卿嘉陽,鄔云文

(吉首大學(xué)物理與機電工程學(xué)院,湖南 吉首 416000)

動力學(xué)演化特性是復(fù)合系統(tǒng)之間牢不可破的量子相關(guān)性,該特性可以揭示系統(tǒng)在各個時刻的狀態(tài)及不同狀態(tài)之間的變化規(guī)律,是描述物體運動最有趣的現(xiàn)象之一,對量子網(wǎng)絡(luò)及量子信息起著至關(guān)重要的作用[1-2].動力學(xué)演化特性對量子計算及量子通信相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展至關(guān)重要,其中光與物質(zhì)相互作用下的動力學(xué)演化特性備受學(xué)者的關(guān)注[3-4].

在光和物質(zhì)相互作用的研究中,學(xué)者常常將相對較強的泵浦場視為經(jīng)典場,并忽略其量子特性[5-6].然而,如果想要全面描述光和物質(zhì)相互作用的量子特性,所有的光場就應(yīng)該是量子化的[7-9],甚至包括強泵場.Villar等[10]和Coelho等[11]在理論上證明了,標(biāo)準(zhǔn)的三共閾值以上的光學(xué)參量振蕩器(OPO)會產(chǎn)生泵浦、信號和空轉(zhuǎn)的三方糾纏.旋轉(zhuǎn)波近似中的Jaynes-Cummings模型[12]一直是學(xué)者深入研究的主題.最近,學(xué)者開始關(guān)注原子相干態(tài)[13].研究發(fā)現(xiàn),最初處于原子相干狀態(tài)的JCM與真空場組合可以產(chǎn)生場壓縮及原子偶極變量波動的壓縮,壓縮原子可以輻射壓縮光[14-16].一些學(xué)者對具有初始相干原子的熱Jaynes-Cummings模型中場和原子壓縮之間的關(guān)系進(jìn)行了探討[17-18].此外,學(xué)者在理論計算中發(fā)現(xiàn),旋波近似下波函數(shù)有解析解,因而在弱耦合及少光子數(shù)的情況下,旋波近似是應(yīng)用最廣的近似方法[19-20].

在研究原子和光場的動力學(xué)演化特性時,許多學(xué)者只考慮了系統(tǒng)的激發(fā)概率,而忽略了激發(fā)概率與量子態(tài)之間的聯(lián)系.將激發(fā)概率與量子態(tài)聯(lián)系起來,對于理解量子力學(xué)的基本原理,實現(xiàn)更高效的量子計算都具有重要的意義.筆者擬在特定的初始條件下,運用拉普拉斯方程對三能級原子與光場相互作用系統(tǒng)的量子態(tài)進(jìn)行精確求解,并通過量子態(tài)的波函數(shù)計算系統(tǒng)的動力學(xué)演化特性.

1 模型及方法

圖1 三能級原子與光場相互作用系統(tǒng)Fig. 1 Diagram of a Three-Level Atom Coupled with a Light Field

三能級原子與光場相互作用系統(tǒng)模型如圖1所示.從圖1可知:在三能級原子與光場相互作用系統(tǒng)中,量子態(tài)|b1和|b3之間引入了1個頻率為ωd的微波驅(qū)動場;頻率為ωa的微波驅(qū)動場作用于躍遷能級|b1和|b2之間;頻率為ωc的微波驅(qū)動場作用于躍遷能級|b2和|b3之間.原子與光場之間的耦合作用,使得原子能夠通過基態(tài)|b1在激發(fā)態(tài)|b2和|b3之間躍遷.取普朗克常量?=1,系統(tǒng)的哈密頓量

H=ωaa?a+ωcc?c+ωdd?d+g(a?c?d+acd?).

其中:a?表示b1?b2的產(chǎn)生算符;a表示b1?b2的湮滅算符;c?表示b2?b3的產(chǎn)生算符;c表示b2?b3的湮滅算符;d?表示b3?b1的產(chǎn)生算符;d表示b3?b1的湮滅算符;g表示三能級原子與光場的耦合強度.

在考慮2個激發(fā)態(tài)的情況下,系統(tǒng)的相干疊加態(tài)向量

φ=b1|b1+b2|b2+b3|b3.

其中:|b1表示ωa所對應(yīng)的量子態(tài);|b2表示ωc所對應(yīng)的量子態(tài);|b3表示ωd所對應(yīng)的量子態(tài).根據(jù)薛定諤方程嚴(yán)格解,不同量子態(tài)之間的薛定諤方程可以寫為以下偏微分方程:

(1)

(2)

(3)

其中:na表示系統(tǒng)內(nèi)各能級之間a?a算符的光子數(shù)目;nc表示系統(tǒng)內(nèi)各能級之間c?c算符的光子數(shù)目;nd表示系統(tǒng)內(nèi)各能級之間d?d算符的光子數(shù)目.系統(tǒng)的初始條件為b1(0)=1,b2(0)=b3(0)=0.接下來,運用拉普拉斯方程對(1),(2),(3)式進(jìn)行精確求解,得到

(4)

(5)

(6)

為了系統(tǒng)歸一化,對系統(tǒng)作以下變化:

求得歸一化系數(shù)

將A引入(4),(5),(6)式,可得

2 結(jié)果

本研究是在三能級系統(tǒng)下開展的.系統(tǒng)哈密頓量的相互作用主要涉及光場及其對應(yīng)的能級,由7個變量(g,ωa,ωc,ωd,na,nc和nd)一起控制.計算激發(fā)概率發(fā)現(xiàn),通過改變變量之間的耦合系數(shù)來進(jìn)行系統(tǒng)分析,能夠清晰地呈現(xiàn)系統(tǒng)激發(fā)態(tài)變換的物理過程,并充分展現(xiàn)參數(shù)如何影響系統(tǒng)的動態(tài)行為.原子處于|b1,|b2和|b3態(tài)的激發(fā)概率隨時間演化規(guī)律如圖2所示.

圖2 原子處于|b1,|b2,|b3態(tài)的激發(fā)概率隨時間演化規(guī)律(g=1)Fig. 2 Probability Evolution Plot of Excitation of Atom in |b1,|b2 and |b3 State with Time

從圖2(a)可知:0 s時,原子完全處于一個未激發(fā)狀態(tài);約1.50 s時,基態(tài)被激發(fā)的概率為0;約3.10 s時,原子處于|b1態(tài)的激發(fā)概率約為0.50;約4.70 s時,原子處于|b1態(tài)的激發(fā)概率約為0;約6.26 s時,原子處于|b1態(tài)的激發(fā)概率為1.0.這說明隨著時間的延長,|b1態(tài)布居值保持周期振蕩性變化.

從圖2(b)可知:系統(tǒng)所對應(yīng)的激發(fā)態(tài)布居值在同一個周期內(nèi)產(chǎn)生3個峰;0 s時,原子的初始布居值為0;約1.0 s時,原子處于|b2態(tài)時的布居值是第1個峰的峰值,峰值約為0.50;約2.0 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率迅速降低,約為0;約3.10 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率達(dá)到第2個峰值,約為0.25;約4.20 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率約為0;約5.10 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率達(dá)到第3個峰值,約為0.50.這說明|b2態(tài)布居值也隨著時間的延長保持周期振蕩性變化.

從圖2(c)可知:系統(tǒng)所對應(yīng)的激發(fā)態(tài)布居值在同一個周期內(nèi)產(chǎn)生2個峰,第1個峰出現(xiàn)時間約為1.80 s,峰值約為0.83,第2個峰出現(xiàn)時間約為4.40 s,峰值也約為0.83;|b3在第1個峰值之后產(chǎn)生了1個低谷,時間約為3.10 s,低谷值約為0.25.這說明|b3態(tài)布居值也隨時間的延長保持周期振蕩性變化.

為了進(jìn)一步研究耦合系數(shù)對系統(tǒng)布居值的動力學(xué)演化特性影響,接下來探討不同耦合強度系數(shù)(g=5或g=10)下,原子處于|b1,|b2和|b3態(tài)的激發(fā)概率隨時間演化規(guī)律,結(jié)果如圖3所示.

圖3 原子處于|b1,|b2,|b3態(tài)的激發(fā)概率隨時間演化規(guī)律(g=5或g=10)Fig. 3 Probability Evolution Plot of Excitation of Atom in |b1,|b2 and |b3 State with Time

從圖3(a)可知:將系統(tǒng)的耦合系數(shù)調(diào)至5后,約0.30 s時,基態(tài)被激發(fā)的概率為0;約0.63 s時,基態(tài)被激發(fā)的概率為0.50;約1.26 s時,原子處于|b1態(tài)的激發(fā)概率為1.0.

從圖3(b)可知:將系統(tǒng)的耦合系數(shù)調(diào)至10后,約0.16 s時,原子處于|b1態(tài)的激發(fā)概率為0;約0.31 s時,原子處于|b1態(tài)的激發(fā)概率達(dá)到峰值,約為0.50;約0.47 s時,原子處于|b1態(tài)的激發(fā)概率約為0.

從圖3(c)可知:將系統(tǒng)的耦合系數(shù)調(diào)至5后,|b2所對應(yīng)的激發(fā)態(tài)布居值在同一個周期內(nèi)產(chǎn)生了3個峰.約0.22 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率產(chǎn)生第1個峰值,峰值約為0.50;約0.41 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率約為0;約0.62 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率產(chǎn)生第2個峰值,峰值約為0.23;約0.84 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率約為0;約1.0 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率產(chǎn)生第3個峰值,峰值約為0.50.

從圖3(d)可知:將系統(tǒng)的耦合系數(shù)調(diào)至10后,約0.10 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率約為0.50;約0.22 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率約為0;約0.31 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率約為0.23;約0.42 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率約為0;約0.51 s時,原子處于|b2態(tài)的激發(fā)概率約為0.50.

從圖3(e)可知:將系統(tǒng)的耦合系數(shù)調(diào)至5后,|b3所對應(yīng)的激發(fā)態(tài)布居值在同一個周期內(nèi)產(chǎn)生2個峰,約0.36 s時產(chǎn)生第1個峰值,峰值約為0.83,約0.88 s時產(chǎn)生第2個峰值,峰值也約為0.83;|b3在第1個峰值之后產(chǎn)生了1個低谷,時間約為0.62 s,低谷值約為0.23.

從圖3(f)可知:將系統(tǒng)的耦合系數(shù)調(diào)至10后,|b3所對應(yīng)的激發(fā)態(tài)布居值在同一個周期內(nèi)產(chǎn)生2個峰,約0.18 s時產(chǎn)生第1個峰值,峰值約為0.83,約0.44 s時產(chǎn)生第2個峰值,峰值也約為0.83;|b3在第1個峰值之后產(chǎn)生了1個低谷,時間約為0.31 s,低谷值約為0.23.

綜上,當(dāng)增大耦合系數(shù)時,量子態(tài)布居值的峰值大小幾乎未變,但每個演化周期內(nèi)的小振蕩明顯變多,周期也相應(yīng)縮短.系統(tǒng)耦合系數(shù)的改變導(dǎo)致原子與光場之間量子態(tài)的變換速度加快,這也正是原子處于|b1態(tài)時,量子態(tài)的布居值演化明顯變快的原因.本研究證實,通過改變耦合系數(shù)可以進(jìn)一步調(diào)控基態(tài)和激發(fā)態(tài)的布居值.

3 結(jié)論

筆者探討了三能級原子與光場相互作用系統(tǒng)的動力學(xué)過程,分析了同一耦合強度下不同量子態(tài)的動力學(xué)隨時間的演化特性.結(jié)果顯示:|b1隨著時間的增加,在同一個周期內(nèi)動力學(xué)演化先從1.0減小到0,再從0增加到0.50左右,然后從0.50左右減小到0,最后增加到1.0;|b2隨著時間的增加,在同一個周期內(nèi)出現(xiàn)了3個峰值,系統(tǒng)的動力學(xué)演化先從0增加到0.50左右,再從0.50左右減小到0,隨后增至0.25左右,再從0.25左右減小為0,然后從0增加到0.50左右,最后從0.50左右減小到0;|b3隨著時間的增加,在同一個周期內(nèi)出現(xiàn)了2個峰值,系統(tǒng)的動力學(xué)演化先從0增加到0.83左右,再從0.83左右減小到0.25左右,隨后從0.25左右增加到0.83左右,最后從0.83左右減小到0.另外,筆者還分析了不同耦合系數(shù)下原子與光場相互作用系統(tǒng)的量子態(tài)激發(fā)概率隨時間演化的特性.結(jié)果發(fā)現(xiàn),當(dāng)增大耦合系數(shù)時,系統(tǒng)的振蕩特性增強,即系統(tǒng)在每個演化周期內(nèi)的小振蕩明顯變多,周期相應(yīng)縮短.系統(tǒng)的耦合強度對系統(tǒng)的動力學(xué)演化特性有很大影響,因而可以通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)的耦合強度來改變系統(tǒng)的動力學(xué)演化特性.