跳頻序列非周期部分漢明相關理論界研究

譚 馨，牛憲華，馬佳蓓，張司娜

（西華大學計算機與軟件工程學院,四川 成都 610039）

數據鏈[1-4]最早的雛形是美國軍方于1950 年啟用的半自動地面防空系統(tǒng)。這種以計算機輔助的指揮管理體系使用了各種有線與無線的數據鏈。作為指揮控制系統(tǒng)的通信手段，數據鏈在現代戰(zhàn)爭中的作用日益突出。在各個時間段，根據當下的技術能力以及實際的戰(zhàn)場需求，不同的數據鏈被開發(fā)，比如Link4、Link11、Link16、Link22 以及TTNT 等。為了實現未來跨域高能效協(xié)同作戰(zhàn)的應用需求，數據鏈將朝著優(yōu)異的自組織能力、更大容量、更高速率、安全保密、強抗干擾和防竊聽能力的方向發(fā)展。

數據鏈通信網絡同時存在著多個網絡參與組。每個不同的網絡參與組之間，使用了不同的跳頻模式，以實現在相同的時隙內進行多網傳輸?？梢詫崿F這個功能的原因是，在跳頻系統(tǒng)中，信號的載波頻率在傳輸過程中會不斷地進行跳變，跳變的規(guī)則是由偽隨機碼，也就是分配給網絡參與組的跳頻序列實現。消息的發(fā)送者和接收者使用相同的跳頻序列，就能保證正確地對發(fā)送的信息進行調制和解調。

跳頻序列具有良好的安全保密性、抗截獲性以及抗干擾性[2]，可以很好地滿足數據鏈未來的發(fā)展需求。如何設計出具有良好性能，能完美應用到實際通信系統(tǒng)中的跳頻序列，一直是擴頻研究領域中一個非常重要的方向。

為了準確地反映跳頻通信的抗干擾程度，漢明相關函數被引入，它是用來量化跳頻序列本身以及不同的跳頻序列之間的相互影響程度。換句話說，漢明相關函數描述了序列與序列之間的“碰撞”次數。漢明相關值越小，說明序列之間的碰撞次數越小，相互之間的影響也越小，抗干擾的能力就越強。所以，在實際應用中，總是希望所使用的跳頻序列集的漢明相關值盡可能小，其抗干擾的能力就越強；頻隙集數目也盡可能小，頻點利用率就越高；序列長度盡可能大，使用周期就越長；序列數目盡可能多，可以允許更多的用戶接入網絡。但是這些參數，都不是各自隨意取值的，它們之間存在著一些相互制約的關系，這種關系就被稱為跳頻序列的“理論界”。當設計出來的目標跳頻序列集需要評判優(yōu)劣，相應的理論界就派上了用場，如果剛好取到理論界的臨界值，那么就可以說這種跳頻序列集是具有相應的最優(yōu)性質的，是符合理論界要求的。所以理論界對跳頻序列的設計有非常重要的指導意義。

在早些時候，對于跳頻序列的理論界研究多集中在常規(guī)全周期漢明相關上。隨著研究深入，國內外學者依據不同的劃分方法，把跳頻序列的漢明相關函數劃分成了不同的類別[5-14]。根據跳頻序列是否循環(huán)使用，漢明相關被分成了周期漢明相關和非周期漢明相關；根據相關窗窗口大小是否變化，漢明相關函數被分成了部分漢明相關和常規(guī)漢明相關；根據考慮的時延范圍，漢明相關函數又被分為了低碰撞區(qū)漢明相關（無碰撞區(qū)）和全周期漢明相關。不同的漢明相關理論界的研究成果如表1所示。

表1 不同漢明相關的理論界Tab.1 Bounds of different Hamming correlation

一方面，當數據鏈中的2 個不同的網絡組進行通信時，若是將分配到的跳頻序列循環(huán)使用，則會更容易被監(jiān)聽者破解頻率跳變的規(guī)律，從而增加信息泄露的風險。非周期漢明相關就是用來描述當分發(fā)到的跳頻序列并不循環(huán)使用時，用戶間相互干擾的程度。因此在跳頻通信的系統(tǒng)應用當中，非周期漢明相關更有利于衡量系統(tǒng)性能。

另一方面，數據鏈網絡中的參與組，一般是在有通信需求發(fā)生時才會與其他參與組進行通信，且使用到的跳頻序列的長度往往小于跳頻序列的總長度。同時，因為受到硬件條件等的限制，相較于全周期漢明相關，相關窗窗口大小可以變化的部分漢明相關，更能直觀和全面地描述跳頻通信系統(tǒng)的性能。

綜上所述，與周期漢明相關相比，非周期漢明相關和部分漢明相關更能全面準確地描述跳頻通信系統(tǒng)的性能，但是非周期和部分漢明相關界的推導都存在著一定的復雜性，兩者結合更是加大了研究的難度；所以關于跳頻序列非周期部分漢明相關的理論界，目前得到的成果極少。

1 符號和定義

設F={f1,f2,···,fq}為一個頻隙集，|F|=q。S是一個大小為M的跳頻序列集，其中每個序列長度為N。對于任意的f1,f2∈F，令

對于任意2 個跳頻序列x,y∈S，x=(x0,x1,···,xN-1)，y=(y0,y1,···,yN-1)。周期漢明相關H(x,y;τ)和非周期漢明相關H(x,y;τ)分別定義為：

式中：相對時延 τ=0,1,···,N-1；下標i+τ 按模N運算。如果x=y，H(x,y;τ)是周期漢明自相關函數，為非周期漢明自相關函數；如果x≠y時，H(x,y;τ)是周期漢明互相關函數，為非周期漢明互相關函數。

另外，跳頻序列集的最大周期漢明自相關為Ha(S)，最大周期漢明互相關為Hc(S)，最大周期漢明相關則用Hm(S)表示。具體定義為：

引理1[5]S是頻隙集F上的由M個跳頻序列組成的跳頻序列集，|F|=q，序列長度為N，現在對G(S)定義為

則可以得到

引理2[5]S是由M個長度為N的跳頻序列組成的集合，頻點個數為q，那么，

以上是Peng 和Fan 推導出的關于最大非周期漢明相關的理論界。

對于跳頻序列集S中任意2 條序列x={x0,x1,···,xN-1}，y={y0,y1,···,yN-1}，在相對時延為τ，0 ≤τ ＜N，相關窗起始點為j，0 ≤j＜N，相關窗窗口長度為L，1 ＜L≤N，的周期部分漢明相關和非周期部分漢明相關函數，分別定義為：

其中，i+τ 是 modN運算。當x=y時，式(5)和式(6)分別為周期部分漢明自相關和非周期部分漢明自相關函數；當x≠y時，式(5)和式(6)分別為周期部分漢明互相關和非周期部分漢明互相關函數。

2 非周期部分漢明相關引理

設F={f1,f2,···,fq}是大小為q的頻隙集，令S={x(1),x(2),···,x(M)}是集合F上M個長度為N的跳頻序列的集合。

設Q={f1,f2,···fq,g1,g2,···,gM}，|Q|=q+M，可以看出，Q是在原來的頻隙集F的基礎上，再新增M個不同的頻隙g1,g2,···,gM，然后得到的一個新的頻隙集。

其中L的取值范圍是1 ≤L≤N。

引理3對于任意的相關窗長度L，1 ≤L≤N，容易驗證以下關系成立：

1）當0 ≤τ ＜N時，

2）當τ=N時，

3）當N＜τ ＜2N時，

引理4對于任意2 條長度為N的跳頻序列x,y，在相關窗窗口長度為L的情況下，它們周期部分漢明相關的和可以用周期漢明相關表示，為

其中1 ＜L≤N，0 ≤τ ＜N。

3 非周期部分漢明相關理論界

定理1在大小為q的頻隙集F上，S是一個由M個長度為N的跳頻序列組成的跳頻序列集，在相關窗窗口長度為L，相關窗起始點為j的條件下，有

證明根據引理4，把周期部分漢明相關的和用周期漢明相關表示，為

然后根據引理1，P(L)的下界，為

根據引理3，可得

根據 τ的不同取值將P(L)表示為

根據引理4，把S中序列的周期部分漢明相關用S中序列的非周期部分漢明相關表示，為

經過計算和驗證，可以得出

簡化為

結合式(9)，得到

容易得到

證畢。

推論對于任意的相關窗窗口長度L，當q≥M時，有

跳頻序列集非周期部分漢明相關理論界要求，在某一個給定的相關窗窗口大小L下，若也是跳頻序列集的最大非周期部分漢明相關滿足推論，那么該序列集就是部分最優(yōu)的。如果在相關窗L變化的情況下都滿足最優(yōu)非周期部分漢明相關，說明此跳頻序列集是嚴格部分最優(yōu)的。

4 性能分析

下面將通過幾個具體的例子，結合前面推導出的非周期部分漢明相關的理論界，進行性能分析。

例1令q=5，N=5，M=3，當相關窗長度L，1 ≤L≤N時，根據推論，可求得此參數下跳頻序列集的最大非周期部分漢明相關滿足，特別地，當L=N時，

與引理2中的Peng-Fan 界得到的Hm相同。經過計算可知，當q=5，L=N=5，M=3時，本文推導出的關于最大非周期部分的理論界是滿足Peng-Fan 界的。

例2當q=3，N=5，M=2時，設跳頻序列集S={S0,S1}，頻隙集F={0,1,2}時，其中

經過計算和驗證，當相關窗大小L(1 ≤L≤N)取任意值時，跳頻序列集S的最大非周期部分漢明相關都與本文推導出的理論界下界相吻合，如圖1 所示。

圖1 S 的最大非周期部分漢明相關及本文理論界Fig.1 The maximum aperiodic partial Hamming correlation of S and the theoretical bound of it

通過計算之后進行比較得到：在相關窗窗口大小L=N時，跳頻序列集S的最大非周期部分漢明相關為2，滿足Peng-Fan 界；在相關窗窗口大小L＜N時，關于本文的理論界是最優(yōu)的。那么，S就是一個具有嚴格最優(yōu)非周期部分漢明相關的跳頻序列集。

例3令q=9，N=26，M=9，根據推論中的非周期部分漢明相關理論界，圖2 給出了隨著相關窗窗口長度L的變化，最大非周期部分漢明相關的取值情況。

圖2 最大非周期部分漢明相關Fig.2 Maximum aperiodic partial Hamming correlation

從圖2 分析可知，在以上參數條件下，隨著相關窗窗口大小L的增加，根據推論得到的最大非周期部分漢明相關的理論最小值呈比較明顯的階梯狀上升趨勢。所以：在設計具體的跳頻序列集時，當相關窗窗口大小發(fā)生變化，序列集的相應最大非周期部分漢明相關應當也呈現一個明顯的階梯狀分布的；當L取到序列長度N時，就應該滿足序列集的非周期漢明相關的理論界。

5 結論

本文基于跳頻序列非周期和部分的概念，導出了最大非周期部分漢明相關關于序列長度、序列條數、頻隙集的大小，以及相關窗窗口長度的理論界。推導的理論界對于跳頻序列的設計和性能評價有積極的指導作用。