王靜妍 張勇

摘要：通過(guò)探討用戶(hù)需求和騎行時(shí)間不確定的有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)（docked bike-sharing system， DBSS）建立吞吐率的近似模型及算法。一個(gè)具有固定自行車(chē)數(shù)量的DBSS可視為封閉的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)站點(diǎn)都是有限的M/M/1隊(duì)列，由此建立了DBSS吞吐率的近似模型及其算法。該算法不僅能夠計(jì)算道路上期望的自行車(chē)數(shù)量、騎行時(shí)間、車(chē)站的期望庫(kù)存及停留時(shí)間，還能計(jì)算最優(yōu)自行車(chē)投放量，即吞吐率最大值對(duì)應(yīng)的最小的自行車(chē)投放量。同時(shí)，給出了給定用戶(hù)需求、路由矩陣和車(chē)樁分配下站點(diǎn)自行車(chē)集聚與空缺的判斷方法。將該近似算法在真實(shí)的DBSS中進(jìn)行了應(yīng)用。結(jié)果表明，隨著自行車(chē)投放量的增加，系統(tǒng)吞吐率呈階梯形遞增但存在上限；自行車(chē)投放量一旦超過(guò)最優(yōu)數(shù)量將產(chǎn)生閑置，并且自行車(chē)集聚與空缺站點(diǎn)分布也將固定。

關(guān)鍵詞：有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)；運(yùn)營(yíng)效率；封閉排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)；吞吐率；空滿(mǎn)樁站點(diǎn)；自行車(chē)投放量

中圖分類(lèi)號(hào)：U491?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A?? 文章編號(hào)：1002-4026（2023）06-0074-12

An approximate model and algorithm for throughput rate of

a docked bike-sharing system

WANG Jingyan， ZHANG Yong*

（School of Rail Transportation， Soochow University， Suzhou 215131， China）

Abstract∶In this paper， an approximate model and algorithm for the throughput rate are established by studying a docked bike-sharing system （DBSS） using stochastic user demands， routing matrix， and cycling times. A DBSS with a fixed number of bikes can be considered a closed queuing network with a buffered M/M/1 queue at each station， thus establishing an approximate model and algorithm for the throughput rate of DBSS. This algorithm can calculate the average number of bikes on roads and at stations. Moreover， it can estimate the average cycling time on roads and bike dwell time at stations and further determine the optimal number of bikes achieving the maximum throughput rate in the DBSS. Additionally， this paper proposes a method to determine whether a station is a bike surplus station or a bike deficient station under given user demands， routing matrix， cycling time matrix， and dock allocation. Finally， the approximate algorithm is verified in a real-world DBSS. The results show that the throughput rate of the DBSS increases in a step-wise manner with the increasing bike input under an superior limit. When the number of bike inputs exceeds the optimal quantity， there will be idle bikes， and the spatial distribution of bike surplus stations and bike deficient stations will remain unchanged.

Key words∶docked bike-sharing system; operational efficiency; closed queuing network;system throughput rate; bike surplus and deficient stations; bike input

有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)（docked bike-sharing system，DBSS）是基于固定站點(diǎn)提供借還自行車(chē)服務(wù)的服務(wù)系統(tǒng)［1］。近年來(lái)在全球得到了廣泛應(yīng)用，截至2022年12月，全球建設(shè)了1 900多個(gè)有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)，自行車(chē)運(yùn)營(yíng)數(shù)量超過(guò)897萬(wàn)輛［2］。公共自行車(chē)對(duì)于解決公共交通“最后一公里”難題，倡導(dǎo)綠色出行發(fā)揮了重要作用。而現(xiàn)實(shí)中自行車(chē)站點(diǎn)常常出現(xiàn)無(wú)車(chē)可借、無(wú)樁可還的情況。此時(shí)，如何計(jì)算自行車(chē)系統(tǒng)的服務(wù)能力以及在規(guī)劃DBSS時(shí)，如何判斷哪些站點(diǎn)將發(fā)生空滿(mǎn)樁現(xiàn)象，對(duì)這些問(wèn)題的研究對(duì)于科學(xué)開(kāi)展DBSS規(guī)劃與運(yùn)營(yíng)調(diào)度具有重要的意義。

目前對(duì)于DBSS的研究主要聚焦主題有：自行車(chē)道網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)［3］、自行車(chē)站選址設(shè)計(jì)［4］、車(chē)隊(duì)規(guī)模設(shè)計(jì)［5］、自行車(chē)搬遷［6-7］、自行車(chē)庫(kù)存水平管理［8-9］以及與公共交通的整合［10］。這些研究試圖通過(guò)優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)自行車(chē)共享系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)與運(yùn)營(yíng)。DBSS有兩個(gè)顯著的特性：（1）用戶(hù)到達(dá)站點(diǎn)的時(shí)間間隔是隨機(jī)的，自行車(chē)從租車(chē)點(diǎn)到還車(chē)點(diǎn)間的騎行時(shí)間因用戶(hù)騎行的異質(zhì)性也呈隨機(jī)性，故用戶(hù)還車(chē)間隔也是隨機(jī)的；（2）投入到自行車(chē)共享系統(tǒng)的自行車(chē)總數(shù)是固定的，且只能在站點(diǎn)停留或在站點(diǎn)間循環(huán)。因此，所有的自行車(chē)只有兩種狀態(tài)，在站點(diǎn)停留和在道路騎行。從自行車(chē)角度來(lái)看，這兩個(gè)特征決定了DBSS本質(zhì)上屬于封閉排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)。

為了提高DBSS的運(yùn)營(yíng)效率，目前的研究主要考慮不確定的有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)規(guī)劃。George等［11］基于封閉排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)研究了自行車(chē)可用性與車(chē)隊(duì)規(guī)模問(wèn)題，基于利潤(rùn)最大化給出了最優(yōu)車(chē)隊(duì)規(guī)模。Fricker等［5］提出了同質(zhì)自行車(chē)系統(tǒng)的隨機(jī)模型，研究了用戶(hù)到達(dá)不確定性對(duì)“空滿(mǎn)樁”現(xiàn)象的影響及最優(yōu)車(chē)隊(duì)規(guī)模問(wèn)題。這些研究盡管考慮了需求的不確定性，但忽略了站點(diǎn)停車(chē)樁容量限制，從而無(wú)法準(zhǔn)確分析有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)服務(wù)能力和水平。為此，部分研究引入了停車(chē)樁容量限制，考慮借還車(chē)失敗次數(shù)［12-13］、站點(diǎn)空滿(mǎn)樁持續(xù)時(shí)間［14-15］等約束，尋求用戶(hù)需求最大化目標(biāo)下的最優(yōu)站點(diǎn)選址與容量分配方案。但大部分研究未能考慮站點(diǎn)容量限制，無(wú)法揭示自行車(chē)系統(tǒng)的服務(wù)水平與自行車(chē)、停車(chē)樁分配之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，也就無(wú)法探索“無(wú)車(chē)可借，無(wú)樁可還”的發(fā)生問(wèn)題。即使有些研究考慮了站點(diǎn)容量限制，但是還沒(méi)有公開(kāi)的解決方案和方法來(lái)量化DBSS的吞吐率，與現(xiàn)實(shí)仍存在一定的差距。

本文對(duì)DBSS的服務(wù)能力進(jìn)行了定義，構(gòu)建了近似的DBSS模型，開(kāi)發(fā)出一種用于計(jì)算系統(tǒng)的服務(wù)績(jī)效近似算法；同時(shí)，探索了自行車(chē)系統(tǒng)的運(yùn)營(yíng)性質(zhì)，包括系統(tǒng)吞吐率與自行車(chē)投放量的關(guān)系，以及站點(diǎn)出現(xiàn)自行車(chē)集聚與空缺的判斷條件；最后通過(guò)一個(gè)實(shí)際案例驗(yàn)證提出的近似算法和結(jié)論，展示其在DBSS中的初步應(yīng)用。

1 模型構(gòu)建

1.1 問(wèn)題描述及假設(shè)

考慮一個(gè)有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)，衡量其服務(wù)效率最直接指標(biāo)為單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)的有效用戶(hù)人數(shù)，即封閉排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)中的吞吐率［16］，因此本文將在封閉排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)理論框架下求解有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)的吞吐率，即用戶(hù)借車(chē)成功離開(kāi)站點(diǎn)、真正得到站點(diǎn)提供服務(wù)的速率。根據(jù)上述自行車(chē)借還過(guò)程，為便于建模特作如下假設(shè)：

A1 有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)由m個(gè)站點(diǎn)和n輛自行車(chē)組成，每個(gè)站點(diǎn)有Bi（i =1，2，…，m）個(gè)停車(chē)樁，并且任意一對(duì)自行車(chē)站點(diǎn)之間至少可以雙向路徑連通；

A2 假設(shè)用戶(hù)到達(dá)站點(diǎn)i的時(shí)間間隔服從參數(shù)λi（i=1，2，…，m）的負(fù)指數(shù)分布，各站點(diǎn)用戶(hù)相互獨(dú)立，用戶(hù)在站點(diǎn)i以先到先服務(wù)規(guī)則借還車(chē)；

A3 用戶(hù)從站點(diǎn)i騎自行車(chē)到站點(diǎn)j （i， j=1，2，…，m）的選擇概率為pij≥0，且∑mj=1pij=1，本文稱(chēng)P=pij為路由矩陣；

A4 用戶(hù)在站點(diǎn)i、 j間騎行的旅行時(shí)間服從參數(shù)為τij的獨(dú)立負(fù)指數(shù)分布；

A5 對(duì)于用戶(hù)借還車(chē)活動(dòng)，若站點(diǎn)沒(méi)有可用的自行車(chē)時(shí)，用戶(hù)會(huì)離開(kāi)系統(tǒng)；對(duì)于用戶(hù)還車(chē)活動(dòng)，若目的地站點(diǎn)滿(mǎn)樁時(shí)，用戶(hù)會(huì)騎行至該站點(diǎn)最近站點(diǎn)還車(chē)，直至成功為止。

1.2 封閉排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)分析

對(duì)于有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)構(gòu)成的封閉排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)，用戶(hù)在站點(diǎn)i完成借車(chē)后以概率pijj=1，…，m騎行至站點(diǎn)j，該概率滿(mǎn)足∑mj=1pij=1 （i=1，…，m），即路由矩陣P是一個(gè)馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣，假定該矩陣不可約，以π=π1，π2，…，πm記這個(gè)馬爾科夫鏈的平穩(wěn)概率，即π是

πj=∑mi=1πipij，? ∑mj=1πj=1（1）

的唯一正解。

如果記站點(diǎn)j的自行車(chē)平均到達(dá)率或平均離開(kāi)率為aj（n），其中j=1，2，…，m，那么滿(mǎn)足

aj（n）=∑mi=1ai（n）pij。（2）

由平穩(wěn)概率方程可以得到

aj（n）=a（n）πj，其中a（n）=∑mj=1aj（n）。（3）

從該方程可以看到，a（n）是整個(gè)系統(tǒng)的自行車(chē)平均離開(kāi)速率，其包括了系統(tǒng)的有效吞吐速率和還車(chē)失敗速率兩部分。

引理1 如果X1，…，Xq是服從均值為λi的獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量（q=1， 2， …， m），那么Y：=∑qi=1Xi服從均值為∑qi=1λi的泊松分布。

證明 采用數(shù)學(xué)歸納法證明。設(shè)X1～Possionλ1，X2～Possionλ2，X1和X2相互獨(dú)立，那么對(duì)于任意y∈N，

pX1+X2y=∑xpX1kpX2y－k=∑yk=0λk1e－λ1k！·λy－k2e－λ2y－k！

=e－λ1+λ2·λy2·∑yk=0λ1λ2kk！y－k！ =e－λ1+λ2y！λ1+λ2y。（4）

因此，X1+X2～Possionλ1+λ2?，F(xiàn)在，假設(shè)X1，…，Xq-1是服從均值為λi（ i =1，2，…，q-1）的獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量，那么X′：=∑q－1i=1Xi服從均值為∑q－1i=1λi的泊松分布。若Xq是獨(dú)立于X′且服從均值為λq的泊松隨機(jī)變量，則由公式（4）可得，

pX′+Xqy=e－∑q－1i=1λi+λqy！∑q－1i=1λi+λqy，

p∑qi=1Xiy=e－∑qi=1λiy！∑qi=1λiy。

因此，∑qi=1Xi～Possion∑qi=1λi，證明完畢。

命題1 在有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)中，如果用戶(hù)到達(dá)站點(diǎn)i服從速率為λi的獨(dú)立的泊松分布，那么到達(dá)站點(diǎn)i的自行車(chē)數(shù)量也是獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量。

證明 根據(jù)自行車(chē)借還過(guò)程可知，到站的自行車(chē)分為兩種類(lèi)型：第一種是用戶(hù)自愿歸還至目的地站點(diǎn)的自行車(chē)；第二種是用戶(hù)因目的地站點(diǎn)滿(mǎn)樁而被迫歸還至該站點(diǎn)的自行車(chē)。為了證明自行車(chē)到達(dá)站點(diǎn)的過(guò)程服從泊松分布，需通過(guò)引理1證明自愿用戶(hù)和被迫用戶(hù)的到達(dá)過(guò)程都服從獨(dú)立的泊松分布。

如果用戶(hù)成功將自行車(chē)歸還到意愿目的地站點(diǎn)，則稱(chēng)這類(lèi)用戶(hù)為自愿用戶(hù)。本文首先證明自愿用戶(hù)到達(dá)站點(diǎn)服從獨(dú)立的泊松分布。假設(shè)用戶(hù)按速率為λi （i=1，2，…，m） 的泊松過(guò)程到達(dá)站點(diǎn)i，忽略用戶(hù)從借到車(chē)至離開(kāi)站點(diǎn)所花費(fèi)的時(shí)間。一個(gè)在時(shí)刻ss≤t到達(dá)站點(diǎn)i的用戶(hù)，以概率Prent， 1is借車(chē)成功，以概率Prent， 2is借不到車(chē)（其中∑2j=1Prent，? jis=1）。利用文獻(xiàn)［16］中命題5.3可知，直到時(shí)刻t為止，在站點(diǎn)i成功借車(chē)用戶(hù)數(shù)Nrent， 1it是具有均值ENrent， 1it=λi∫t0Prent， 1isds的獨(dú)立泊松隨機(jī)變量。同樣，將在站點(diǎn)i （i=1，2，…，m）成功借車(chē)的用戶(hù)分為m 類(lèi)，每類(lèi)用戶(hù)是從站點(diǎn)i自愿還車(chē)至每個(gè)站點(diǎn)的用戶(hù)。由于借車(chē)成功的用戶(hù)從每個(gè)站點(diǎn)出發(fā)是泊松過(guò)程，因此從站點(diǎn)i（i=1，2，…，m）至還車(chē)站點(diǎn)j（j=1，2，…，m）的自愿用戶(hù)的到達(dá)過(guò)程也是獨(dú)立泊松過(guò)程。由引理1可知，任意站點(diǎn)的自愿用戶(hù)的到達(dá)過(guò)程也是一個(gè)獨(dú)立的泊松過(guò)程。

同理可得，任意站點(diǎn)的被迫用戶(hù)的到達(dá)過(guò)程也是一個(gè)獨(dú)立的泊松過(guò)程。綜上，任意站點(diǎn)的自行車(chē)到達(dá)數(shù)為自愿用戶(hù)數(shù)和被迫用戶(hù)數(shù)的總和。利用引理1可得，任意站點(diǎn)的自行車(chē)到達(dá)服從泊松分布。

值得注意的是，由命題1可知自行車(chē)到達(dá)站點(diǎn)過(guò)程服從泊松分布，那么自行車(chē)到達(dá)站點(diǎn)的時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布。因此有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)在時(shí)間長(zhǎng)度上是一個(gè)無(wú)記憶的系統(tǒng)。

基于經(jīng)典的平均值分析法［17］，可通過(guò)兩個(gè)主要定理（到達(dá)定理和Little定律）推導(dǎo)有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)的吞吐率的近似算法。根據(jù)到達(dá)定理［16］可知，在有n輛自行車(chē)的封閉網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，騎自行車(chē)到達(dá)站點(diǎn)i的到達(dá)者所看到的系統(tǒng)的分布與只有n-1輛自行車(chē)的同樣的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的平穩(wěn)分布相同。因此，令ENi（n）為網(wǎng)絡(luò)中有n輛自行車(chē)時(shí)停在站點(diǎn)i的平均自行車(chē)數(shù)量；ETi（n）為網(wǎng)絡(luò)中有n輛自行車(chē)時(shí)在站點(diǎn)i的自行車(chē)平均停留時(shí)間。對(duì)一輛到達(dá)自行車(chē)看到在站點(diǎn)i的自行車(chē)數(shù)量Ci取期望值，推出

ETi（n）=1+E［Ci］λi=1+ENi（n－1）λi。（5）

系統(tǒng)中的自行車(chē)包括在站點(diǎn)停放和正在被使用兩類(lèi)自行車(chē)，故n=∑mi=1ENi（n）+∑mi=1∑mj=1ENij（n）。而在站點(diǎn)i的自行車(chē)停留的時(shí)間為ETi（n），其他站點(diǎn)騎行至站點(diǎn)i的平均旅行時(shí)間為∑mj=1pjiτji。因此，系統(tǒng)的自行車(chē)平均到達(dá)率為

an=n/∑mi=1πiETi（n）+∑mi=1∑mj=1πipijτij。（6）

因此站點(diǎn)的有效吞吐速率為

Hi（n）=min a（n）πi，λi，

其中

Hn=∑mi=1Hi（n）。（7）

利用Little公式可以得到站點(diǎn)i的平均自行車(chē)數(shù)量為

ENi（n）=min Hi（n）ETi（n），Bi。（8）

根據(jù)命題1可知，對(duì)于擁有Bi個(gè)停車(chē)樁站點(diǎn)，自行車(chē)的借還過(guò)程可以看作是用戶(hù)與自行車(chē)的雙排隊(duì)系統(tǒng)。若站點(diǎn)無(wú)自行車(chē)，則用戶(hù)到達(dá)站點(diǎn)后即刻離開(kāi)系統(tǒng)，故站點(diǎn)空樁就不存在顧客排隊(duì)。因此，任意站點(diǎn)i可以看作是M/M/1/Bi排隊(duì)系統(tǒng)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖1所示。

在該排隊(duì)系統(tǒng)中，將用戶(hù)視為服務(wù)員，到達(dá)的自行車(chē)視為作業(yè)，則站點(diǎn)i處可停放的自行車(chē)上限為Bi個(gè)，因此有

λn=ai，????? n=0，1，…，Bi-1 0，??????? n=Bi，? Bi+1，… ，

μn=λi，???? n=0，1，…。

根據(jù)流入和流出每個(gè)狀態(tài)的期望速率必須相等的條件，可以得到狀態(tài)k的平衡方程：

aiPxi=k－1+λiPxi=k+1=ai+λiPxi=k，??? k=1，2，…，Bi－1。

結(jié)合∑Bik=0Pxi=k=1，即可得到站點(diǎn)i無(wú)車(chē)和滿(mǎn)樁的概率分別為

Pxi=0=1－ρi1－ρiBi+1，?????? ρi≠1 1Bi+1，??????????? ρi=1 ?，（9）

Pxi=Bi=1－ρiρiBi1－ρiBi+1，??? ρi≠1 1Bi+1，??????????? ρi=1 。（10）

因此，當(dāng)系統(tǒng)的總自行車(chē)投放量超過(guò)站點(diǎn)的最小容量時(shí)，站點(diǎn)開(kāi)始存在用戶(hù)還車(chē)失敗的情形。根據(jù)假設(shè)A5可知用戶(hù)需要去目的地站點(diǎn)的最近站點(diǎn)繼續(xù)還車(chē)，自行車(chē)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際轉(zhuǎn)移概率發(fā)生變化，即站點(diǎn)j的車(chē)輛平均到達(dá)率由任意站點(diǎn)的意愿轉(zhuǎn)移速率和被迫轉(zhuǎn)移速率組成。故利用公式（9）～（10）可得由站點(diǎn)i向站點(diǎn)j的實(shí)際自行車(chē)轉(zhuǎn)移概率為

pij=λi1－Pxi=0pij+aiPxi=Biηij∑mj=1λi1－Pxi=0pij+aiPxi=Biηij=λiρi－ρiBi+1pij+ai1－ρiρiBiηij∑mj=1λiρi－ρiBi+1pij+ai1－ρiρiBiηij， （11）

其中，若站點(diǎn)j 是站點(diǎn)i的最近站點(diǎn)，則ηij=1；否則ηij=0。

1.3 吞吐率的近似算法

利用公式（5）～（11）可以建立計(jì)算自行車(chē)網(wǎng)絡(luò)中站點(diǎn)的平均自行車(chē)數(shù)量、平均等待時(shí)間和吞吐率的近似算法，步驟如下：

步驟1 計(jì)算初始的馬爾科夫鏈平穩(wěn)概率，πj=∑mi=1πipij，∑mj=1πj=1;

步驟2 Let ENi（0）=0，i=0，…，m and a（0）=0；

步驟3 For k=1，…，n do

ETi（k）=ENi（k－1）+1/λi;

If k≤min （Bi）then

ak=k/∑mi=1πiETi（k）+∑mi=1∑mj=1πipijτij;

ai（k）=a（k）πi;

Else

pij=λiai（k－1）λi－ai（k－1）λiBi+1pij+ai（k－1）1－ai（k－1）λiai（k－1）λiBiηij∑mj=1λiai（k－1）λi－ai（k－1）λiBi+1pij+ai（k－1）1－ai（k－1）λiai（k－1）λiBiηij;

πj=∑mi=1πipij，??? ∑mi=1πj=1;

ak=k/∑mi=1πiETi（k）+∑mi=1∑mj=1πipijτij;

ai（k）=a（k）πi;

End

Hi（k）=min ai（k），λi;

Hk=∑mi=1Hik;

ENik=min Hi（k）ETi（k），Bi;

End

1.4 系統(tǒng)的運(yùn)營(yíng)性質(zhì)

本小節(jié)通過(guò)考察系統(tǒng)吞吐率與投放自行車(chē)數(shù)量、停車(chē)樁數(shù)之間的相互關(guān)系，揭示站點(diǎn)產(chǎn)生“無(wú)車(chē)可借，無(wú)樁可還”的發(fā)生機(jī)制，并給出最優(yōu)自行車(chē)數(shù)量的定義，為運(yùn)營(yíng)商提升有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)的服務(wù)效率，促進(jìn)交通綠色可持續(xù)發(fā)展提供決策依據(jù)。

1.4.1 吞吐率

命題2 在一個(gè)有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)中，如果自行車(chē)到達(dá)站點(diǎn)的時(shí)間越早，那么用戶(hù)騎自行車(chē)離開(kāi)該站點(diǎn)的時(shí)間也越早。

證明 令A(yù)ik為第k 輛自行車(chē)到達(dá)站點(diǎn)i的時(shí)間，Dik為到達(dá)站點(diǎn)i的第k輛自行車(chē)的離開(kāi)時(shí)間，Wik為到達(dá)站點(diǎn)i的第k輛自行車(chē)的停留時(shí)間。命題2意味著，對(duì)于站點(diǎn)i，若An+1ik≤Anik，k=1，2，…，K，則Dn+1ik≤Dnik，k=1，2，…，K。命題2采用歸納法進(jìn)行證明。對(duì)于K=1， Dn+1i1=An+1i1+Wi1≤Ani1+Wi1=Dni1。假設(shè)引理針對(duì)K=l成立，即Dn+1il≤Dnil。那么對(duì)于K=l + 1， Dn+1i（l+1）=max Dn+1il，An+1i（l+1）+Wi（l+1）≤max Dnil，Ani（l+1）+Wi（l+1）=Dni（l+1），證明完畢。

性質(zhì)1 在給定停車(chē)樁的情況下，有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)吞吐率隨自行車(chē)數(shù)量的增加呈非遞減性，即對(duì)于所有的t≥0，有H（n+1）≥H（n）。

證明 采用歸納法，在有n輛公共自行車(chē)和m個(gè)站點(diǎn)的系統(tǒng)中，令τn1<τn2<…為至少一輛自行車(chē)完成服務(wù)的瞬時(shí)時(shí)間，因此將tn定義為在有n輛自行車(chē)和n + 1輛自行車(chē)系統(tǒng)中至少有一輛自行車(chē)完成服務(wù)的時(shí)間序列，其中t0：=0;ts：=min minτniτni>ts－1，minτn+1iτn+1i>ts－1，s≥1。為了證明DBSS吞吐率隨系統(tǒng)自行車(chē)數(shù)量的增加呈非遞減性，即對(duì)于t≥0有H（n+1）≥H（n），由于H（n）=limt→∞∑mi=1Dni（t）/t，意味著要證明Dn+1i（t）≥Dni（t），i=1，2，…，m。

當(dāng)tk= t0 = 0時(shí)，Dn+1i（0）=Dni（0）=0，因此Dn+1i（t）≥Dni（t）成立。假設(shè)Dn+1i（t）≥Dni（t）對(duì)于t0， t1，…，tq成立。令Slj（t）為站點(diǎn)l中第j個(gè)離開(kāi)的自行車(chē)在服務(wù)完成后將去往的站點(diǎn)。若i=j，則s（i， j）=1；否則為0。Tijk為從站點(diǎn)i到站點(diǎn)j的第k輛自行車(chē)的行程時(shí)間，Xi（0） 為站點(diǎn)i的初始自行車(chē)數(shù)量。利用命題2，對(duì)于k=1，2，…，q； b = 1， 2，…， m有

An+1i（tk）=∑ml=1∑Dn+1l（tk－Tlij）j=1σ（Slj（tk－Tlij），i）+Xi（0）+1·σ（b，i）

≥∑ml=1∑Dnl（tk－Tlij）j=1σ（Slj（tk－Tlij），i）+Xi（0）=Ani（tk）。

因?yàn)锳n+1i（tk）和Ani（tk）在［tk－1，tk）是恒定的，因此對(duì)于t≤tq，An+1i（t）≥Ani（t）。所以得到An+1ij≤Anij，j=1，…，Ani（tq）。根據(jù)命題2可知Dn+1ij≤Dnij，j=1，…，Ani（tq）。由于Wij>0，Anij≤tq，對(duì)于所有的j有Dnij≤tq+1，那么也遵循Dn+1ij≥Dnij，對(duì)于所有的站點(diǎn)j 有Dnij≤tq+1。因此Dn+1i（t）≥Dni（t）對(duì)于tq+1也成立，證明完畢。

性質(zhì)1表明有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)的有效吞吐率隨著自行車(chē)數(shù)量的遞增呈非遞減性。然而，本文將在第2.2節(jié)中看到，有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)的有效吞吐率隨著自行車(chē)數(shù)量的增加而增加，但存在一個(gè)上限。因此，可能存在一個(gè)自行車(chē)臨界值阻止吞吐率的增加。通過(guò)以下的定義，可以得出在DBSS中最優(yōu)的自行車(chē)數(shù)量以及如何尋找該最優(yōu)值。

定義1 最優(yōu)自行車(chē)數(shù)量：對(duì)于一個(gè)有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)，若滿(mǎn)足以下條件，則可以確定系統(tǒng)的最優(yōu)自行車(chē)數(shù)量

nOPT=max kHk－Hk－1>0? 且? Hk+1－Hk=0且k∈argmax H（l），l∈Z+，k∈Z+。

值得注意的是，在本文設(shè)計(jì)的近似算法中，迭代計(jì)算了H（k）和H（k-1），因此系統(tǒng)的最優(yōu)自行車(chē)數(shù)量很容易確定。

1.4.2 空滿(mǎn)樁的判斷

在有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)中，站點(diǎn)所有的車(chē)樁如果長(zhǎng)時(shí)間出現(xiàn)空樁，用戶(hù)將無(wú)法借車(chē)；如果長(zhǎng)時(shí)間出現(xiàn)滿(mǎn)樁，用戶(hù)將無(wú)法還車(chē)。如果自行車(chē)共享系統(tǒng)多個(gè)站點(diǎn)長(zhǎng)時(shí)間空滿(mǎn)樁將顯著惡化用戶(hù)體驗(yàn)，可能迫使公共自行車(chē)用戶(hù)轉(zhuǎn)移到其他交通方式。因此，有必要診斷有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)站點(diǎn)是否會(huì)發(fā)生空滿(mǎn)樁。

定義2 對(duì)于一個(gè)帶有Bi個(gè)停車(chē)樁的站點(diǎn)i，若滿(mǎn)足

（1） 站點(diǎn)i的平均自行車(chē)數(shù)量低于φ1Bi的概率大于ω1，即Pxi<φ1Bi」>ω1，則稱(chēng)該站點(diǎn)為自行車(chē)空缺的；

（2） 站點(diǎn)i的平均自行車(chē)數(shù)量高于φ2Bi的概率大于ω2，即Pxi>φ2Bi」>ω2，則稱(chēng)該站點(diǎn)為自行車(chē)集聚的。

其中φ1和φ2為比例參數(shù)，且0<φ1，φ2，ω1，ω2<1；符號(hào)“·」”表示向下取整數(shù)。

命題3 自行車(chē)集聚與空缺的判斷條件：對(duì)于任意站點(diǎn)i，當(dāng)自行車(chē)到達(dá)率ai和用戶(hù)到達(dá)率λi滿(mǎn)足下列條件（1）～ （3）中的任意一條，可判斷該站點(diǎn)的自行車(chē)庫(kù)存情況：

（1） 若滿(mǎn)足下面的條件，則站點(diǎn)i會(huì)產(chǎn)生自行車(chē)集聚情況

aφ2Bi」+1i·λBi－φ2Bi」i－aBi+1iλBi+1i－aBi+1i>ω2，當(dāng)aiλi≠1時(shí)Bi－φ2Bi」Bi+1>ω2，???????????????????? 當(dāng)aiλi=1時(shí)；（12）

（2） 若滿(mǎn)足下面的條件，則站點(diǎn)i會(huì)產(chǎn)生自行車(chē)空缺情況

λBi+1i－aφ1Bi」i·λBi－φ1Bi」+1iλBi+1i－aBi+1i>ω1，當(dāng)aiλi≠1時(shí)φ1Bi」Bi+1>ω1，??????????????????????????? 當(dāng)aiλi=1時(shí)；（13）

（3） 若滿(mǎn)足下面的條件，則站點(diǎn)i自行車(chē)既不集聚也不空缺

λBi+1i－aφ1Bi」i·λBi－φ1Bi」+1iλBi+1i－aBi+1i≤ω1且aφ2Bi」+1i·λBi－φ2Bi」i－aBi+1iλBi+1i－aBi+1i≤ω2， 當(dāng)aiλi≠1時(shí)φ1Bi」Bi+1≤ω1且Bi－φ2Bi」Bi+1≤ω2，??????????????????????????????????????????????? 當(dāng)aiλi=1時(shí)。（14）

證明 在平穩(wěn)狀態(tài)下，若站點(diǎn)i自行車(chē)產(chǎn)生集聚，需要滿(mǎn)足

Pxi>φ2Bi」>ω2。（15）

當(dāng)ρi≠1（其中ρi=ai/λi）時(shí)，則不等式（15）可化簡(jiǎn)為Pxi>φ2Bi」=ρφ2Bi」+1i－ρBi+1i/1－ρBi+1i>ω2，即滿(mǎn)足條件ρφ2Bi」+1i－ρBi+1i/1－ρBi+1i>ω，

則站點(diǎn)i自行車(chē)會(huì)產(chǎn)生集聚。當(dāng)ρi=1時(shí)，則不等式（15）可化簡(jiǎn)為Pxi>φ2Bi」=Bi－φ2Bi」/Bi+1>ω2，即滿(mǎn)足條件Bi－φ2Bi」/Bi+1>ω2，則站點(diǎn)i自行車(chē)會(huì)產(chǎn)生集聚。站點(diǎn)自行車(chē)產(chǎn)生空缺或既不集聚也不空缺的證明與上述過(guò)程類(lèi)似，不再贅述。

推論1 若定義自行車(chē)空缺站點(diǎn)為平均自行車(chē)數(shù)量為0的概率大于ω，即Pxi=0>ω；自行車(chē)集聚站點(diǎn)為平均自行車(chē)數(shù)量為Bi的概率大于ω，即Pxi=Bi>ω。那么對(duì)于任意站點(diǎn)i，當(dāng)自行車(chē)到達(dá)率ai和用戶(hù)到達(dá)率λi滿(mǎn)足下列條件（1）～ （3）中的任意一條，可判斷該站點(diǎn)的自行車(chē)庫(kù)存情況：

（1） 若滿(mǎn)足下面的條件，則站點(diǎn)i會(huì)產(chǎn)生自行車(chē)集聚情況

aBii∑Bik=0λBi－kiaki>ω，當(dāng)aiλi≠1時(shí)1Bi+1>ω，???????????? 當(dāng)aiλi=1時(shí)；（16）

（2） 若滿(mǎn)足下面的條件，則站點(diǎn)i會(huì)產(chǎn)生自行車(chē)空缺情況

λBii∑Bik=0λBi－kiaki>ω，當(dāng)aiλi≠1時(shí)1Bi+1>ω，???????????? 當(dāng)aiλi=1時(shí)；（17）

（3） 若滿(mǎn)足下面的條件，則站點(diǎn)i自行車(chē)既不集聚也不空缺

λBii∑Bik=0λBi－kiaki≤ω且aBii∑Bik=0λBi－kiaki≤ω，當(dāng)aiλi≠1時(shí)1Bi+1≤ω，????????????????????????????????????????????? 當(dāng)aiλi=1時(shí)。（18）

證明過(guò)程與命題3類(lèi)似，在此不再贅述。

值得注意的是，為了避免空滿(mǎn)樁現(xiàn)象，有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)均須開(kāi)展自行車(chē)的再分布調(diào)度，以平衡各個(gè)站點(diǎn)的自行車(chē)數(shù)量。命題3及其推論1能夠揭示有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)中哪些站點(diǎn)發(fā)生自行車(chē)空缺和集聚。這將為自行車(chē)共享系統(tǒng)的站點(diǎn)選址、自行車(chē)規(guī)劃提供決策支持，也能為公共自行車(chē)再分布調(diào)度中的取送起訖點(diǎn)及路徑規(guī)劃、空滿(mǎn)樁站點(diǎn)自行車(chē)取送數(shù)量等提供關(guān)鍵支撐。

2 案例應(yīng)用

2.1 案例介紹

本研究以蘇州獨(dú)墅湖科教創(chuàng)新區(qū)的自行車(chē)共享系統(tǒng)作為例，驗(yàn)證本文模型。該系統(tǒng)共有37個(gè)自行車(chē)站點(diǎn)，停車(chē)樁總數(shù)為1 260個(gè)，平均自行車(chē)總數(shù)為442個(gè)，站點(diǎn)和停車(chē)樁的具體分布如圖2所示。系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)商提供了該區(qū)域內(nèi)2019年10月12日24 h的2 078次自行車(chē)出行數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)記錄了高峰時(shí)期用戶(hù)借還自行車(chē)的時(shí)間及站點(diǎn)、車(chē)樁及用戶(hù)ID號(hào)。利用該數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到自行車(chē)共享系統(tǒng)平均有效吞吐率為86.58人次/h。由于站點(diǎn)空樁情況下會(huì)出現(xiàn)用戶(hù)流失，故利用該數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)各站點(diǎn)的空樁時(shí)段，將非空樁期間的用戶(hù)到達(dá)各站點(diǎn)次數(shù)按照時(shí)間比例填補(bǔ)到空樁時(shí)段，將其作為各個(gè)站點(diǎn)實(shí)際用戶(hù)到達(dá)率。利用原始數(shù)據(jù)還統(tǒng)計(jì)了行程時(shí)間矩陣、路由矩陣和各站點(diǎn)的最近站點(diǎn)（最近站點(diǎn)見(jiàn)表1所示）。由于篇幅原因，本文不再列出行程時(shí)間矩陣和路由矩陣。

2.2 結(jié)果分析

2.2.1 系統(tǒng)吞吐率

根據(jù)近似模型計(jì)算得到的系統(tǒng)有效吞吐率為88.36人次/h，與真實(shí)吞吐率相對(duì)誤差為2.04%。圖3給出了站點(diǎn)的平均用戶(hù)到達(dá)率和有效吞吐率。可以看到，只有4個(gè)站點(diǎn)（4號(hào)、5號(hào)、7號(hào)、34號(hào)）的用戶(hù)需求完全得到了滿(mǎn)足，即站點(diǎn)的有效吞吐率與用戶(hù)平均到達(dá)率相等。其余站點(diǎn)的供給與用戶(hù)需求不匹配，其中，1號(hào)、9號(hào)、22號(hào)、26號(hào)、27號(hào)、37號(hào)站點(diǎn)供不應(yīng)求的情況極為顯著，平均每小時(shí)有5名以上用戶(hù)不能借到自行車(chē)。這說(shuō)明目前研究區(qū)域內(nèi)有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)的自行車(chē)分布極不平衡，系統(tǒng)內(nèi)自行車(chē)自循環(huán)結(jié)果在很大程度上無(wú)法滿(mǎn)足用戶(hù)的需求。

圖4給出了系統(tǒng)有效吞吐速率與自行車(chē)投放量之間的關(guān)系。由圖可知，隨著自行車(chē)投放量的增加，系統(tǒng)有效吞吐率呈現(xiàn)階梯式的遞增趨勢(shì)，當(dāng)自行車(chē)投放量大于225輛后，系統(tǒng)有效吞吐率保持不變，驗(yàn)證了性質(zhì)1。根據(jù)定義1可知，該有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)的最優(yōu)自行車(chē)投放量為225輛，此時(shí)系統(tǒng)有效吞吐率達(dá)到最大值88.4人次/h。但是該系統(tǒng)實(shí)際的自行車(chē)投放量為442輛，故系統(tǒng)自行車(chē)數(shù)量明顯過(guò)剩。

2.2.2 空滿(mǎn)樁t分析

一般來(lái)說(shuō)，如果自行車(chē)共享系統(tǒng)具有較好的服務(wù)水平，當(dāng)站點(diǎn)處于還車(chē)高峰時(shí)，站點(diǎn)仍需保留20%的空樁；反之，當(dāng)站點(diǎn)處于借車(chē)高峰時(shí)，站點(diǎn)也需要配備20%的車(chē)樁應(yīng)有的自行車(chē)數(shù)［18］。因此，結(jié)合空滿(mǎn)樁的定義，本文將定義2的比例參數(shù)設(shè)置為φ1=0.2，φ2=0.8，概率參數(shù)ω1=ω2=0.8。

圖5給出了站點(diǎn)自行車(chē)庫(kù)存的平均值以及平衡自行車(chē)數(shù)的區(qū)間?？梢钥闯?，絕大多數(shù)站點(diǎn)自行車(chē)庫(kù)存極為緊缺，少量站點(diǎn)庫(kù)存爆滿(mǎn)，還有極少數(shù)的站點(diǎn)的平均庫(kù)存處于平衡區(qū)間內(nèi)。圖6為自行車(chē)投放量442輛下各站點(diǎn)自行車(chē)平均停留時(shí)間?？梢钥闯?，自行車(chē)在站點(diǎn)4、5、7、34的平均停留時(shí)間超過(guò)10 h，在其他站點(diǎn)的停留時(shí)間在0.1～2.0 h范圍內(nèi)。上述進(jìn)一步驗(yàn)證了自行車(chē)在站點(diǎn)4、5、7、34的嚴(yán)重集聚狀態(tài)以及其他站點(diǎn)自行車(chē)庫(kù)存普遍緊缺情況。

自行車(chē)投放量的增加會(huì)改變自行車(chē)集聚與空缺站點(diǎn)的空間分布。利用命題3計(jì)算得到圖4中a、b、c、d、e、f等6個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的自行車(chē)投放量下，站點(diǎn)的集聚和空缺概率，具體的空間分布如圖7所示。可以看出，隨著自行車(chē)投放量的增加，站點(diǎn)4、5、7、34從空缺站點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)化為集聚站點(diǎn)，站點(diǎn)29、36、39從空缺站點(diǎn)轉(zhuǎn)化為自行車(chē)既不集聚也不空缺站點(diǎn)，其他站點(diǎn)始終處于自行車(chē)空缺狀態(tài)。隨著自行車(chē)投放量的增長(zhǎng)超過(guò)225輛，自行車(chē)集聚與空缺站點(diǎn)分布基本不再變化，投入的大量的自行車(chē)將迫使大量用戶(hù)在最近站點(diǎn)間騎行，試圖尋找最近站點(diǎn)還車(chē)。

3 總結(jié)

本文基于封閉排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造了有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)吞吐率近似算法，考察了系統(tǒng)的運(yùn)營(yíng)性質(zhì)。理論上證明了有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)吞吐率隨自行車(chē)投放量的增加呈非遞減性，給出了站點(diǎn)產(chǎn)生自行車(chē)集聚與空缺的判斷依據(jù)。以蘇州市為例進(jìn)行了上述算法的應(yīng)用與結(jié)論的驗(yàn)證，給出了該有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)的服務(wù)績(jī)效。研究表明，隨著自行車(chē)投放量增長(zhǎng)，吞吐率呈階梯式遞增且達(dá)到最大值后保持不變；自行車(chē)投放量一旦超過(guò)最優(yōu)數(shù)量將產(chǎn)生閑置，并且自行車(chē)集聚與空缺站點(diǎn)分布也將固定。

依托本文建立的近似模型，可進(jìn)一步從多個(gè)方面進(jìn)行拓展，例如：本研究考慮的用戶(hù)到達(dá)自行車(chē)站點(diǎn)借車(chē)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，未來(lái)可以考慮用戶(hù)到達(dá)存在早晚高峰的非平穩(wěn)過(guò)程；本研究中自行車(chē)最優(yōu)投放量并未考慮車(chē)站選址、車(chē)站間距、用戶(hù)騎行距離等因素，未來(lái)應(yīng)考慮這些因素對(duì)有樁自行車(chē)共享系統(tǒng)的最優(yōu)規(guī)劃設(shè)計(jì)問(wèn)題。

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