晏炳剛 涂元梅

摘要：基本初等函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，從函數(shù)概念的產(chǎn)生，到圖象與性質(zhì)，再到應(yīng)用是有基本套路的.本文中以指數(shù)函數(shù)為例，闡述基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)的基本套路.學(xué)生在學(xué)習(xí)了冪函數(shù)又體驗了指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)的基本套路后，能夠加深對基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)基本套路的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)，甚至研究數(shù)列的基本套路打下套路基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：基本初等函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；教學(xué)設(shè)計

“發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，教學(xué)生學(xué)會思考，就要讓學(xué)生掌握研究問題的‘基本套路，使數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人才，特別是創(chuàng)造性人才中發(fā)揮獨特作用.”[1-2]基本初等函數(shù)的研究遵循從實際背景到函數(shù)的定義與表示，再到圖象與性質(zhì)，最后到函數(shù)的應(yīng)用這一基本套路.學(xué)生在學(xué)習(xí)冪函數(shù)時，提煉了基本初等函數(shù)學(xué)習(xí)的基本套路，在接下來的指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中鞏固這一基本套路，可以加深對基本初等函數(shù)基本研究套路的理解，也為后續(xù)學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)的基本套路打下基礎(chǔ).指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)的基本套路起到承上啟下的作用，為此本文中以高中數(shù)學(xué)2019新人教版必修第一冊教科書中“指數(shù)函數(shù)”為例整合教材內(nèi)容，設(shè)計教學(xué)案例來談這一基本套路.

1 內(nèi)容

課時內(nèi)容為指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).本節(jié)課是在學(xué)生經(jīng)歷了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本研究套路之后，研究另一個基本初等函數(shù).通過類比冪函數(shù)的研究方法，用兩個衰減模型和兩個增長模型來引出指數(shù)函數(shù)的概念，并對指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行研究，進(jìn)一步鞏固研究函數(shù)的基本套路.

2 目標(biāo)與達(dá)成

2.1 目標(biāo)

（1）通過豐富的實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際背景，能分析實例的共性并抽象出指數(shù)函數(shù)概念.

（2）能用描點法畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，能探索提煉指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點、漸近線等.

（3）結(jié)合對指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)等的系統(tǒng)研究，進(jìn)一步理解研究初等函數(shù)的基本套路，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).

2.2 達(dá)成

達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志：

（1）通過紙的對折、游客增長率、碳14衰減及“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”等實例，能抽象

出y=ax（a＞0，且a≠1）及a的意義.

（2）通過列表、描點、連線，合理觀察圖象，分類歸納出指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).

（3）能用性質(zhì)解決簡單的大小比較問題.

（4）能體會函數(shù)研究的基本套路是從實例抽象概念—由解析式作圖識圖得性質(zhì)—性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

3 課時教學(xué)設(shè)計

3.1 概念獲得

問題1-1 如圖1和圖2，一張A4紙，你能對折幾次？對折10次有多厚？對折40次呢？對折x次后，厚度是一張A4紙厚度的多少倍？

設(shè)計意圖：引出指數(shù)函數(shù)的增長模型，激發(fā)學(xué)生興趣，讓學(xué)生感知到數(shù)學(xué)知識來源于生活.

問題1-2 （教材第112頁）B地景區(qū)人數(shù)每年增長11%，經(jīng)過x年后，B地景區(qū)的游客人數(shù)是開始年的多少倍？

設(shè)計意圖：用社會經(jīng)濟(jì)中的旅游經(jīng)濟(jì)再次引出刻畫指數(shù)增長模型問題.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的社會價值.

問題2-1 當(dāng)生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計意圖：通過考古碳14衰減的一般規(guī)律，引出刻畫指數(shù)的衰減規(guī)律問題，為抽象得到指數(shù)函數(shù)遞減模型做準(zhǔn)備.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值.

問題2-2 一尺之錘，日取其半，萬世不竭，問x天后，還剩多少尺？

設(shè)計意圖：通過傳統(tǒng)名句引出指數(shù)衰減模型即指數(shù)函數(shù)遞減模型，滲透歷史文化，增強文化自信.

設(shè)計意圖：四個問題分別從折紙長度看地月距離感受指數(shù)爆炸式增長，景區(qū)人口增長看社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實問題，考古碳14衰減的科學(xué)問題和傳統(tǒng)文化名言名句的數(shù)學(xué)含義方面引出四個指數(shù)函數(shù)模型，觀察四個函數(shù)，由特殊到一般抽象出指數(shù)函數(shù)解析式特征進(jìn)而得到指數(shù)函數(shù)的概念.

思考1 為什么規(guī)定底數(shù)a＞0且a≠1？

設(shè)計意圖：對底數(shù)進(jìn)行深入思考，對指數(shù)函數(shù)概念進(jìn)行辨析，從純數(shù)學(xué)角度和現(xiàn)實角度理解底數(shù)a的范圍.

例1 下列函數(shù)中，哪些是指數(shù)函數(shù)？

（1）y=x4;

（2）y=-4x;

（3）y=2-x;

（4）y=2x+1;

設(shè)計意圖：對指數(shù)函數(shù)概念進(jìn)行辨識，加強對指數(shù)函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識.

3.2 圖象與性質(zhì)

問題3 學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的概念后，根據(jù)函數(shù)研究的基本套路，接下來該研究什么？

（圖象與性質(zhì)，即列表、描點、連線、識圖、得性質(zhì)等.）

設(shè)計意圖：回憶冪函數(shù)研究路徑與方法提出指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究路徑與方法.強化函數(shù)研究的一般套路，為接下來的學(xué)習(xí)建立先行組織者.

學(xué)生活動：填表1，學(xué)生用描點法畫出四個函數(shù)的圖象（見圖3），看圖象完成表2的填寫.

師生活動：學(xué)生參與畫圖，感受底數(shù)對圖象的影響.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能觀察圖象的單調(diào)性、特殊點、漸近線，利用數(shù)形結(jié)合理解函數(shù)定義域、值域等，并能完成表格填寫.

設(shè)計意圖：通過大量畫圖，比較研究不同種類指數(shù)函數(shù)的圖象，歸納概括它們的主要共同性質(zhì)特征，并能數(shù)形結(jié)合、直觀地分析出各類指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì).

思考2 同一直角坐標(biāo)系下第一象限內(nèi)，底數(shù)不同的幾個指數(shù)函數(shù)圖象有什么特點？

思考3 根據(jù)這組圖象，還能發(fā)現(xiàn)什么？

設(shè)計意圖：通過觀察和分析同一直角坐標(biāo)系下第一象限內(nèi)圖象的直觀特征，得到“底大圖高”和“底數(shù)互為倒數(shù)

的兩個指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”.形成由圖象特征到圖象結(jié)論的轉(zhuǎn)化.

例2 如圖4所示，曲線C1，C2，C3，C4

分別是指數(shù)函數(shù)y=ax，y=bx，y=cx，y=dx

的圖象，則a，b，c，d，1的大小關(guān)系是.

設(shè)計意圖：強化理解底數(shù)對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，以及指數(shù)函數(shù)“底大圖高”的特征.

例3 比較下列各組值的大小：

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生歸類分析.比較同底數(shù)的兩個值時，直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決；同指數(shù)的兩個值

可以利用一個冪函數(shù)的單調(diào)性，或者利用兩個不同指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；

底數(shù)與指數(shù)都不同時，可利用兩個不同的指數(shù)函數(shù)來解決，

或者找中間數(shù)進(jìn)行比較.

設(shè)計意圖：通過數(shù)值的大小比較，進(jìn)一步深入理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.通過底數(shù)不同的兩個值的大小比較，進(jìn)一步鞏固“底大圖高”的結(jié)論；通過底數(shù)與指數(shù)都不同的兩個值的大小比較，加強理解指數(shù)函數(shù)過特殊點及單調(diào)性等圖形特征.

3.3 課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真回顧、總結(jié)本課的主要內(nèi)容，并回答以下三個問題：

（1）研究函數(shù)的基本套路是什么？

（2）研究函數(shù)圖象時，看什么？怎么看？

（3）從本節(jié)課來看，函數(shù)的圖象與性質(zhì)有什么用途？

設(shè)計意圖：通過問題（1），建立起函數(shù)研究的基本套路，為后面對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的研究打下基礎(chǔ)；通過問題（2） 再次強化函數(shù)圖象的作法，以及如何觀察圖象特征得到函數(shù)的性質(zhì)；通過問題（3）強化函數(shù)圖象特征，強化使用函數(shù)特征解決問題，形成函數(shù)研究的基本套路——從概念到圖象與性質(zhì)，再到應(yīng)用解決問題.

3.4 布置作業(yè)

根據(jù)課堂實際教學(xué)情況，從教科書習(xí)題4.2中選取第2，3，4，6題作為作業(yè).

設(shè)計意圖：考查學(xué)生對指數(shù)函數(shù)概念、圖象與性質(zhì)的理解與掌握.

參考文獻(xiàn)：

［1］時杰.關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)“基本套路”的文獻(xiàn)綜述[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（25）：71-75.

［2］章建躍.注重“基本套路”才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2012（3）：50.