趙玉蘭

在初中幾何教學(xué)中，我們經(jīng)?？吹綄W(xué)生有一些似是而非的證法：有的是沒有完全理解題意，有的是理由不充分，有的是以偏概全、以局部代替整體，有的是誤解或誤用了性質(zhì)、定義、定理、公式，有的是作圖誤導(dǎo)，還有循環(huán)論證、偷換概念、推理步驟不規(guī)范等多種錯(cuò)誤.教師如果能夠弄清學(xué)生產(chǎn)生這些錯(cuò)誤的原因，及時(shí)給予糾正或作為典型例題進(jìn)行講解，就能幫助學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中盡量避免或減少這些錯(cuò)誤的發(fā)生.下面筆者列舉了一些證明三角形全等的錯(cuò)例，側(cè)重錯(cuò)因分析與正確證明的比較，供學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)借鑒、參考.

例1 如圖1，已知點(diǎn)A，E，F(xiàn)，D在同一直線上，且AE=DF，CE=BF，CE∥BF.求證：AB=CD.

錯(cuò)證：在△ABF和△DCE中，CE=BF，AE=DF.

∵CE∥BF.

∴∠1=∠2.

∴△ABF≌△DCE（SAS）.

∴AB=CD.

錯(cuò)因分析：錯(cuò)證犯了“以局部代替整體”的錯(cuò)誤.在AE=DF中，AE是AF的局部，DF是DE的局部，絕不能因?yàn)锳F，DE有公共部分EF，就以局部相等來代替整體相等.

正確證明：∵AE=DF，EF=FE，

∴AE+EF=DF+FE，即AF=DE.

又∵CE∥BF，

∴∠1=∠2.

∴△ABF≌△DCE（SAS）.

∴AB=CD.

例2 已知AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′.

求證：△ABC≌△A′B′C′.

錯(cuò)證：如圖2，

∴BD=B′D′.

在△ABD和△A′B′D′中，AB=A′B′，BD=B′D′，AD=A′D′，

∴△ABD≌△A′B′D′（SSS）.

同理，△ADC≌△A′D′C′.

∴△ABD+△ADC≌△A′B′D′+△A′D′C′.

即△ABC≌△A′B′C′.

錯(cuò)因分析：錯(cuò)證犯了兩個(gè)錯(cuò)誤.第一是用了不合理的“同理”，△ADC≌△A′D′C′與△ABD≌△A′B′D′的理由不相同，要證△ADC≌△A′D′C′，須證∠ADC=∠A′D′C′，根據(jù)“SAS”來證;第二是由兩對(duì)全等三角形之和推出△ABC≌△A′B′C′的理由不充分，倘若兩對(duì)三角形不具備對(duì)應(yīng)位置相同的條件則不全等，例如圖2（1）與圖3中，雖有△ABD≌△A″B″D″，△ADC≌△C″B″D″，但△ABC與△A″B″C″并不全等.

正確證明：

∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，

∴BD=DC，B′D′=D′C′.

∵BC=B′C′，

∴BD=B′D′.

又∵AB=A′B′，AD=A′D′，

∴△ABD≌△A′B′D′（SSS）.

∴∠BAD=∠B′A′D′，

∠B=∠B′.

在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.

例3 如圖4，AC與BD相交于點(diǎn)E，AD=BC，∠C=∠D.求證：AC=BD.

錯(cuò)證：連接AB.

∵AD=BC，∠C=∠D，AB=AB，

∴△ABD≌△BAC（SSA）.

∴AC=BD.

錯(cuò)因分析：錯(cuò)證的原因是應(yīng)用了“邊邊角（SSA）”這個(gè)假定理.為什么說它是假定理呢？請(qǐng)看圖5，將等腰三角形ABC的底邊BC延長線上的任一點(diǎn)D和頂點(diǎn)A相連，在△DAB和△DAC中，

滿足AB=AC，AD=AD，∠D=∠D，但這兩個(gè)三角形顯然不全等.

正確證明：在△AED和△BEC中，∠AED=∠BEC，∠D=∠C，AD=BC，

∴△AED≌△BEC（AAS）.

∴AE=BE，DE=CE.

∴AE+EC=BE+ED，即AC=BD.

例4 有兩角和一邊分別相等的兩個(gè)三角形全等嗎？若全等，則給出證明；否則，請(qǐng)舉出反例.

錯(cuò)證：如圖6，在△ABC和△A′B′C′中，根據(jù)條件不同可分為兩種情況進(jìn)行證明.

（1）∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

（2）∵∠B=∠B′，∠C=∠C′，BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.

綜上，有兩角和一邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.

錯(cuò)因分析：本題的證明過程看似無懈可擊，而且把兩種情況（AAS，ASA）都考慮到了.但仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)仍然錯(cuò)誤，其原因是把命題中的“分別相等”當(dāng)成了“對(duì)應(yīng)相等”.實(shí)際上，如圖7，在△ABC，△A′B′C′，△A″B″C″中，雖然∠A=∠A′=∠A″，∠C=∠C′=∠C″，BC=A′C′=A″B″，但它們卻不全等.因此，結(jié)論應(yīng)是不一定全等.

例5 有兩邊和一條高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？若全等，則給出證明；否則，請(qǐng)舉出反例.

錯(cuò)證：全等.證明如下.

當(dāng)高是對(duì)應(yīng)相等的兩邊中一邊上的高時(shí)，如圖8，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，CD和C′D′分別是邊AB和A′B′上的高，且CD=C′D′.

在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，AC=A′C′，CD=C′D′，

∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′.

∴∠A=∠A′.

在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′.

當(dāng)高是第三邊上的高時(shí)，如圖9，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD和A′D′分別是BC和B′C′邊上的高，且AD=A′D′.

在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，AC=A′C′，AD=A′D′，

∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′.

∴∠CAD=∠C′A′D′.

同理可證∠BAD=∠B′A′D′.

∴∠BAC=∠B′A′C′.

又在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′，AC=A′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′.

錯(cuò)因分析：本題的證明過程看似把兩種情況都考慮到了，但忽視了“三角形的高不一定在形內(nèi)”這種可能性.例如，若兩個(gè)三角形一個(gè)為銳角三角形，另一個(gè)為鈍角三角形，如圖10中的△ABC與△ABC′，雖然AB=AB，AC=AC′，且它們第三邊上的高都是AD，但顯然這兩個(gè)三角形并不全等.因此，結(jié)論是不一定全等.

綜上可知，學(xué)生在證明過程中會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，這是一種正?，F(xiàn)象，是學(xué)生思維過程的真實(shí)反映.在實(shí)際教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生找到錯(cuò)誤并分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，并將學(xué)生的這種錯(cuò)誤作為一種資源，因勢利導(dǎo)，正確、巧妙地加以利用，糾正錯(cuò)誤，使學(xué)生盡可能地減少錯(cuò)誤，最終找到正確的方法，提高學(xué)習(xí)效率.