻率呈現(xiàn)單一峰值狀態(tài),表明系統(tǒng)處于穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).當(dāng)激勵(lì)頻率約為1 時(shí),振動(dòng)頻率出現(xiàn)兩個(gè)峰值,幅值分別為0.3 和0.6,表明系統(tǒng)處于倍周期或多周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).同時(shí),當(dāng)激勵(lì)頻率約為1.25 和1.68 時(shí),出現(xiàn)較多混沌頻率,表明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).此外,圖7(b)為空間狀態(tài)下相平面圖和龐加萊截面圖,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變過程為: 從穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)逐漸走向倍周期分岔運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),最終重新回到穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

圖7 嚙合線1 空間頻譜圖及空間相圖Fig.7 Spatial spectrum and spatial phase diagram of meshing line 1

通過小波變換方法分析嚙合線上振動(dòng)位移,如圖8 所示.當(dāng)ωe=0.7 時(shí),嚙合線上振動(dòng)位移主要由0.1ωe組成,幅值約為0.28.當(dāng)ωe=1 時(shí),嚙合線位移主振頻率為0.8ωe和分量1.6ωe,系統(tǒng)處于倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).當(dāng)ωe=1.55 時(shí),除頻率為0.25ωe外,還出現(xiàn)較多混沌頻率,幅值集中在0.05 左右,此時(shí)系統(tǒng)在做混沌運(yùn)動(dòng).當(dāng)ωe=2.2 時(shí),嚙合位移主要由0.35ωe組成.幅值約為0.12,對(duì)應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

圖8 嚙合線1 小波變換時(shí)頻圖Fig.8 Meshing line 1 time-frequency diagram of wavelet transform

為進(jìn)一步研究外部激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響,表征系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),判別系統(tǒng)運(yùn)動(dòng),繪制分岔參數(shù)為ωe時(shí)系統(tǒng)分岔圖與李雅普諾夫指數(shù)圖,如圖9 所示.圖中的數(shù)據(jù)表明,當(dāng)ωe<0.7 時(shí),最大李雅普諾夫指數(shù)小于0,系統(tǒng)振動(dòng)位移變化周期與嚙合周期一致,運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)ωe在0.7～1.2 之間時(shí),系統(tǒng)振動(dòng)位移變化周期為嚙合周期2 倍,系統(tǒng)做倍周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)ωe在1.2～1.3 之間時(shí),系統(tǒng)振動(dòng)位移變化周期為嚙合周期4 倍,系統(tǒng)處于周期4 運(yùn)動(dòng)狀態(tài);當(dāng)ωe在1.3～1.72 之間時(shí),最大李雅普諾夫指數(shù)大于0,系統(tǒng)振動(dòng)位移變化不再具有周期性,表明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài);當(dāng)ωe在1.72～1.88 之間時(shí),系統(tǒng)振動(dòng)位移變化周期為嚙合周期二倍,系統(tǒng)做倍周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)ωe>1.88 時(shí),最大李雅普諾夫指數(shù)降到0 線以下,此時(shí)系統(tǒng)所處運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng).

圖9 嚙合線1 系統(tǒng)位移分岔圖及最大李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.9 Displacement bifurcation diagram and maximum Lyapunov exponent diagram of meshing line 1

改變外激勵(lì)頻率,當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速逐漸增大至10 000 r/min 時(shí),嚙合線2 運(yùn)動(dòng)空間頻譜如圖10(a)所示.由圖可知,當(dāng)激勵(lì)頻率小于0.7 時(shí),頻譜圖上只出現(xiàn)單個(gè)主共振峰,振動(dòng)幅值最大值為0.7,表明系統(tǒng)在做穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)無量綱激勵(lì)頻率約為1.21 和1.75 時(shí),系統(tǒng)振動(dòng)頻率出現(xiàn)多值現(xiàn)象,表明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).此外,圖10(b)為空間相平面圖和龐加萊截面圖.圖中信息表示,當(dāng)無量綱激勵(lì)頻率ωe從0 開始增大至2 時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)過渡至多周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),隨后陷入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),在經(jīng)歷倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)后,最終轉(zhuǎn)變回單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),此時(shí)系統(tǒng)又趨于穩(wěn)定.

圖10 嚙合線2 空間頻譜圖及空間相圖Fig.10 Spatial spectrum and spatial phase diagram of meshing line 2

通過小波變換方法分析齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)嚙合線1 上振動(dòng)位移變化趨勢(shì),如圖11 所示.當(dāng)ωe=0.6 時(shí),坐標(biāo)軸各向投影至嚙合線上振動(dòng)位移主要由0.1ωe組成,幅值約為0.27,表明系統(tǒng)穩(wěn)定.當(dāng)ωe=1.45 時(shí),除頻率為0.23ωe外,還出現(xiàn)較多混沌頻率,幅值集中在0.1 左右.當(dāng)ωe=2.1 時(shí),嚙合位移主要由0.35ωe組成,幅值約為0.12,對(duì)應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

圖11 嚙合線2 小波變換時(shí)頻圖Fig.11 Meshing line 2 time-frequency diagram of wavelet transform

圖11 嚙合線2 小波變換時(shí)頻圖 (續(xù))Fig.11 Meshing line 2 time-frequency diagram of wavelet transform(continued)

為進(jìn)一步研究外部激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響,表征系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),判別系統(tǒng)運(yùn)動(dòng),繪制分岔參數(shù)為ωe時(shí)系統(tǒng)分岔圖及李雅普諾夫指數(shù)圖,如圖12 所示.圖中的數(shù)據(jù)表明,當(dāng)ωe<0.63 時(shí),系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)ωe在0.63～1.13 之間時(shí),最大李雅普諾夫指數(shù)小于0,系統(tǒng)做倍周期運(yùn)動(dòng);當(dāng)ωe在1.13～1.25 之間時(shí),系統(tǒng)處于周期4 運(yùn)動(dòng)狀態(tài);當(dāng)ωe在1.25～1.75 之間時(shí),系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),此時(shí),最大李雅普諾夫指數(shù)上升,突破0 線;當(dāng)ωe在1.75～1.9 之間時(shí),系統(tǒng)做倍周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)ωe>1.9 時(shí),最大李雅普諾夫指數(shù)降至負(fù)值,表明系統(tǒng)已經(jīng)脫離混沌運(yùn)動(dòng),進(jìn)入穩(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng).

圖12 嚙合線2 系統(tǒng)位移分岔圖及最大李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.12 Displacement bifurcation diagram and maximum Lyapunov exponent diagram of meshing line 2

4 結(jié)論

通過對(duì)高速重載人字輪非線性動(dòng)力學(xué)分析得到如下結(jié)論.

(1)引入軸承游隙、齒側(cè)間隙和動(dòng)態(tài)嚙合誤差激勵(lì)等因素,建立人字齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型,通過控制變量法分析齒側(cè)間隙對(duì)系統(tǒng)非線性特性影響,結(jié)果表明,當(dāng)齒側(cè)間隙取值范圍為1×10-6～4×10-6m 時(shí),若增大齒側(cè)間隙,則系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性降低.

(2)系統(tǒng)其他參數(shù)選定為初始參數(shù),在150～300 N·m 范圍內(nèi)逐漸增大輸入轉(zhuǎn)矩以及在區(qū)間(0.15,0.3)內(nèi)逐漸減小嚙合阻尼比時(shí),系統(tǒng)非線性振動(dòng)由單周期演變?yōu)槎嘀芷诤突煦?為使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)處于單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)矩不宜過高,嚙合阻尼比不宜過低.

(3)通過控制變量法探究嚙合剛度及激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)影響.在1.5×108～6×108N/m 范圍內(nèi)逐漸增大嚙合剛度時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由混沌狀態(tài)經(jīng)歷多周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)后,最終變?yōu)榉€(wěn)定單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).逐漸增大激勵(lì)頻率時(shí),系統(tǒng)將經(jīng)歷周期、準(zhǔn)周期、混沌及其他運(yùn)動(dòng)狀態(tài).為保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行,嚙合剛度不宜過小,激勵(lì)頻率不應(yīng)大于3250 Hz.