黃建松

追問是在教師提問的基礎(chǔ)上對(duì)學(xué)生的答案進(jìn)行進(jìn)一步的提問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，探究問題的本質(zhì).問題是教學(xué)過程中師生互動(dòng)的載體，而追問則是有效提升學(xué)生思維能力的手段.數(shù)學(xué)課堂以核心素養(yǎng)為培養(yǎng)目標(biāo)，旨在促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)、思維方法上的增長，促使學(xué)生通過課堂學(xué)習(xí)建構(gòu)數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力，形成生長型數(shù)學(xué)課堂.教師在課堂教學(xué)中以追問促使學(xué)生深度思考，以邏輯思維的生長貫穿數(shù)學(xué)課堂，促進(jìn)課堂教學(xué)的智慧生成.

筆者以“勾股定理”復(fù)習(xí)課為例，以一個(gè)三角形為教學(xué)起點(diǎn)不斷進(jìn)行追問，促進(jìn)學(xué)生增長知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，掌握思想方法，助力思維和綜合素養(yǎng)的生長.

1 教學(xué)實(shí)錄

在黑板上畫出一個(gè)△ABC，如圖1，三角形的邊AC長度為4，BC邊的長度為3.

師：根據(jù)這些條件可以得到什么結(jié)論呢？

生1：可以得到邊AB的長度為5.

（話音未落，馬上就有學(xué)生搶答.）

生2：AB的長度不一定是5.

師：你們的依據(jù)是什么呢？

生1：根據(jù)勾股定理，已知AC長度為4，BC的長度為3，可以求出第三邊的長度.

生2：勾股定理使用的前提是三角形為直角三角形，但是這道題中沒有給出這一條件.

師：看來兩位同學(xué)的意見不統(tǒng)一，你們覺得哪位同學(xué)說得有道理呢？

生（齊）：生2說得對(duì).

師追問：很好.那么給這個(gè)三角形添加一個(gè)什么條件就能使它變成直角三角形呢？

生3：只要讓三角形的一個(gè)角為90°就可以了，如∠C等于90°，那么AB就是直角三角形的斜邊.

生4：應(yīng)用勾股定理的逆定理，可以添加條件“AB的長度為5”，由此得到AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形.

師：很好！兩位同學(xué)從不同的角度添加條件，一位是從角的角度，另一位是從邊的角度，但都能說明這個(gè)三角形是直角三角形.

師：如圖2，下面添加條件“∠C為直角”，你能獲得哪些結(jié)論呢？

生5：若∠C為直角，則△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理可得AB的長度是5.

師：還可以獲得哪些結(jié)論呢？

生6：可以求得△ABC的周長和面積.

師追問：不錯(cuò).還有其他的結(jié)論嗎？

生7：根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個(gè)基本定理，可以得到△ABC斜邊的中線長為2.5.

師追問：非常好！還有嗎？

生8：還能求斜邊AB的高.

師追問：怎么求呢？

生9：根據(jù)等面積法來求，△ABC的面積等于AC與BC積的一半，也等于AB與對(duì)應(yīng)高的積的一半，所以可以得到CD的長度為2.4.

師進(jìn)一步追問：現(xiàn)在已經(jīng)知道了直角三角形斜邊上的中線和高的長度，那么還能得到哪些結(jié)論呢？請(qǐng)大家先獨(dú)立思考.

生10：還可計(jì)算三個(gè)角的角平分線長度.

師：能和大家分享一下你是如何計(jì)算的嗎？

生10：如圖3，具體計(jì)算過程略.

在連續(xù)追問下，學(xué)生進(jìn)行了深入思考，分別得到

師追問：剛才在計(jì)算這三條角平分線時(shí)使用了哪些知識(shí)？

生11：角平分線的性質(zhì)定理和勾股定理.

師追問：角平分線與軸對(duì)稱知識(shí)有關(guān)，那么你還能聯(lián)想到其他與軸對(duì)稱有關(guān)的知識(shí)嗎？

生12：還有線段的垂直平分線.

師追問：如圖4，如果添加一條邊的垂直平分線，能得到什么結(jié)論呢？大家獨(dú)立思考5分鐘.

生13：可以求出三角形的兩條邊與垂直平分線相交所形成的線段DE的長.

圖4中的第（2）種情況：若添加AC的垂直平分線DE，則連接CE.根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知EA=EC.設(shè)AE長為x，此時(shí)學(xué)生大多想要模仿第（1）種情況用勾股定理求解，但是發(fā)現(xiàn)無法很好地表示出三邊的長.既然從邊的角度不易求解，那么不妨從角出發(fā)進(jìn)行研究，利用EA=EC，得到∠A=∠ACE.由于∠A與∠B的和為90°，∠ACE與∠BCE的和為90°，因此∠B=∠BCE，從而EC=EB，所以EA=EB.顯然E是AB的中點(diǎn)，從而可得EA的長度為2.5，進(jìn)而利用勾股定理求DE的長度.

圖4中的第（3）種情況與第（2）種情況類似.

作業(yè)：在△ABC中，∠C為直角，AC的長度為4，BC的長度為3，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A再到點(diǎn)B，最后再回到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△BCP為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長度.

2 教學(xué)反思

筆者在教學(xué)過程中著力建構(gòu)勾股定理的知識(shí)體系，圍繞教學(xué)主線，深入探究，形成不斷生長的智慧課堂.

本課教學(xué)過程中貫穿始終的一條主線是如何形成直角三角形，通過直角三角形又可以獲得哪些結(jié)論.直角三角形屬于特殊三角形，因此選擇以三角形作為課堂的導(dǎo)入，從三角形開始追問，明確將三角形變成直角三角形一共有兩種方法.

接下來建立了另一知識(shí)框架，追問有了直角三角形之后，還能得到哪些結(jié)論？在教師的追問下，學(xué)生的思維不斷深入，探索出可以運(yùn)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求中線的長度，還能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想通過建立方程來求角平分線的長度，等等.

3 教學(xué)啟示

3.1 以追問促思考，自然生長

在本課中，以連續(xù)的追問引導(dǎo)學(xué)生深入思考，由淺入深，調(diào)動(dòng)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)思考問題，獲得結(jié)論，從而使教學(xué)環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)，教學(xué)活動(dòng)流暢自然，學(xué)生的知識(shí)、技能和思維在這樣的教學(xué)活動(dòng)中自然得到發(fā)展.讓學(xué)生根據(jù)自己已有的知識(shí)基礎(chǔ)自然生長，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課堂的精髓.

學(xué)生的生長有其自然規(guī)律，教師不能為了完成所謂的教學(xué)任務(wù)，而只注重知識(shí)的講解，忽略學(xué)生的思考，導(dǎo)致學(xué)生不能真正理解知識(shí)，挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，最終影響學(xué)習(xí)效果.因此，教師要真正理解學(xué)生，深入研究教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生能夠抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)深層次的理解，使學(xué)生能夠自然得到生長.

3.2 以追問促探究，提升思維

本課依據(jù)學(xué)生的答案連續(xù)追問，學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)很容易求得直角三角形斜邊的長以及斜邊上的中線長和斜邊上的高.這種連續(xù)的追問是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次思考的重要手段，有利于提升學(xué)生的思維能力.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教授學(xué)生知識(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的思考，只有深度的課堂才能真正吸引學(xué)生，實(shí)現(xiàn)教育的價(jià)值.教育的目的是為了促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，只有讓思維真正扎根，才能讓思維之樹枝繁葉茂.

3.3 以追問促設(shè)計(jì)，全面發(fā)展

課前的精心設(shè)計(jì)是教學(xué)活動(dòng)順利開展的基礎(chǔ).教師在備課中精心設(shè)計(jì)追問，充分預(yù)設(shè)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會(huì)出現(xiàn)的問題，使學(xué)生的思維力得到提升.

教師在備課時(shí)要設(shè)想在教師的追問下學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)的答案，如有的會(huì)思考求三角形的周長、面積或者斜邊的長，有的會(huì)思考斜邊的中線，等等.通過追問，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行思考，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，使學(xué)生能夠舉一反三.