浙江省開化縣第二中學(324300)曹嘉興

1919 年,著名數(shù)學家Weitzenb?ck 提出了一個僅含三角形邊長和面積的不等式[1]:

在?ABC中, 角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c, ?是它的面積,則有

不等式①也曾作為1961 年第3 屆國際數(shù)學奧林匹克(ⅠMO)試題.

Weitzenb?ck 不等式是一個很經(jīng)典的幾何不等式, 百余年來,關(guān)于它的各種證法、加強和推廣的研究一直是初等數(shù)學研究和數(shù)學競賽研究的熱點,本文再給出幾個新的僅含三角形邊長和面積的優(yōu)美不等式,并指出這些新的幾何不等式均是Weitzenb?ck 不等式的加強.

定理1在?ABC中, 角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,?是它的面積,則有

設(shè)R和r分別表示?ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑, 把abc= 4Rsr,a+b+c= 2s, ?=sr一起代入不等式⑥得(歐拉不等式),也就是說不等式⑥既是Weitzenb?ck 不等式的加強,又等價于著名的歐拉不等式R≥2r,它建立了這兩個著名不等式的內(nèi)在聯(lián)系,確實是一個非常漂亮的基本不等式.