指向深度理解的概念教學(xué)路徑建構(gòu)

陶然

［摘 要］數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)體系的基石，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深度理解是概念教學(xué)的應(yīng)然追求。教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過類比歸納、實(shí)驗(yàn)觀察以及矛盾辨析加深對數(shù)學(xué)概念的理解，進(jìn)而使學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到整合與優(yōu)化，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)概念；深度理解；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）27-0017-03

要學(xué)好數(shù)學(xué)，深度理解數(shù)學(xué)概念是前提。應(yīng)試教育背景下，教師往往為了趕進(jìn)度而采用填鴨式教學(xué)，學(xué)生只能機(jī)械模仿學(xué)習(xí)，對于數(shù)學(xué)概念的理解浮于表象，沒有達(dá)到遷移性的深度理解。心理學(xué)家奧蘇貝爾指出，真正的理解應(yīng)把新知識(shí)歸入原來的認(rèn)知體系，在新舊知識(shí)間發(fā)生有意義的同化，這種同化不是任意的，而是一種合情合理的、自然而然的聯(lián)系。筆者以為，要使學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念，可引導(dǎo)學(xué)生通過類比遷移、實(shí)驗(yàn)觀察、矛盾辨析等途徑加深對數(shù)學(xué)概念的理解。下面是筆者的一些教學(xué)實(shí)踐與思考，旨在探究基于深度理解的概念教學(xué)路徑。

一、通過類比歸納，深度理解數(shù)學(xué)概念

根據(jù)來源不同，數(shù)學(xué)概念可分為兩類：第一類是由現(xiàn)實(shí)中的事物或關(guān)系抽象而成的數(shù)學(xué)概念，如圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、軸對稱與軸對稱圖形等；第二類是從數(shù)學(xué)知識(shí)中抽象出來的數(shù)學(xué)概念，它是抽象思維的產(chǎn)物，如無理數(shù)、有理數(shù)、整式、一元一次方程、一元二次方程等。教師可根據(jù)數(shù)學(xué)概念的特征，設(shè)計(jì)學(xué)生熟悉的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)回答問題，從結(jié)果中找到它們的共同特性，最后通過類比與歸納得到一般特征，形成數(shù)學(xué)概念。

［案例1］一元二次方程的概念教學(xué)片段。

教師：請同學(xué)們回憶一下，什么叫作一元一次方程？并舉幾個(gè)一元一次方程的例子。

學(xué)生1：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫作一元一次方程，如[2x+6=11]；[x-1=3-x]；[2（x-2）=5-3（x-2）]等。

問題1：2022年是大豐收的一年。某村種的水稻2020年平均每公頃的產(chǎn)量是7200千克，2022年平均每公頃的產(chǎn)量是8400千克。若水稻平均每公頃的產(chǎn)量平均每年的增長率為[x]，則可列出方程：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

問題2：如圖1，有一塊長20米、寬8米的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，那么人行通道的寬度是多少米？設(shè)人行通道的寬度為[x]，列方程得? ? ? ? ? ? ? ?。

學(xué)生2：問題1的方程為[7200（1+x）2=8400]；問題2的方程為[（20-3x）（8-2x）=56]。

教師：請同學(xué)們把方程整理一下，去括號(hào)，寫成右邊為0的形式。

學(xué)生3：第一個(gè)方程可整理為[6x2+12x-1=0]；第二個(gè)方程可整理為[3x2-32x+52=0]。

教師：這兩個(gè)方程與前面學(xué)習(xí)的一元一次方程相同嗎？如果不同，這樣的方程應(yīng)該叫作什么方程呢？為什么？

學(xué)生4：這兩個(gè)方程并不是前面學(xué)習(xí)的一元一次方程，這兩個(gè)方程應(yīng)該叫作一元二次方程，因?yàn)槲粗獢?shù)的最高次數(shù)是2。

教師：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程就一定是一元二次方程嗎？[1x+x2=1]是一元二次方程嗎？為什么？從這里你得到什么啟示？

學(xué)生5：方程[1x+x2=1]不是一元二次方程，因?yàn)榉匠讨泻蟹质絒1x]，這樣的方程應(yīng)稱為分式方程。

學(xué)生6：判定一個(gè)方程是否是一元二次方程，還要看它是不是整式方程。

教師：也就是說，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫作一元二次方程。

通過類比一元一次方程的概念構(gòu)建一元二次方程的概念，使學(xué)生真正理解“一元一次方程”與“一元二次方程”定義的一致性。在“二元一次方程”概念的形成過程中，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)。

二、通過實(shí)驗(yàn)觀察，深度理解數(shù)學(xué)概念

實(shí)驗(yàn)是科學(xué)研究的重要方法之一，它是指根據(jù)一定的研究目標(biāo)，利用現(xiàn)有的工具，如刻度尺、量角器、計(jì)算器等，對客觀事物進(jìn)行控制和模擬，最大限度地排除次要因素的影響，凸顯主要因素，從而獲得經(jīng)驗(yàn)性素材，達(dá)到認(rèn)識(shí)自然現(xiàn)象和規(guī)律的目的。觀察是指人們按照客觀事物本身存在的自然狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)和確定客觀事物的性質(zhì)與關(guān)系，進(jìn)而收獲經(jīng)驗(yàn)性素材的方法。實(shí)驗(yàn)觀察是促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念的有利抓手，可使學(xué)生在直觀表象與動(dòng)態(tài)演繹中實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的深度理解。

［案例2］“圓與圓的位置關(guān)系”中的概念教學(xué)片段。

問題：請同學(xué)們觀察圖片，奧運(yùn)會(huì)上的五環(huán)標(biāo)志、自行車的兩個(gè)車輪、五個(gè)齒輪組成的傳動(dòng)裝置、飛鏢靶等，它們中圓與圓之間的關(guān)系有何不同？

學(xué)生1：在奧運(yùn)會(huì)的五環(huán)標(biāo)志中，上面的三個(gè)圓之間沒有公共點(diǎn)，下面的兩個(gè)圓之間也沒有公共點(diǎn)，但是上面的圓與下面的圓分別各有兩個(gè)公共點(diǎn)。

學(xué)生2：自行車的兩個(gè)車輪之間沒有公共點(diǎn)。

學(xué)生3：五個(gè)齒輪組成的傳動(dòng)裝置中，里面的三個(gè)小圓與外面的大圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)小圓與中間的圓也只有一個(gè)公共點(diǎn)。

學(xué)生4：飛鏢靶的幾個(gè)圓之間沒有公共點(diǎn)。

教師：那么兩個(gè)圓之間有哪些位置關(guān)系呢？我手中有一大一小兩個(gè)圓環(huán)，請一位同學(xué)幫忙在黑板上將一個(gè)圓環(huán)固定，我將另一個(gè)圓環(huán)由近及遠(yuǎn)地向固定的圓環(huán)靠近，注意觀察這兩個(gè)圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化。

教師：通過剛才的實(shí)驗(yàn)與觀察，你看到兩個(gè)圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)存在幾種情況？圓與圓之間的位置關(guān)系可分為幾種類型？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

學(xué)生5：兩個(gè)圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)存在沒有公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、有兩個(gè)公共點(diǎn)三種情況。因此，圓與圓之間的位置關(guān)系可分為三種類型，分類的標(biāo)準(zhǔn)是公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

教師：如圖3所示，第一個(gè)圖與第五個(gè)圖中，雖然兩個(gè)圓都沒有公共點(diǎn)，但是它們的位置關(guān)系一樣嗎？第二個(gè)圖與第四個(gè)圖中，雖然兩個(gè)圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，但是它們的位置關(guān)系一樣嗎？它們有什么不同？

學(xué)生6：第一個(gè)圖與第五個(gè)圖中兩個(gè)圓雖然都沒有公共點(diǎn)，但是它們的位置關(guān)系不一樣。第一個(gè)圖中小圓在大圓的內(nèi)部，第五個(gè)圖中小圓在大圓的外部。

學(xué)生7：第二個(gè)圖與第四個(gè)圖中兩個(gè)圓雖然都只有一個(gè)公共點(diǎn)，但是第二個(gè)圖中小圓在大圓的內(nèi)部，第四個(gè)圖中小圓在大圓的外部。

教師：由此看來圓與圓的位置關(guān)系應(yīng)分為五種，這五種位置關(guān)系依次叫作內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切與外離。除了根據(jù)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)判定兩圓的位置關(guān)系，還有沒有其他的方法可以判定兩圓的位置關(guān)系呢？

學(xué)生8：還可以用兩圓半徑與兩圓心之間的距離來判定。用[d]表示兩圓心之間的距離，用[R]、[r]分別表示兩圓半徑，當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，[d<R-r]；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，[d=R-r]；當(dāng)兩圓相交時(shí)，[R-r<d<R+r]；當(dāng)兩圓外切時(shí)，[d=R+r]；當(dāng)兩圓外離時(shí)，[d>R+r]。

在教學(xué)中，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)和觀察，歸納出圓與圓的位置關(guān)系及其蘊(yùn)含的規(guī)律，并形成了對圓與圓內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離五種概念的深度理解。

［案例3］“圖形變換”中的概念教學(xué)片段。

教師：下面請同學(xué)們欣賞幾幅美麗的圖片。（教師展示幾幅軸對稱圖形，包括北京天安門、蝴蝶、人體、五角星、剪紙等）請同學(xué)們認(rèn)真觀察這些圖片，說說它們有什么共同特征。

學(xué)生1：北京天安門、蝴蝶、人體、五角星、剪紙等，都關(guān)于中間的一條直線左右對稱。

教師：下面請同學(xué)們沿著你認(rèn)為的中間的直線折疊圖片，看看左右兩邊的圖案是否重合。

（學(xué)生紛紛動(dòng)起手來，把這些圖片沿對稱軸折疊，發(fā)現(xiàn)折疊后直線兩旁的部分能互相重合。）

教師：我們把這樣的圖形稱為軸對稱圖形。請同學(xué)們總結(jié)一下，一個(gè)什么樣的圖形叫作軸對稱圖形呢？

學(xué)生2：一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸。

活動(dòng)1：把自己的雙手放在同一高度，掌心相對，然后合掌，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生3：我發(fā)現(xiàn)兩只手能互相重合。

活動(dòng)2：在空白紙上滴一滴墨水，然后沿墨水外的一條直線折疊紙張，使墨水印在直線的另一側(cè)，打開紙后你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生4：打開紙后我發(fā)現(xiàn)折線兩側(cè)的墨跡一模一樣，能夠互相重合。

教師：當(dāng)兩個(gè)圖形沿一條直線折疊后能夠互相重合，這樣的兩個(gè)圖形，我們稱之為成軸對稱。這條直線就是對稱軸。那么成軸對稱與軸對稱圖形有何區(qū)別與聯(lián)系？

學(xué)生5：軸對稱圖形是指一個(gè)圖形，而成軸對稱是指兩個(gè)圖形，它們都有對稱軸，沿對稱軸折疊后都能重合。

學(xué)生6：如果把軸對稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)圖形，那么成軸對稱就變成了軸對稱圖形。

在上面軸對稱圖形與成軸對稱的概念建構(gòu)過程中，學(xué)生依靠對軸對稱圖形的觀察和動(dòng)手操作獲得了軸對稱的本質(zhì)特征，進(jìn)而形成了軸對稱的概念。

三、通過矛盾辨析，深度理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)中有許多的“規(guī)定”，它們包括基本的數(shù)學(xué)定義、特定的數(shù)學(xué)符號(hào)、特定的書寫模式等。在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，這樣的規(guī)定有很多。為什么要做出這樣的規(guī)定呢？作為數(shù)學(xué)教師，一方面自己要明白其所以然，另一方面還要讓學(xué)生在矛盾辨析中體會(huì)這些規(guī)定是正確的、合理的，感知這些規(guī)定背后的數(shù)學(xué)道理、內(nèi)含的數(shù)學(xué)智慧，從而深度理解數(shù)學(xué)概念。

［案例4］單項(xiàng)式的補(bǔ)充規(guī)定教學(xué)片段。

教師：通過前面的學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)知道表示數(shù)字或字母乘積的式子叫作單項(xiàng)式，并且規(guī)定：單獨(dú)的一個(gè)數(shù)字或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。那么，同學(xué)們知道為什么要做出這樣的規(guī)定嗎？

（大部分學(xué)生不知如何表達(dá)或者不能清楚地表達(dá)）

教師：“[1×50]”是不是單項(xiàng)式？為什么？

學(xué)生1：單項(xiàng)式指的是表示數(shù)字或字母乘積的式子?！癧1×50]”表示數(shù)字“1”和數(shù)字“50”的乘積，因此“[1×50]”是單項(xiàng)式。

教師：“50”是單項(xiàng)式嗎？

學(xué)生2： “50”不是數(shù)字或字母的乘積，因此，它不是單項(xiàng)式。

學(xué)生3：學(xué)生2說的既有對的成分又有不對的成分。從形式上看，雖然“50”不是數(shù)學(xué)或字母的乘積，但是“50”可以看作“[1×50]”的簡寫形式，而“[1×50]”是單項(xiàng)式，所以“50”也是單項(xiàng)式。

教師：看來同學(xué)們對于“50”是不是單項(xiàng)式產(chǎn)生了分歧。那么，如何才能解決這一分歧呢？這時(shí)，對單項(xiàng)式做出補(bǔ)充規(guī)定就顯得非常必要。當(dāng)我們規(guī)定“單獨(dú)的一個(gè)字母或數(shù)字也是單項(xiàng)式”時(shí)，這一矛盾就順理成章地解決了。

圍繞單項(xiàng)式的內(nèi)涵，教師巧妙捕捉學(xué)生的認(rèn)知困惑和思維沖突，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到單項(xiàng)式內(nèi)涵補(bǔ)充規(guī)定的必要性。在單項(xiàng)式概念教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生在矛盾中辨析，體驗(yàn)單項(xiàng)式概念的建構(gòu)過程，使學(xué)生觸摸到概念的本質(zhì)，加深對數(shù)學(xué)的概念認(rèn)識(shí)。

總之，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)體系的基石，促進(jìn)學(xué)生深度理解概念是概念教學(xué)的應(yīng)然要求，也是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必然追求。教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過類比歸納、實(shí)驗(yàn)觀察、矛盾辨析，深度理解概念，進(jìn)而使學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到整合與優(yōu)化，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（責(zé)任編輯? ? 羅 艷）