于 靜 上海市民辦新黃浦實驗學校

沈文琴 深圳元平特殊教育學校

會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界是數(shù)學學科的核心素養(yǎng)之一。模型意識作為義務教育階段數(shù)學語言的主要表現(xiàn)之一，有助于增強學生對數(shù)學的應用意識，是形成模型觀念的經(jīng)驗基礎。數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結構建立模型的過程，包括從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。小學低年級階段，乘法模型是學生所需要掌握的基礎模型之一，小學二年級學生已基本掌握加法模型，如何在加法模型的基礎上幫助學生逐步建構乘法模型是教學的重點與難點。

二年級的乘法教學中經(jīng)常會出現(xiàn)學生對乘法口訣的背誦會出現(xiàn)“三六十二”“七八五十四”等記憶混淆、記錯等現(xiàn)象，也有部分學生能夠熟練背誦乘法口訣，但遇到實際情境不能快速反應出運用哪個乘法算式來解決問題。研究也發(fā)現(xiàn)正常智力水平的成人在計算乘法時大概會有10%的錯誤率，在計算一位數(shù)的乘法如8×7 和9×7時，也會花長達2秒的時間，且有25%的錯誤率。腦成像研究顯示，乘法運算所涉及的神經(jīng)網(wǎng)絡要比加法和減法多，對于加法算式主要形成視覺——阿拉伯數(shù)字表征，對于乘法算式主要形成聽覺——言語表征；減法主要依賴視空間表征，在視覺通道下優(yōu)勢較大。乘法以聽覺的言語表征方式為主，在聽覺通道下更具優(yōu)勢（見圖1）。

圖1

注：對比四種計算條件（未經(jīng)訓練的乘法，訓練過的乘法，未經(jīng)訓練的減法和訓練過的減法）基線（匹配）（上）。計算條件對比（訓練效果）（下）。對比未經(jīng)訓練的減去訓練的乘法/減法用紅色表示，經(jīng)過訓練的減去未經(jīng)訓練的乘法用綠色表示。經(jīng)過訓練的減去未經(jīng)訓練的減法的對比沒有產生任何顯著性激活。圖2 是角回內所有顯著激活的體素在所有五種條件下的激活時間過程的平均值經(jīng)過訓練的減去未經(jīng)訓練的乘法（綠色）。說明：mn=未經(jīng)訓練的乘法，mt=訓練過的乘法，sn=未經(jīng)訓練的減法，st=減法訓練有素，基數(shù)=數(shù)字匹配。

圖2

研究表明，經(jīng)過訓練后，乘法更依賴于快速檢索策略，而減法更依賴于計算策略。

乘法概念是小學數(shù)學學習中的重要概念，也是進行乘法計算和用乘法解決問題的重要基礎。乘法口訣是乘法計算的工具，促進學生對乘法概念的理解，建構出乘法模型才是正確解決問題的關鍵。在乘法概念的教學中，教師如果只是告知學生遇到幾個幾相加的和是多少時用乘法表示比較簡便，把教學的關注點放在乘法口訣的死記硬背上，學生并不能夠真正理解乘法的意義，也不利于學生建構乘法模型，影響學科核心素養(yǎng)的落實與發(fā)展。如何培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，并通過經(jīng)歷、體驗、感悟和內化讓學生自主建構乘法模型，是我們重點需要研究的問題。

模型意識主要是指初步感悟數(shù)學模型的普適性，有意識地用數(shù)學的概念與方法解釋現(xiàn)實生活中的問題。那么數(shù)學模型的建構就需要建立在現(xiàn)實的問題中，以具體的情境為依托，運用抽象的思想，滲透符號意識及數(shù)學表述的科學化。筆者以滬教版二年級第一學期“乘法引入”為例，逐步引導學生建構乘法模型，發(fā)現(xiàn)乘法問題與現(xiàn)實生活息息相關，并能運用乘法知識解決現(xiàn)實生活中的問題，通過模型意識的培養(yǎng)提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、從直觀到表象，孕育模型思維

（一）創(chuàng)設生活情境，激發(fā)學習興趣

低年級學生以直觀形象思維為主，真實的生活情境和具體形象的圖片場景有利于學生將現(xiàn)學的知識與生活實際相聯(lián)系，以情境設計和有效的問題促進學生主動參與教學活動，在活動中培養(yǎng)核心素養(yǎng)。在乘法教學中教師創(chuàng)設了游樂場主題情境，通過多媒體展示了游樂場整體動畫效果圖，再將教學場景聚焦到每一個游樂項目。依托學生熟悉且感興趣的真實場景，輔之以動畫效果渲染，吸引學生的注意力，激發(fā)學習的興趣。同一情境貫穿始終，學生在獲得學習體驗的同時，更感受到數(shù)學來源于生活，又應用于生活。

（二）初步分析信息，提出數(shù)學問題

數(shù)學模型思想的孕育需要生動有趣的情境來激發(fā)學生的學習興趣，更需要學生在情境中搜集信息、發(fā)現(xiàn)問題，并將生活問題轉化成數(shù)學問題，在解決問題的過程中建立初步的表象。教學中，教師先通過“海盜船游玩”項目，引導學生發(fā)現(xiàn)有價值的信息并提出數(shù)學問題：“一共有多少人在玩海盜船？”鼓勵學生運用已有知識經(jīng)驗解決問題，學生說出“一共有2個5相加”，并列出算式“5+5=10”。教師接著出示飛船游玩項目情境，由學生自主發(fā)現(xiàn)問題并解決，得出“求飛船上總人數(shù)實際就是求3 個4 相加是多少”，列式“4+4+4=12”。通過情境中信息搜集、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的初探過程，學生建立起表象并初步認識相同加數(shù)相加，并理解幾個相同加數(shù)相加算式的含義。

教師將情境的創(chuàng)設貫穿于解決問題的過程中，既保證了情境的有效性，讓學生與所學內容進行了情感連接，又促進了學生學會學習。學生初步體會到幾個相同加數(shù)相加的模型，為乘法模型的建構積累初步的數(shù)學表象。建立起表象才能進一步將已有經(jīng)驗與新的數(shù)學現(xiàn)象進行更加深入的聯(lián)系，激發(fā)新思維的產生。

二、從表象到抽象，萌發(fā)模型思維

（一）簡化問題情境，提煉必要數(shù)據(jù)

二年級對乘法模型的基本認識主要建立在“幾個相同加數(shù)的和”的層面，是在加法基礎上產生的高層次的認識結構。雖然學生已經(jīng)認識了“幾個幾”連加，但與乘法模型的建立還有一定的距離，因此要在繼續(xù)豐富學生認知表象的基礎上，利用不斷變化的問題情境幫助學生逐層抽象。教學中，教師創(chuàng)設了游樂場中的劃船項目，在保持情境的連貫性同時，又能讓學生感悟到加數(shù)不斷增多，每條小船上都是3 人，而小船的數(shù)量從4 艘，6 艘到9 艘逐漸增加，學生發(fā)現(xiàn)并依次解決問題“河里一共有多少人在劃船？”列出算式“3+3+3+3=12，3+3+3+3+3+3=18，3+3+3+3+3+3+3+3+3=27”。呈現(xiàn)出加數(shù)不變，而加數(shù)的個數(shù)越來越多，從“4 個3”“6 個3”到“9 個3”，學生在原有“幾個幾”相加的基礎上很快便感知到都是“同數(shù)連加”，從而抽象出“同數(shù)連加”的加法模型，同時感受到計算也變得越來越復雜。

（二）理解數(shù)學問題，明確模型系統(tǒng)

利用邏輯推理，設置認知經(jīng)驗的沖突，讓學生感受思維的沖擊，進一步推進問題的抽象，萌發(fā)乘法模型系統(tǒng)。教師圍繞劃船項目，將情境中小船的數(shù)量繼續(xù)增多，9 艘、20 艘、50 艘，最后直接上升到100 艘，學生在熟悉的環(huán)境里思維受到?jīng)_擊，提出問題：“100 艘小船上一共有多少名學生？”并嘗試列式“3+3+3+3+……+3”。學生發(fā)出“這么多3 相加太麻煩了”以及“有沒有更簡便的方法呢？”等感嘆和疑問。在這樣的體驗下學生發(fā)現(xiàn)原有知識不足以解決現(xiàn)有問題，便開始尋求新知識新方法。圍繞問題的解決，“100 個3 相加還可以怎樣表示呢？”乘法問題便應運而生。

在積累了數(shù)學表象后，就需要從豐富的表象中提取和抽象出數(shù)學問題，為問題的解決提供思維的方向和目標。讓學生參與并經(jīng)歷從“幾個幾”相加的初步感知到“同數(shù)連加”的模型抽象，再到乘法問題的生成這一過程，便于更快更準確地找到學習方向，并在數(shù)學問題的驅動下經(jīng)歷更多的思維活動，萌發(fā)出新的數(shù)學模型。

三、關注內涵表述，構建模型思維

乘法經(jīng)常被作為重復的加法來研究，但乘法有著比加法更復雜、更抽象的思維結構，兒童能夠理解重復加并不一定意味著理解乘法關系，兒童理解乘法關系的起源是“許多”和“一”的對應機制，重復加僅僅是解決乘法問題的程序性知識，而不是其概念基礎。

（一）規(guī)范數(shù)學語言，助力概念表述

概念的內涵表述需要用準確的數(shù)學語言概括出它的本質，而語言的準確性又體現(xiàn)著思維的縝密性。教學中教師要為學生提供規(guī)范的語言范式，訓練學生數(shù)學語言的表達能力，讓學生習慣于用規(guī)范的數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界。教學過程中，學生列出算式“3+3+3+3=12”后，教師要求完整表述出算式的含義即“4 個3 相加的和是12”，并進行板書，再說一說其中的“3”表示相同的加數(shù)，“4”表示相同加數(shù)的個數(shù)。在這一范式引導下，學生邊思考邊口述算式“3+3+3+3+3+3=18”和“3+3+3+3+3+3+3+3+3=27”的含義。經(jīng)過數(shù)學語言的規(guī)范訓練，強化和豐富了學生對“幾個相同加數(shù)的和”的理解，為乘法概念的內涵表述作了充足的語言鋪墊。

（二）創(chuàng)造運算符號，促進概念理解

符號的使用是數(shù)學表達和數(shù)學思考的重要形式，想要形成抽象能力和推理能力就需要建立良好的符號意識。學生經(jīng)歷符號的創(chuàng)造過程才能更好地理解符號的內涵，發(fā)展思維。教學中，學生在體會到“9個3相加”用連加算式麻煩時，教師提議讓學生創(chuàng)造一個簡單的符號將“9”和“3”連接起來，通過討論嘗試，學生創(chuàng)造出9▲3，9○3，9×3 等，再展示“×”的誕生過程，提出“9×3”的乘法模型。在經(jīng)歷乘號創(chuàng)造的過程中，學生深刻感受到乘號的重要性和簡潔性，同時建立起加法模型與乘法模型之間的鏈接，乘法模型的建構顯得順其自然，促進學生對乘法概念的深入理解。

（三）借助類比歸納，建構數(shù)學模型

教學中通過“比一比”“辨一辨”等多樣的教學活動，為學生對乘法模型進行歸納表述提供了路徑，促進了學生自主建構乘法模型。其中，請學生根據(jù)“9×3=27”的學習經(jīng)驗，用類比的方法，將情境中的連加算式改寫成乘法算式，并比較這三組算式：“3+3+3+3=12”和“4×3=12”“3+3+3+3+3+3=18”和“6×3=18”“3+3+3+3+3+3+3+3+3=27”和“9×3=27”之間的異同點。由此歸納出“求幾個相同加數(shù)的和，可以用加法表示，也可以用乘法表示，乘法更簡便”。最終引出乘法概念的內涵，即求幾個相同加數(shù)和的運算。

在乘法建模過程中，要圍繞乘法概念，完善對概念內涵的理解與準確表述，先用規(guī)范的數(shù)學語言指引學生對“幾個相同加數(shù)的和”的理解，再經(jīng)歷符號的創(chuàng)造過程明晰了加法與乘法之間的關系，最后在比較中感悟了乘法的意義，促進學生思維發(fā)展。

四、注重運用拓展，內化模型思想

乘法模型的建構不僅需要為學生創(chuàng)設過程的體驗，更要豐富對乘法概念的認知體驗，這也是數(shù)學建模的價值取向——運用。研究表明，視空間任務主要激活雙側枕葉、右側楔前葉、右側頂上小葉；簡單乘法任務主要激活雙側枕中回、左側頂上小葉、左側扣帶回、左側額中回以及左側額下回，主要激活了左側半球算術事實提取相關腦區(qū)；復雜乘法任務主要激活右側頂上小葉、右側額下回和雙側額中回，更多調用了視空間記憶功能。復雜乘法運算的正確執(zhí)行依賴于一個右側“頂-額葉”網(wǎng)絡，該網(wǎng)絡支持計算過程空間布局信息的存儲。只有在不斷的運用與拓展中才能將靜態(tài)的數(shù)學模型轉化為動態(tài)的思維運用，才能實現(xiàn)模型思想的內化（見圖3）。

圖3 不同MIRI任務的激活腦區(qū)圖

（一）運用解決問題，體驗模型價值

學生經(jīng)歷了“表象—抽象—建?！钡倪^程后，思維中逐漸建構出乘法模型“9×3=27”，但對于這個新的模型還需要在運用中不斷鞏固和強化，進而思維定型，成為學生主動的思維習慣。教學中，學生得出算式“9×3=27”后，教師讓學生結合情境說出其中每個數(shù)所表示的涵義，讓學生深入理解乘法就是求幾個相同加數(shù)和的運算，以及它與加法之間的關系。這里讓學生在情境中運用乘法模型解決簡單的數(shù)學問題，體驗數(shù)學模型的價值與意義。

（二）生活拓展遷移，檢驗數(shù)學模型

乘法概念和意義有著豐富的內涵和外延，當學生初步認識乘法的時候，對乘法概念的建構并沒有真正形成，需要在學習的過程中通過豐富的現(xiàn)實情境，體會數(shù)域的擴展與乘法現(xiàn)實模型之間的關系，逐步建構出乘法概念。

在教學中教師設計了這樣的問題：5個盤子里分別擺放了1、2、3、4、5 個月餅，可以用乘法算式表示出5 個盤子里一共有多少個月餅嗎？教師給學生準備了小圓片，并以小組討論的形式讓學生自主探索問題解決的過程。學生首先要運用乘法概念，明確每個盤子里的月餅數(shù)量相同才可以列出乘法算式；之后借助移動小圓片，調整盤子中月餅分布情況，得到不同的表現(xiàn)形式：5 個盤子里都有3 塊月餅，或3 個盤子里都有5 個月餅，還剩2 個空盤子，得出“5 個3”和“3 個5”兩種不同的情況，進而列出“5×3”和“3×5”的乘法算式。

學生面對數(shù)學問題時，要求能夠根據(jù)問題的本質進行分析判斷，選擇合適方法解決問題，從而建構數(shù)學模型。二年級的乘法引入只是乘法建模的開始，引導學生自主建構乘法模型，培養(yǎng)模型意識，無論是對乘法意義的理解還是靈活運用乘法概念解決實際問題，都能起到積極的作用。學生完整經(jīng)歷了理解問題情境、明確模型系統(tǒng)、簡化分析問題、建構數(shù)學模型、解答數(shù)學問題、檢驗數(shù)學模型等步驟和過程，在解決問題中不僅收獲了成功的喜悅，也體會到了數(shù)學模型的價值和意義，將乘法模型進一步內化，發(fā)展了學生模型運用的意識。我們只有為學生搭建好創(chuàng)造的平臺，激發(fā)其源動力，將模型進行內化，才能讓數(shù)學核心素養(yǎng)的提升落到實處。